Benutzer:Mini-floh/Nonstandard Analysis

Für Mitmenschen, die auf irgendeinem Wege hierher gekommen sind:
Eigentlich wollte ich nur die Axiome in den vorhandenen Artikel einfügen, aber dann hat sich das ganze ausgeweitet und ich möchte die Arbeit gründlich machen.
Ich möchte nach der Fertigstellung nicht das Ganze von hier nach dort verschieben, sondern stückweise an die richtigen Stellen kopieren. 
Damit da keine Probleme mit Autorennachweis entstehen: Bitte verbessert hier nicht. Eventuelle Hinweise auf der Diskussionsseite sind aber durchaus erwünscht.

Der Begriff Nichtstandard Analysis (oder Nonstandard Analysis) wurde ursprünglich von Abraham Robinson geprägt. Er hatte zunächst untersucht, wie die Analysis in Nonstandardmodellen der Reellen Zahlen aussieht. Es gelang ihm in diesem Zusammenhang, die Differenzial- und Integralrechnung mit Hilfe von Infinitesimalzahlen zu formulieren, wie Gottfried Wilhelm Leibnitz und Isaac Newton dies getan hatten.

Der Bezeichnung Nichtstandardanalysis wird auch oft für die Versuche verwendet, die dabei zunächst auftretenden Probleme mit Hilfe alternativer Axiomatisierungen der Mengenlehre zu lösen. Im übertragenen Sinn wird der Begriff auch oft für andere Methoden verwendet, die reelle Analysis mit „nicht-klassischen“ Methoden zu formulieren.

A.Robinson ging von den Ergebnissen der Modelltheorie aus. Durch den Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski erhält man, dass es Modelle der Peano-Arithmetik und der reellen Zahlen gibt, die echte elementare Erweiterungen der jeweiligen Standard-Modelle sind. Diese Modelle werden Nonstandard-Modelle genannt und Robinson nannte seine Arbeit daher Nonstandard Analysis. Er untersuchte, wie Analysis in diesen Modellen aussieht und stellte fest, dass die Rede von „infinitesimalen Zahlen“ hier logisch einwandfrei verwendet werden kann.

Howard Jerome Keisler führte dies fort, indem er ein „Schulbuch“ verfasste, in dem das gesamte Curriculum „Calculus“ abgedeckt wird: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach ^[1]. Dieses Werk wurde auch in vielen Colleges verwendet. Als wesentlichen Vorteil des Zugangs sah Keisler:

H.J.Keisler gab in seinem Werk „Foundations of Infinitesimal Calculus“, das als Lehrerhandbuch zu dem Schulbuchwerk erschien, folgende Axiome für die Nonstandard Analysis an ^[2]

Axiom A: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist ein vollständig angeordneter Körper

Axiom B: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ ist eine geordnete Körpererweiterung von ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ wird Körper der hyperreellen Zahlen genannt.

Axiom C:  In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ gibt es ein positives infinitesimales Element.

Ein Element ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}$ heißt dabei infinitesimal, wenn ${\displaystyle |x|<|r|\,}$ für alle ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ gilt.

Für ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{*}}$ soll ${\displaystyle x\approx y}$ bedeuten: ${\displaystyle |{x-y}|\,}$ ist infinitesimal.

Die Monade von ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \{y\in \mathbb {R} ^{*};y\approx x\}}$, die Menge der unendlich dicht bei x liegenden Zahlen.

Als finit wird eine Zahl x bezeichnet, wenn es ein ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{+}}$ gibt mit ${\displaystyle |x|<y}$

Es ist leicht zu sehen, dass es für jede finite (hyperreelle) Zahl ${\displaystyle x}$ genau eine reelle Zahl ${\displaystyle r}$ gibt mit ${\displaystyle x\approx r}$ und diese wird mit ${\displaystyle \operatorname {st} (x)}$ bezeichnet und der Standardteil von x genannt wird. Für infinite x ist st(x) undefiniert.

${\displaystyle \operatorname {st} }$ ist ein Ringhomomorphismus von Galaxy (0) auf ${\displaystyle R}$.

Axiom D: [Funktionen-Axiom] Für jede reelle Funktion f mit n Variablen gibt es eine entsprechende hyperreelle Funktion ${\displaystyle f^{*}}$ mit n Variablen
(deren Werte auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ übereinstimmen), die natürliche Erweiterung von f.

(Die Körperoperationen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ sind die natürlichen Erweiterungen der Körperoperationen von ${\displaystyle R}$.)

Axiom E:[Transfer-Axiom] Sind S und T zwei Formelsysteme mit den gleichen Variablen und jede reelle Lösung von S ist auch ein Lösung von T, 
dann ist auch jede hyperreelle Lösung von S  ein Lösung von T.

Mit diesen Axiomen kann der gesamte Bereich der Mathematik durchgeführt werden, der normalerweise unter dem Stichwort „Differential- und Integralrechnung“ behandelt wird.

Die Komplexität der auftretenden Formeln verringert sich und die Argumentation kommt in vielen Fällen der Anschauung viel näher als in der "klassischen Formulierung".

Die Stetigkeit einer reellen Funktion ${\displaystyle f}$ in einem Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ kann in der Standard-Analysis so definiert werden:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:\forall x\in \mathbb {R} :|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$

In der Nichtstandardanalysis drückt man das so aus:

Ist ${\displaystyle f}$ eine Funktion und ${\displaystyle x_{0}}$ ein reeller Punkt, dann ist ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ genau dann stetig, wenn

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}:x\approx x_{0}\Rightarrow f(x)\approx f(x_{0})}$,

ab hier reine Baustelle

Im weiteren Verlauf treten einige Probleme auf:

• In den "höheren" Bereichen der reellen Analysis spielen Folgen von Funktionen etc. eine Rolle, die man mit den bisherigen Axiomen nich erfassen kann.
• Im Funktionen-Axiom wurde die Existenz einer Funktion ${\displaystyle f^{*}}$ gefordert, die ${\displaystyle f}$ fortsetzt. Tatsächlich gibt es immer viele derartige Funktionen.

(Beispiel)

Will man diese untersuchen, dann braucht man weitere Hilfsmittel:

• man muss über hyperreelle Mengen und Funktionen, Mengen von hyperreellen Mengen und Funktionen etc. reden können.

Hier erweist es sich zudem oft als Problem, dass die Körpererweiterung ${\displaystyle R^{*}}$ durch die Axiome nicht eindeutig festgelegtt ist. Daher musste man jeweils für die gesuchten Anwendungen im Rahmen einer geeigneten Konstruktion (z.B. mit Hilfe von Ultraprodukten) untersuchen, wie gewünschte Bedingungen hergestellt werden können.

Saturierungs-Axiom:   Ist S eine Menge von Gleichungen und Ungleichungen, die reelle Funktionen, (hyper-)reelle Konstanten und Variablen verwenden, 
so dass die Mächtigkeit von S kleiner als die Mächtigkeit von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ ist.
Wenn jede endliche Teilmenge von S eine hyperreelle Lösung hat, dann hat auch S eine hyperreelle Lösung.

Shelach und … konnten beweisen, dass in ZFC + „es gibt eine inaccessible cardinal“ gilt: Es gibt eine definierbare Saturierte Oberstruktur (?).

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Dies kommt nach "Einzelnachweise"

1. ↑ Dies Buch wurde von ihm in einer überarbeiteten Fassung ins Netz gestellt: [1]
2. ↑ Für den ganzen Abschnitt wird die Online-Ausgabe [2] in eigener Übersetzung verwendet. Sie enthält gegenüber der gedruckten Version einige wesentliche Änderungen.