Benutzer:Mathecrat/Test

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Beispiel 2

Der entsprechende Spielplan für die Fußball-Europameisterschaft 2021:

  1. Runde 2. Runde 3. Runde Halbfinale Finale
                                               
1 Spanien 1 7 Schweiz
Schweiz 1     Ukraine  
      10 Dänemark
  Sieger des Spiels 7  
2 Italien 2   5 Italien 1     13 Italien
Belgien 1     Spanien 1       Sieger des Spiels 10  
      9 Italien 1       14 Sieger des Spiels 13
      England 1       Sieger des Spiels 12
3 England 4     6 England 2       12 England  
Ukraine 0   Dänemark 1     Sieger des Spiels 11
  11 Spanien  
      Sieger des Spiels 8
4 Dänemark 2     8 Tschechien  
Tschechien 1 Belgien


Kritik der gegenwärtigen WM- und EM-Turniermodi

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In den Welt- und Europameisterschaften vieler Sportarten sowie in olympischen Turnieren werden verschiedene Varianten der Kombination aus Gruppen- (Turnierform Rundenturnier) und Finalphase (Turnierform K.-o.-System) verwendet. Solche Turniermodi weisen erhebliche strukturelle Probleme auf, die unter anderem zur Verletzung des Fairplay führen. Die folgende Klassifikation dieser Probleme mit Beispielen aus Fußballmeisterschaften gilt grundsätzlich auch für die Turniere in allen anderen Sportarten.

1. In der Gruppenphase kommt oft vor, dass einige Mannschaften nach zwei Spieltagen entweder die Finalrunde schon erreicht haben oder sich nicht mehr für die Finalrunde qualifizieren können. Demzufolge hat das Ergebnis des letzten Gruppenspiels für diese Mannschaften keine Bedeutung.

Falls sich zwei solche Mannschaften in dem dritten Gruppenspiel treffen, dann hat das keine großen Turnierauswirkungen. Es wird lediglich ein Trainingsspiel mit keiner Relevanz zur Meisterschaft ausgetragen. Allerdings sind solche bedeutungslosen Spiele für die schon qualifizierten Mannschaften nicht immer von Vorteil. Der Spielrhythmus geht verloren und die Mannschaft kann beim nächsten Spiel Schwierigkeiten haben, den zu finden.

Aktuelle Beispiele aus der letzten WM- bzw. EM:

  • Ägypten - Saudi-Arabien (WM 2018)
  • Panama - Tunesien (WM 2018)
  • Niederlande - Nordmazedonien (EM 2021)

2. Schwerwiegender sind die Konstellationen, bei denen das Spiel nur für eine Mannschaft keine Bedeutung hat. Die fehlende Motivation dieser Mannschaft kann das Spielergebnis beeinflussen und damit zur Wettbewerbsverzerrung führen.

In weiteren problematischen Konstellationen ist es möglich, dass ein bestimmtes Ergebnis für beide Mannschaften reicht, um sich unabhängig vom anderen Gruppenspiel für die Finalphase zu qualifizieren.

Bekannteste Beispiele für diese Arten der Konstellationen:

  • Argentinien - Peru (WM 1978)
  • Deutschland - Österreich (WM 1982) (Nichtangriffspakt von Gijón)
  • Schweden - Dänemark (EM 2004)
  • Spanien - Kroatien (EM 2012)

Aktuelle Beispiele:

  • Spanien - Marokko (WM 2018)
  • Frankreich - Dänemark (WM 2018)
  • Australien - Peru (WM 2018)
  • Schweiz - Costa Rica (WM 2018)
  • Polen - Japan (WM 2018)
  • Italien - Wales (EM 2021)
  • Belgien - Finnland (EM 2021)

In solchen "fairplaymäßig potenziell problematischen" Konstellationen ist die eventuelle Verletzung des Fairplay in einer oder anderer Weise möglich und durch die Regelungen des Turniermodus nicht ausgeschlossen. In den meisten Fällen werden die Spiele auch in diesen Konstellationen gemäß dem Fairplay-Gedanken durchgeführt und es gibt keine Auswirkungen für die anderen Mannschaften in der Gruppe. Trotzdem ist diese Möglichkeit vorhanden, das kann zu Irritationen im Umfeld der Spiele führen. Bisweilen sehen sich die betroffenen Mannschaften in diesen Fällen sogar gezwungen zu versichern, dass keine Absprachen getroffen werden, wie zum Beispiel bei der WM 2014 vor dem letzten Gruppenspiel Deutschland - USA.

