Benutzer:Meier99/Bell-Zustand

Ein Bell-Zustand ist ein fundamentaler Begriff der Quanten-Informationstheorie. Er representiert die einfachsten Beispiele der Quantenverschränkung. Benannt ist er nach dem Physiker John Bell, weil er Gegenstand der berühmten Bellschen Ungleichung ist, die quantenmechanische und klassisch zu interpretierende Systeme unterscheidet (siehe die grundlegende Arbeit des EPR-Paradoxons zu Albert Einsteins Konzept der Verborgenen Variablen). Anders als bei charakteristischen Größen der klassischen Physik wie den Kernkräften, Elektromagnetischen Feldern und Schwerkräften, die allesamt mit zunehmendem Abstand schwächer werden, hängt die Größe der Quantenverschränkung nicht vom Abstand ab, ist also invariant gegenüber Entfernungsänderungen. Sie wird auch nicht durch relativistische Eigenschaften eingeschränkt, etwa durch Forderungen der Kleinheit oder Nichtkleinheit der beteiligten Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Die Bell-Zustände sind vier spezifische Zustände maximaler Quantenverschränkung zweier Qubits. Die Verschränkung ist bereits daran zu erkennen, dass es unmöglich ist, die Zustände als Produkt darzustellen, ohne die Beteiligung additiver oder subtrahierter Komponenten. Es handelt sich trotzdem um „reine quantenmechanische Zustände“ und nicht um Zustandsgemische. Daher ist die von Neumann-Entropie ${\displaystyle -\,Tr\,{\hat {\rho }}\ln {\hat {\rho }}}$ einer mit den vier Zuständen als Basiszuständen gebildeten 2x2-Dichtematrix ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ exakt Null. Hier ist ${\displaystyle Tr}$ die Spur der 2x2-Zustandsmatrix ${\displaystyle \rho }$, das ist die Summe der Diagonalelemente der Matrix, und es gilt wie bei Projektionsoperatoren ${\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}\equiv {\hat {\rho }}\,,}$ und nicht etwa ${\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}<{\hat {\rho }}\,.}$ Ferner ist ${\displaystyle \ln {\hat {\rho }}}$ der natürliche Logarithmus der Matrix, genauer: die Summe der Logarithmen der zwei Eigenwerte. Die von Neumann-Entropie der Dichtematrix misst daher nicht die Stärke der Verschränkung, obwohl das Gegenteil behauptet wird.^[1] und obwohl sie maximal ist.

Die vier Bell-Zustände können geschrieben werden als:

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Hierbei beziehen sich die Indizes A ${\displaystyle (=Alice)}$ und B ${\displaystyle (=Bob)}$ auf zwei fiktive Personen, die weit voneinander entfernt oder auch nahe beieinander sein können. Den Fall sehr großer Entfernung hat Einstein in der bereits erwähnten EPR-Arbeit dazu benutzt, um seine nachträglich falsifizierten Argumente für die Ergänzungsbedürftigkeit der Quantentheorie zu finden (siehe Bellsche Ungleichung).

Um das Folgende zu begründen, gehen wir zu einer Spin-Interpretation über: Man kann den Zustand 1 auch als ${\displaystyle \uparrow \,\,(={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})}$ und den Zustand 0 als ${\displaystyle \downarrow \,\,(={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})}$ interpretieren. Das sind die Eigenzustände der 2x2-Matrix ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Aber die Quantenmechnik erlaubt auch, dass Qubits kohärent superponiert werden können. Dem entspricht ein superponierter Zustand, d. h. mit gleicher Wahrscheinlichkeitsampltude 0 bzw. 1, also eine linearen Kombination der zwei klassischen Zustände, was z.%nbsp;B. zu den Zuständen ${\displaystyle |+\rangle :={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$ bzw. ${\displaystyle |-\rangle :={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )}$ führt. In der Spin-Interpretation entspricht dies den Eigenzuständen des Operators ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$ Wenn Alice und Bob diese Basis, die ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}}$-Basis, und nicht die ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$-Basis, ihrer Messung zugrundelegen um herauszufinden, ob das Qubit ${\displaystyle |+\rangle }$ oder aber ${\displaystyle |-\rangle }$ vorliegt, würden sie dieselben Korrelationen finden, weil also für ${\displaystyle |\Phi ^{+}}$ ebenfalls gilt:

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}\otimes |+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}\otimes |-\rangle _{B}).}$

In seiner berühmten Arbeit von 1964 zeigte John Bell mithilfe einfacher Wahrscheinlichkeitstheorie, dass diese Korrelationen in einer klassischen Theorie nicht größer sein können als die Zahl 2, während quantentheoretisch der 1,41-fache Wert möglich ist, genauer: ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$.

Die Bell-Messung ist ein wichtiges Konzept der Quanteninformatik: Sie besteht in einer gemeinsamen quantenmechanischen Präparation (also einer Quantenmessung) zweier Qubits, die bestimmen, in welchen der vier Bell-Zustände sich die zwei Qubits befinden.

Falls die Qubits sich vorher nicht in einem Bell-Zustand befinden, kann man sie auf einen solchen projizieren, indem man die Projektionsmethode der Quantenmessung ausnutzt. Da Bell-Zustände verschränkt sind, handelt es sich um eine Methode der Erzeugung verschränkter Zustände.

Die Bell-Zustandsmessung ist der wesentliche Schritt bei der Quantenteleportation. Das Ergebnis einer Bell-Zustandsmessung wird vom Kompanion der Messung dazu benutzt, den Originalzustand des „teleportierten“ Teilchens von seiner „Hälfte“ des verschränkten Zustandess.

Für Verschränkung bezüglich einer einzigen Qubit-Variablen können aus den vier Bell-Zustände nur drei verschiedene Klassen gebildet werden, wenn man sich auf die Techniken der linearen Optik beschränkt. Das bedeutet, dass zwei Bell-Zustände mit diesen Techniken nicht unterschieden werden können.

Wenn man dagegen Teilchen bezüglich vieler Variablen verschränkt, beispielsweise für photonische Systeme, wird man empfindlich auf Polarizationsphänomene und verschiedene Grundsatzfragen.^[2]

Allgemein, für sog. Hyperverschränkung in ${\displaystyle n}$ Variabeln, kann man höchstens ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ verschiedene Klassen aus ${\displaystyle 4^{n}}$ Bell-Zuständen bilden, und mit Techniken der Linearen Optik untersuchen.^[3]

1. ↑ Quantum Entanglement in Electron Optics: Generation, Characterization, and Applications, Naresh Chandra, Rama Ghosh, Springer, 2013, ISBN 3642240704, p. 43, Google Books
2. ↑ Kwiat, Weinfurter. Embedded Bell State Analysis
3. ↑ Pisenti, Gaebler, Lynn. Distinguishability of Hyper-Entangled Bell States by Linear Evolution and Local Measurement

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