Benutzer:Meier99/Analogien und Differenzen zwischen Coriolis- und Lorentzkraft

Es gibt Analogien und Differenzen zum Magnetismus. Dies betrifft nicht nur direkt die Corioliskraft selbst, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{C}=-2m\ [{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}]\equiv +2m\ [{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}],}$ die formal ganz analog zur Lorentzkraft der Elektrodynamik ist, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{L}=q\ [{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}]}$ . (Diese Kraft betrifft in einem nicht beschleunigten System die Bewegung elektrisch geladener Teilchen (Ladung ${\displaystyle q}$), die sich mit Geschwindigkeit ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ in einem Magnetfeld mit der Induktion ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ bewegen, was zunächst mit der Corioliskraft nichts zu tun hat. Allerdings gilt die Formel für ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{L}}$ auch für nichtkonstantes ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}.}$ Mathematisch besteht jedenfalls die Korrespondenz ${\displaystyle 2m\to q}$ und ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\to {\boldsymbol {B}},}$ und zwar nicht nur mit konstantem ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, sondern mit den vollen orts- und zeitabhängigen Magnetfeldern der Elektrodynamik. Diese Analogie hat bereits zwei bemerkenswerte nichttriviale Konsequernzen, die im Zusammenhang mit der Lorentzkraft wohlbekannt sind, aber bei der Corioliskraft, für die sie genauso gelten, ebenfalls erwähnt werden sollten. weil sie dort weitgehend unbekannt sind:

• Erstens leistet die Corioliskraft, wie von der Lorentzkraft wohlbekannt ist, keine Arbeit.^[1], und
• beide Kräfte können nicht wie gewohnt aus der Potentiellen Energie abgeleitet werden, sondern man benötigt wie bei der Lagrangefunktion einen komplizierteren Zusammenhang mit einer orts- und geschwindigkeitsabhängigen effektiven Größe.^[2] Den Fall der Corioliskraft erhält man formelmäßig für konstantes Magnetfeld, wo z. B. für das Vektorpotential ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ der Induktion die Beziehung ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {r}}/2\times {\boldsymbol {B}}}$ gilt.

Ferner gilt eine weniger mathematische Analogie, die mit dem Begriff der Vortizität (Wirbelbildung) zusammenhängt und vor allem im Wettergeschehen sichtbar wird. Einerseits ist ja die magnetische Induktion eine formal ganz mit Wirbeln verknüpfte Größe, da ${\displaystyle {\rm {{rot\,\,}{\boldsymbol {B}}\neq 0,}}}$ wogegen ${\displaystyle {\rm {{div\,\,}{\boldsymbol {B}}\equiv 0}}}$ gilt. Andererseits gibt gerade die Corioliskraft, obwohl sie im Gegensatz zu ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},\,t)}$ keine Feldgröße darstellt, doch im Wettergeschehen und in vielen anderen Zusammenhängen Anlass zu großräumigen Wirbelstrukturen, wie sie vom Wettergeschehen aus Satellitenbildern bekannt sind, siehe oben. Aber es besteht doch ein qualitativer Unterschied: Beim Wettergeschehen etwa ist die typische Ausdehnung einer Wirbelstruktur, die sog. Längenskala eines Wirbels, ungefähr fixiert, etwa auf die halbe Entfernung zwischen korrespondieren Zentren von Hochdruck- und Tiefdruckgebieten, etwa auf typische Entfernung zwischen, beispielsweise, Tunesien und Norditalien. Im Magnetismus gibt es mathematisch nur Wirbelstrukturen, auf allen Längenskalen, unter Umständen auf verschiedenen Skalen gleichzeitig, von atomaren Entfernungen bis zu makroskopischen oder halb-mikroskopischen Skalen, je nach dem betrachteten Problem.

Anmerkungen

1. ↑ Die Begründung ist, dass Kraft und Geschwindigkeit in beiden Fällen senkrecht zueinander gerichtet sind
2. ↑ Dies entspricht im Falle der Lorentzkraft dem allgemeingültigen Prinzip der sog. minimalen Kopplung des Magnetfeldes an die nichtmagnetischen Größen, formelmäßig ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}\to ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})}$, wobei ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ein Vektorpotential der magnetischen Induktion ist, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\rm {{rot\,\,}{\boldsymbol {A}},}}}$ und wobei ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ der Impulsvektor ist, siehe Lorentzkraft#Wirkungsprinzip.