3. Bei einer anderen Art der Konstellationen können die schon qualifizierten Mannschaften in dem dritten Gruppenspiel noch ein vermeintliches Ziel haben: erster Platz in der Gruppe. Aber der mögliche erste Gegner in der Finalphase ist nur für die Mannschaften bekannt, deren drittes Spiel nach den Spielen in der Parallelgruppen stattfindet. Auch die Gegner in dem eventuellen weiteren Verlauf der Finalphase sind schwer einzuschätzen. Deswegen gibt es in vielen Fällen keinen Grund, im dritten Spiel unbedingt zu gewinnen und Gruppenerster zu werden. Solche Spiele fungieren eher als eine Art der zusätzlichen Auslosung. Das Ergebnis hat für die betroffenen Mannschaften keine sportliche Signifikanz, somit sind diese Spiele für die betroffenen Mannschaften bedeutungslos und führen unter Umständen zu "fairplaymäßig problematischen" Konstellationen.

Aktuelle Beispiele:

  • Russland - Uruguay (WM 2018)
  • Frankreich - Dänemark (WM 2018)
  • Kroatien - Island (WM 2018)
  • Belgien - England (WM 2018)
  • Italien - Wales (EM 2021)
  • Belgien - Finnland (EM 2021)
  • England - Tschechien (EM 2021)
  • Schweden - Polen (EM 2021)
  • Frankreich - Portugal (EM 2021)

4. In einigen Fällen könnte es allerdings doch eine Motivation für Mannschaften geben, Gruppenerster zu werden, insbesondere falls ein Topfavorit auf den Gruppenzweiten wartet. Falls aber der Topfavorit in seiner Gruppe überraschenderweise Zweiter wurde und jetzt auf den Gruppenersten treffen sollte, dann wird es von Vorteil sein, Gruppenzweiter zu werden. Laut dem Turnierformat verringert der Sieg in diesem Fall paradoxerweise die Chancen für das Weiterkommen. Das war im Skandal beim olympischen Badmintonturnier 2012 (Olympische Sommerspiele 2012/Badminton) besonders deutlich veranschaulicht. Mehrere Teilnehmer des Badmintonturniers wurden disqualifiziert, weil sie versucht hatten, durch die Niederlage leichtere Konkurrenten beziehungsweise eine bessere Ausgangsposition für die Finalphase zu bekommen. Manchmal war keines der beiden Teilnehmer wirklich gewillt, als Sieger das Feld zu verlassen. Die Meisterschaften aller Sportarten sind vor solchen Konstellationen nicht gefeit.

5. Noch ein allgemeines Problem des Turniermodus in der Gruppenphase konnte bei der WM 2018 beobachtet werden. Wenn zwei oder mehr Teams aufgrund der auf den Spielergebnissen basierenden Kriterien (Anzahl Punkte, Tordifferenz usw.) gleich abschneiden, wird ihre Platzierung gemäß sonstigen Kriterien ermittelt. In der Gruppe H wurde Senegal aus der Finalphase ausgeschlossen, nur weil das Team zwei Gelbe Karten mehr als Japan kassierte.

6. In der Finalphase wird das Turnierformat K.-o.-System verwendet. Dieses Turnierformat ist am effizientesten, um den Sieger schnell mit möglichst kleiner Anzahl der Spiele zu ermitteln. Und das ist am ineffektivsten, um die tatsächlich beste Mannschaft als Sieger mit größtmöglicher Wahrscheinlichkeit zu ermitteln. Die schlechte Performance des K.-o.-Systems kann damit erklärt werden, dass eine Mannschaft nach einer einzigen Niederlage aus dem Turnier ausscheidet. Dabei kann auch die beste Mannschaft gelegentlich verlieren, zum Beispiel im Elfmeterschießen. Außerdem können die stärkeren Mannschaften in den früheren Runden aufeinander treffen und sich gegenseitig aus dem Turnier eliminieren. Somit wird die Anzahl der "besseren" Mannschaften reduziert und eine schwächere Mannschaft bekommt mehr Chancen, mit Glück Turniersieger zu werden.

