Benutzer:MartinThoma/Elementarteiler

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Elementarteiler können über den Struktursatz endlicher ablescher Gruppen eingeführt werden:^[1]

Es sei ${\displaystyle G}$ eine endliche, abelsche Gruppe. Dann gibt es ${\displaystyle d_{1},d_{2},\dots ,d_{t}\in \mathbb {N} _{\geq 1}}$ mit ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\dots |d_{t}}$ und einen Isomorphismus

${\displaystyle G\cong Z(d_{1})\oplus Z(d_{2})\oplus \dots \oplus Z(d_{t})}$.

Die Zahlen ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{t}}$ sind durch ${\displaystyle G}$ eindeutig bestimmt. Die Zahlen ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{t}}$ werden Elementarteiler genannt.

${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&10&0\\0&0&15\end{pmatrix}}}$

Es gilt: ${\displaystyle ggT(A)=1}$, also ist ${\displaystyle A_{1,1}=1}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&0&0\\0&10&0\\0&0&15\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}4&0&-15\\0&10&0\\0&0&15\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}4&0&1\\0&10&0\\0&0&15\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&4\\0&10&0\\15&0&0\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&4\\0&10&0\\0&0&-60\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&10&0\\0&0&-60\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&10&0\\0&0&60\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \det {A}=4\cdot 10\cdot 15=600}$ ist die Determinante von ${\displaystyle A}$. Jeder Elementarteiler ist ein Teiler der Determinante: ${\displaystyle 1|10|60|600}$.

1. ↑ Gerd Fischer: Lehrbuch Der Algebra. Springer, 2007, ISBN 978-3-8348-9455-7, S. 108.