Die Sattelpunktsnäherung wird verwendet, um Integrale der Form
näherungsweise zu berechnen.
Falls die Funktion
analytisch ist und ein globales Minimum bei
besitzt, so erhält man:
mit
Für große N wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von
beliebig klein. Deshalb wird f(x) um
in eine Taylorreihe entwickelt:
Einsetzen ins Integral liefert
Das Integral über die Gauß-Verteilung lässt sich leicht lösen.
Für die Integration genügt es also, f(x) in dieser Umgebung zu Entwickeln
\lim_{N \to \infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-Nf(x)} \; \mathrm{d}x =
\left({\lim_{N \to \infty} e^{-Nf(x_0)}}\right) \; \int\limits_{-\infty}^{\infty} \lim_{N \to \infty}
e^{-N\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2} \; \mathrm{d}x =
</math>
![{\displaystyle \delta (x-x_{0})=\lim _{N\to \infty }{\sqrt {\frac {\pi }{N}}}e^{-N(x-x_{0})^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be969365f5fc38f091af75ba0f009cd0a590aa3)