7. Die Ergebnisse in der Gruppenphase und in den früheren Runden der Finalphase werden in keiner Weise berücksichtigt. Das führt zu paradoxen Effekten und intransparenten Endplatzierungen. Zum Beispiel, bei der EM 2021 hat Dänemark mit insgesamt drei Niederlagen das Halbfinale erreicht, während Belgien nach Siegen in allen ersten vier Spielen (auch gegen Dänemark) schon im Viertelfinale nach einziger Niederlage gegen den späteren Europameister Italien ausgeschieden war.

8. Der Anteil der Spiele zwischen den besten Mannschaften ist zu gering im Vergleich zur Gesamtzahl der Spiele. Zum Beispiel, bei den Fußball-Weltmeisterschaften werden insgesamt 64 Spiele durchgeführt. 57 Spiele davon werden in der Gruppenphase (darunter etliche bedeutungslose und "fairplaymäßig problematische"), im Achtelfinale und um den unbedeutenden 3. Platz ausgetragen. Für die spannenden und hochklassigen Begegnungen zwischen acht letzten um den Meistertitel kämpfenden Mannschaften sind nur 7 Spiele reserviert.

9. Für die zukünftigen Fußball-Weltmeisterschaften gibt es keine positiven Entwicklungen. Die FIFA plant die WM 2026 mit 48 Mannschaften. In der Gruppenphase sollen 16 Gruppen je 3 Mannschaften gebildet werden, danach folgt die Finalrunde mit 32 Teilnehmern. Auch in den Gruppen mit drei Teilnehmern sind "fairplaymäßig problematische" Konstellationen und bedeutungslose Spiele möglich. Und im Fall des K.-O-Systems mit 32 Mannschaften wird die Ermittlung des Weltmeisters noch mehr von zufälligen Faktoren beeinflusst.

Die FIFA und die UEFA als Veranstalter der Fußball-Welt- und Europameisterschaften sind aufgefordert, die Turnierformate grundlegend zu überarbeiten, um deren Qualität der großen gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Bedeutung des Fußballs anzupassen.

Vergleich der Turnierformen

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Der Vergleich vom Zwei-Chancen-System mit anderen Turnierformen wird auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeit vorgenommen, mit der die tatsächlich beste Mannschaft in der entsprechenden Turnierform als Sieger ermittelt wird. Für alle Beispiele wird ein Turnier mit 8 Mannschaften herangezogen. Es wird angenommen, dass 7 Mannschaften gleich stark sind und die beste Mannschaft "A" mit einer größeren Wahrscheinlichkeit in jedem Spiel gegen diese Mannschaften gewinnt.

Beispiel 1.

Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeiten für den Sieg in der regulären Zeit, in der Verlängerung und im Elfmeterschießen, wenn 7 Mannschaften untereinander spielen, jeweils 30 %, 5 %, 15 % betragen. Diese Werte sind auf der Basis der tatsächlich stattgefundenen Spiele in der Finalphase (ab Viertelfinale) in Fußball-Welt- (1986–2018) und Europa- (1996–2016) Meisterschaften ermittelt. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Spiele der Mannschaft "A" gegen 7 Mannschaften betragen 50,5 %, 6 %, 10,5 % und 19,5 %, 3 %, 10,5 %. In diesem Fall wird angenommen, dass alle Mannschaften die gleichen Chancen im Elfmeterschießen haben, d. h. die Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft "A" im Elfmeterschießen (GWiEMS) ist 50 %. Für die weitere Analyse des Unterschieds zwischen Turnierformaten können verschiedene weitere Modelle gebildet werden, unter der Voraussetzung, dass die Mannschaft "A" mit der Wahrscheinlichkeit 67 % jedes Spiel im K.-o.-System gewinnt, dabei die Gewinnwahrscheinlichkeiten der Mannschaft "A" im Elfmeterschießen zwischen 0 % und 100 % variieren. Zum Beispiel, der Gewinnwahrscheinlichkeit im Elfmeterschießen 100 % entsprechen die folgenden Wahrscheinlichkeiten: 40 %, 6 %, 21 % und 30 %, 3 %, 0 %.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" im K.-o.-System in jedem einzelnen Spiel gewinnt, beträgt in allen solchen Modellen 67 % (50,5 % + 6 % + 10,5 %). Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" das Turnier in diesem Format gewinnt, 30 % (0,67 * 0,67 * 0,67).

Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" im Rundenturnier als Sieger hervorgeht, werden zwei Werte ermittelt: Maximalwert und Mittelwert. Das hängt damit zusammen, dass die genauen Ergebnisse in diesem vereinfachten Modell nicht berücksichtigt und die Tordifferenzen sowie andere Faktoren zur Rangermittlung bei Punktgleichheit nicht hingezogen werden können. Stattdessen wird unter dem Maximalwert auch die Fälle zusammengefasst, bei denen die Mannschaft "A" den ersten Platz mit einer oder mehreren anderen Mannschaften bei der Punktgleichheit teilt. Unter dem Mittelwert wird in solchen Fällen die entsprechende Gewichtung vorgenommen. Der tatsächliche Wert liegt somit zwischen diesen zwei Werten und hängt davon ab, wie die Ermittlung der Platzierung bei Punktgleichheit im konkreten Turnier geregelt ist.

Für das Turnierformat Zwei-Chancen-System werden die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die drei Varianten berechnet: die Standardvariante, die Variante mit Regelung 1 und die Variante ohne Regelung 1. Das Zwei-Chancen-System integriert einige Elemente sowohl des Rundenturniers als auch des K.-o.-Systems, folglich liegen die Wahrscheinlichkeiten des Zwei-Chancen-Systems zwischen den Werten dieser beiden Formate.

Somit können die Unterschiede in der Performance der Turnierformen abhängig von verschiedenen Daten-Modellen quantitativ dargestellt werden.

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In den meisten Fällen ist das Rundenturnier bei der Ermittlung des Turniergewinners deutlich besser als die anderen Formate. Nur in einigen eher theoretischen Fällen (die Mannschaft "A" ist geringfügig besser in der regulären Zeit und fast immer gewinnt im Elfmeterschießen) sind die Wahrscheinlichkeiten vergleichbar. Als Fazit lässt sich festhalten, dass die Performance einer Turnierform erheblich vom Daten-Modell beziehungsweise von der Stärke-Konstellation der beteiligten Teilnehmer abhängig ist und das Rundenturnier nicht in allen Fällen bedeutend überlegen gegenüber anderen Turnierformaten ist.

Beispiel 2

In diesem Beispiel wird die Performance der Turnierformate auf der Basis von den Modell-Fällen verglichen, in denen alle Spiele in der regulären Zeit entschieden werden. Demzufolge hängt die Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft "A" ausschließlich von der Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft "A" in der regulären Zeit (GWiRZ) ab.

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In allen Modell-Fällen hat die beste Mannschaft "A" im Rundenturnier eine größere Wahrscheinlichkeit, der Turniersieger tatsächlich zu werden.

Interpretation von Vergleichsergebnissen der Turnierformen mit und ohne Tie-Break

Im Unterschied zu Turnierformaten ohne Tie-Break (Vorgehensweisen zur Ermittlung eines Siegers beim Fußball), z. B. Rundenturnier, ermitteln die Turnierformate mit Tie-Break, z. B. K.-o.-System, den Turniersieger nicht nur auf der Grundlage von Ergebnissen in der regulären Zeit, sondern auch zusätzlich auf der Grundlage von den Tie-Break-Entscheidungen (Verlängerung und Elfmeterschießen). Die Interpretation des Vergleichs von solchen Turnierformen hängt von der Definition der "tatsächlich besten" Mannschaft ab. Es gibt zwei Varianten:

1. Nur die Ergebnisse in der regulären Zeit zählen für die Bestimmung der besten Mannschaft.

In dieser Interpretation ist das Rundenturnier in allen Modell-Fällen das beste Turnierformat unabhängig von den ermittelten Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeiten. In den Modell-Fällen mit der größeren Diskrepanz von Leistungen der Mannschaften in der regulären Zeit und in den Tie-Break-Entscheidungen wird die Performance von Tie-Break-Formaten entweder unter- (Im Beispielfall 1: GWiEMS < 20 %) oder überschätzt (Im Beispielfall 1: GWiEMS > 80 %).

2. Die Leistungen der Mannschaften sowohl in der regulären Zeit als auch bei der Tie-Break-Entscheidungen sollen bei der Ermittlung der besten Mannschaft berücksichtigt werden.

In dieser Interpretation bestimmt die ermittelte Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeit abhängig vom konkreten Modell-Fall das beste Turnierformat. Das Rundenturnier kompensiert in den meisten Fällen die fehlende Information über die Leistungen in den Tie-Break-Entscheidungen und bleibt das beste Format. In den Modell-Fällen mit der Tie-Break-Dominanz (Im Beispielfall 1: GWiEMS > 90 %) wird das K.-o.-System das beste Format.

In den meisten praxisrelevanten Modell-Fällen, wenn die Leistungen der Mannschaften in der regulären Zeit und in den Tie-Break-Entscheidungen miteinander korrespondieren, sind die Ergebnisse des Vergleichs von Turnierformaten identisch in den beiden Interpretationen.

Vergleich mit anderen Turnierformen Vorherige Version

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Für alle Beispiele wird ein Turnier mit 8 Mannschaften herangezogen. Es wird angenommen, dass 7 Mannschaften gleich stark sind und die beste Mannschaft "A" mit größerer Wahrscheinlichkeit in jedem Spiel gegen diese Mannschaften gewinnt.

Beispiel 1.

Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeiten für Sieg in der regulären Zeit, in der Verlängerung und im Elfmeterschießen, wenn 7 Mannschaften untereinander spielen, jeweils 30 %, 5 %, 15 % betragen. Diese Werte sind auf der Basis der tatsächlich stattgefundenen Spiele in der Finalphase (ab Viertelfinale) in Fußball-Welt- (1986–2018) und Europa- (1996–2016) Meisterschaften ermittelt.

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Spiele der Mannschaft "A" gegen 7 Mannschaften betragen 50,5 %, 6 %, 10,5 % und 19,5 %, 3 %, 10,5 %. In diesem Fall wird angenommen, dass alle Mannschaften die gleichen Chancen im Elfmeterschießen haben, d. h. die Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft "A" beim Elfmeterschießen ist 50 %.

Für die weitere Analyse des Unterschieds zwischen Rundenturnier und K.-o.-System können verschiedene Modelle gebildet werden, unter der Voraussetzung, dass die Mannschaft "A" mit der Wahrscheinlichkeit 67 % jedes Spiel im K.-o.-System gewinnt, dabei die Gewinnwahrscheinlichkeiten der Mannschaft "A" im Elfmeterschießen zwischen 0 % und 100 % variieren. Zum Beispiel, der Gewinnwahrscheinlichkeit im Elfmeterschießen 100 % entsprechen die folgenden Wahrscheinlichkeiten: 40 %, 6 %, 21 % und 30 %, 3 %, 0 %.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" in jedem einzelnen Spiel gewinnt, beträgt in allen Modellen 67 % (50,5 % + 6 % + 10,5 %). Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" das Turnier im K.-o.-System gewinnt, 30 % (0,67 * 0,67 * 0,67).

Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" im Rundenturnier als Sieger hervorgeht, wurden zwei Werte ermittelt: Maximalwert und Mittelwert. Das hängt damit zusammen, dass die genauen Ergebnisse in diesem vereinfachten Modell nicht berücksichtigt und die Tordifferenzen sowie andere Faktoren zur Rangermittlung bei Punktgleichheit nicht hingezogen werden können. Stattdessen wird unter dem Maximalwert auch die Fälle zusammengefasst, bei denen die Mannschaft "A" den ersten Platz mit einer oder mehreren anderen Mannschaften teilt. Unter dem Mittelwert wird in solchen Fällen die entsprechende Gewichtung vorgenommen. Der tatsächliche Wert liegt somit zwischen diesen zwei Werten und hängt davon ab, wie die Entscheidung im Fall der Punktgleichheit im konkreten Turnier geregelt wird.

Für das Turnierformat Zwei-Chancen-System werden die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die drei Varianten berechnet: Standardvariante, Variante mit Regelung 1 und ohne Regelung 1.

Das Zwei-Chancen-System integriert einige Elemente sowohl des Rundenturniers als auch des K.-o.-Systems, folglich liegen die Zwei-Chancen-System-Wahrscheinlichkeiten zwischen den Werten dieser beiden Formate.


Beispiel 2

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Interpretation von Vergleichsergebnissen der Turnierformen mit und ohne Tie-Break

Im Unterschied zu Turnierformaten ohne Tie-Break (z. B. Rundenturnier) ermitteln die Turnierformate mit Tie-Break (z. B. K.-o.-System) den Turniersieger nicht nur auf der Grundlage von Ergebnissen in der regulären Zeit, sondern auch zusätzlich auf der Grundlage von den Tie-Break-Entscheidungen (Verlängerung und Elfmeterschießen). Die Interpretation des Vergleichs von solchen Turnierformen hängt von der Definition der "tatsächlich besten" Mannschaft ab. Es gibt zwei Varianten:

1. Nur die Ergebnisse in der regulären Zeit zählen für die Bestimmung der besten Mannschaft.

In dieser Interpretation ist das Rundenturnier in allen Modell-Fällen das beste Turnierformat unabhängig von den ermittelten Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeiten. In den Modell-Fällen mit der größeren Diskrepanz von Leistungen der Mannschaften in der regulären Zeit und in den Tie-Break-Entscheidungen wird die Performance von Tie-Break-Formaten entweder unter- (Im Beispielfall: GWiEMS < 20 %) oder überschätzt (Im Beispielfall: GWiEMS > 80 %).

2. Die Leistungen der Mannschaften sowohl in der regulären Zeit als auch bei der Tie-Break-Entscheidungen sollen bei der Ermittlung der besten Mannschaft berücksichtigt werden.

In dieser Interpretation bestimmt die ermittelte Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeit abhängig vom konkreten Modell-Fall das beste Turnierformat. Das Rundenturnier kompensiert in den meisten Fällen die fehlende Information über die Leistungen in den Tie-Break-Entscheidungen und bleibt das beste Format. In den Modell-Fällen mit der Tie-Break-Dominanz (Im Beispielfall: GWiEMS > 90 %) wird das K.-o.-System das beste Format.

In den meisten praxisrelevanten Modell-Fällen, wenn die Leistungen der Mannschaften in der regulären Zeit und in den Tie-Break-Entscheidungen miteinander korrespondieren, sind die Ergebnisse des Vergleichs von Turnierformaten identisch in den beiden Interpretationen.


Vergleich der Turnierformen3

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Das Primärziel eines Turnierformats besteht darin, den Turniergewinner zu ermitteln. Wegen der Rahmenbedingungen und Eigenschaften eines konkreten Turniermodus sowie verschiedenen Zufallsfaktoren ist es möglich, dass auch nicht der stärkste Turnierteilnehmer gelegentlich Meister werden kann. Als Grundlage für den Vergleich von verschiedenen Turnierformen in Bezug auf Primärziel kann die Wahrscheinlichkeit hingezogen werden, mit der die tatsächlich beste Mannschaft als Sieger ermittelt wird, insbesondere in den praxisnahen Fällen, bei denen die beste Mannschaft nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einer Begegnung gewinnt.

Die folgenden Beispiele für ein Fußball-Turnier mit 8 Mannschaften illustrieren diese Vorgehensweise für den Vergleich der Turnierformen.

Es wird angenommen, dass 7 Mannschaften gleich stark sind und die Wahrscheinlichkeiten für Sieg, Unentschieden und Niederlage, wenn sie gegeneinander spielen, betragen 30 %, 40 %, 30 %. Für die Spiele der besten Mannschaft "A" gegen diese 7 Mannschaften betragen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten 50,5 %, 30 %, 19,5 %.

  • Bewertung für das Rundenturnier

Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" den Turniersieg davonträgt, wurden bei diesem Modell zwei Werte ermittelt: Maximalwert 49,9 % und Mittelwert 44,9 %. Das hängt damit zusammen, dass die genauen Ergebnisse in diesem vereinfachten Modell nicht berücksichtigt und die Tordifferenzen sowie andere Faktoren zur Rangermittlung bei Punktgleichheit nicht hingezogen werden können. Stattdessen wird unter dem Maximalwert auch die Fälle zusammengefasst, bei denen die Mannschaft "A" den ersten Platz mit einer oder mehreren anderen Mannschaften teilt. Unter dem Mittelwert wird in solchen Fällen die entsprechende Gewichtung vorgenommen. Der tatsächliche Wert liegt somit zwischen diesen zwei Werten und hängt davon ab, wie die Entscheidung im Fall der Punktgleichheit im konkreten Turnier geregelt wird. Nach dieser Bewertung wird die beste Mannschaft "A" in diesem Modell in weniger als die Hälfte aller Fälle tatsächlich Turniersieger, obwohl sie in einzelnen Spielen vergleichsweise überlegen ist. Demzufolge ist die Anwendung des Rundenturniers keine Garantie dafür, dass der erste Platz richtig ermittelt wird, geschweige denn alle Ränge richtig zugeordnet werden. Je geringer die Stärke-Differenz der Teilnehmer ist, desto ungenauer ist diese Zuordnung.

  • Bewertungen für den Vergleich des Rundenturniers mit anderen Turniermodi

Für den Vergleich mit K.-o.-System muss das Modell erweitert werden, weil K.-o.-System zusätzlich das Elfmeterschießen als Tiebreak (Vorgehensweisen zur Ermittlung eines Siegers beim Fußball) verwendet. In diesem Modell betragen die Wahrscheinlichkeiten für die Spiele von 7 Mannschaften untereinander in Bezug auf Sieg in der regulären Zeit, in der Verlängerung und im Elfmeterschießen jeweils 30 %, 5 %, 15 %. Diese Werte sind auf der Basis der tatsächlich stattgefundenen Spiele in der Finalphase (ab Viertelfinale) in Fußball-Welt- (1986 - 2018) und Europa- (1996 - 2016) Meisterschaften ermittelt. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Spiele der Mannschaft "A" gegen 7 Mannschaften betragen 50,5 %, 6 %, 10,5 % und 19,5 %, 3 %, 10,5 %. In diesem Fall wird angenommen, dass alle Mannschaften die gleichen Chancen im Elfmeterschießen haben, d. h. die Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft "A" beim Elfmeterschießen ist 50 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" in jedem einzelnen Spiel gewinnt, beträgt 67 % (50,5 % + 6 % + 10,5 %). Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft "A" das Turnier im K.-o.-System gewinnt, 30 % (0,67 * 0,67 * 0,67). Die im ersten Beispiel berechnete Wahrscheinlichkeit für das Rundenturnier liegt zwischen 49,9 % und 44,9 %. Somit kann die bessere Performance des Rundenturniers gegenüber K.-o.-System in diesem Modell-Fall in Zahlen ausgedrückt werden.

Für die weitere Analyse des Unterschieds zwischen Rundenturnier und K.-o.-System können weitere Modelle gebildet werden, unter der Voraussetzung, dass die Mannschaft "A" mit der Wahrscheinlichkeit 67 % jedes Spiel im K.-o.-System gewinnt, dabei die Gewinnwahrscheinlichkeiten der Mannschaft "A" im Elfmeterschießen (GWbEMS) zwischen 0 % und 100 % variieren. Zum Beispiel, der Gewinnwahrscheinlichkeit im Elfmeterschießen 100 % entsprechen die folgenden Wahrscheinlichkeiten: 40 %, 6 %, 21 % und 30 %, 3 %, 0 %.

Hier fehlt eine Grafik, die leider im Moment aus technischen Gründen nicht angezeigt werden kann. Wir arbeiten daran!

In den meisten Fällen ist das Rundenturnier bei der Ermittlung des Turniergewinners deutlich besser als das K.-o.-System. Nur in einigen eher theoretischen Fällen (die Mannschaft "A" ist geringfügig besser in der regulären Zeit und fast immer gewinnt im Elfmeterschießen) sind die Wahrscheinlichkeiten vergleichbar. Als Fazit lässt sich festhalten, dass die Performance einer Turnierform in Bezug auf Primärziel erheblich vom Daten-Modell beziehungsweise von der Stärke-Konstellation der beteiligten Teilnehmer abhängig ist und das Rundenturnier nicht in allen Fällen bedeutend überlegen gegenüber anderen Turnierformaten ist.

Interpretation von Vergleichsergebnissen der Turnierformen mit und ohne Tie-Break

Im Unterschied zu Turnierformaten ohne Tie-Break (z. B. Rundenturnier) ermitteln die Turnierformate mit Tie-Break (z. B. K.-o.-System) den Turniersieger nicht nur auf der Grundlage von Spielergebnissen in der regulären Zeit, sondern auch zusätzlich auf der Grundlage von den Tie-Break-Entscheidungen (Verlängerung und Elfmeterschießen). Die Interpretation des Vergleichs von solchen Turnierformen hängt von der Definition der "tatsächlich besten" Mannschaft ab. Es gibt zwei Varianten:

1. Nur die Ergebnisse in der regulären Zeit zählen für die Bestimmung der besten Mannschaft.

In dieser Interpretation ist das Rundenturnier in allen Modell-Fällen das beste Turnierformat unabhängig von der ermittelten Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeit. In den Modell-Fällen mit der größeren Diskrepanz von Leistungen der Mannschaften in der regulären Zeit und in den Tie-Break-Entscheidungen wird die Performance von Tie-Break-Formaten entweder unter- (Im Beispielfall: GWbEMS < 20 %) oder überschätzt (Im Beispielfall: GWbEMS > 80 %).

2. Die Leistungen der Mannschaften sowohl in der regulären Zeit als auch bei der Tie-Break-Entscheidungen werden bei der Ermittlung der besten Mannschaft berücksichtigt.

In dieser Interpretation bestimmt die ermittelte Turnier-Gewinnwahrscheinlichkeit abhängig vom konkreten Modell-Fall das beste Turnierformat. Das Rundenturnier kompensiert in den meisten Fällen die fehlende Information über die Leistungen in den Tie-Break-Entscheidungen und bleibt das beste Format. In den Modell-Fällen mit der Tie-Break-Dominanz (Im Beispielfall: GWbEMS > 90 %) wird das K.-o.-System das beste Format.

In den meisten praxisrelevanten Modell-Fällen, wenn die Leistungen der Mannschaften in der regulären Zeit und in den Tie-Break-Entscheidungen miteinander korrelieren, sind die Ergebnisse des Vergleichs von Turnierformaten identisch für beide Interpretation.

Vorlage:Invoke:RoundN 1. Runde ——————— 2. Runde ————— 3. Runde ——————— Halbfinale ————— Finale ————

Spiel 1 — D - E ———— Spiel 7 — E - G —— Spiel 10 — C - E~ —— Spiel 13 — A - E~ ———

Spiel 2 — A - H ———— Spiel 5 — A - D ————

.............................................................................................................................. Spiel 9 — A - B ————..................................................Spiel 14 — A~ - B~ —

Spiel 3 — B - G ———— Spiel 6 — B - C ————

Spiel 4 — C - F ———— Spiel 8 — F - H —— Spiel 11 — D - F~ —— Spiel 12 — B - D~ ———


Runde 1 Round 2 Round 3
                   
         
   
     
   
         
   
     
   
   
     
   Abbb
 A14  A15  
    Third
A16
         
   
   
     
   
 


  Division Semifinals Division Finals Semifinal Calder Cup Final
                                     
A1  
A4  
   
   
A2
A3  
   
   
N1  
N4  
     
         
N2
N3  
   
   
S1  
S4  
   
   
S2
S3  



Vorlage:Documentation

 
1. Runde2. Runde3. RundeHalbfinaleFinale
 
                  
 
Spiel 1
 
 
D
 
Spiel 7
 
E
 
E
 
 
G
 
 
Spiel 10
 
 
C
 
 
E~
 
 
 
 
 
 
 
 
Spiel 13
 
 
A
 
Spiel 2
 
C~
 
A
 
Spiel 5
 
H
 
A
 
 
D
 
 
Spiel 9
 
 
A
 
 
B
 
 
Spiel 6
 
 
B
 
Spiel 3
 
C
 
B
 
Spiel 14
 
G
 
A~
 
 
B~
 
 
 
 
 
 
 
 
Spiel 11
 
 
D
 
 
F~
 
 
Spiel 8
 
 
F
 
Spiel 4
 
H
 
C
 
Spiel 12
 
F
 
B
 
 
D~3. Platz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Runde2. Runde3. RundeHalbfinaleFinale
 
                  
 
Spiel 1
 
 
D
 
Spiel 7
 
E
 
E
 
 
G
 
 
Spiel 10
 
 
C
 
 
E~
 
 
 
 
 
 
 
 
Spiel 13
 
 
A
 
Spiel 2
 
C~
 
A
 
Spiel 5
 
H
 
A
 
 
D
 
 
Spiel 9
 
 
A
 
 
B
 
 
Spiel 6
 
 
B
 
Spiel 3
 
C
 
B
 
Spiel 14
 
G
 
A~
 
 
B~
 
 
 
 
 
 
 
 
Spiel 11
 
 
D
 
 
F~
 
 
Spiel 8
 
 
F
 
Spiel 4
 
H
 
C
 
Spiel 12
 
F
 
B
 
 
D~