Benutzer:Lord Skunk/uni/laag lernkarten

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\newtheorem{defi}{Definition} \newtheorem{bsp}{Beispiel}

\title{Lernkarten\\Lineare Algebra und analytische Geometrie} \author{Michael Kopp}

\usepackage{default}

\begin{document}

\frame{\maketitle} \frame{\tableofcontents}

\section{Vektorräume}

\begin{frame}{$K$-Vektorraum (Def)} \label{def_k-vektorraum} \begin{itemize}

\item Körper $K$ (Elemente heißen "`\textbf{Skalare}"') \label{def_skalar}\index{Skalar}
\item Menge $V$ (Elemente heißen "`\textbf{Vektoren}"')\label{def_vektor}\index{Vektor} mit 
\begin{itemize}
 \item innere, zweistellige Verknüpfung "`Vektoraddition"'\\

"`$\oplus$"': $V \times V \rightarrow V: ~~ (a,b) \mapsto a+b$

 \item äußere, zweistellige Verknüpfung "`skalare Multiplikation"' \\

"`$\odot$"': $K \times V \rightarrow V: ~~ (\lambda, a) \mapsto \lambda \cdot a$

\end{itemize}
\item $(V,\oplus)$ ist abel'sche Gruppe (\ref{def_abelsche_gruppe})
\item \textit{Harmonie} zwischen "`$\oplus$"', "`$+$"', "`$\odot$"' und "`$\cdot$"' ("`\textbf{Distributivität}"') ($\lambda, \mu \in K; v, w \in V$)
\begin{itemize}
 \item $\vec 1\odot v = v$
  \item $\lambda \odot (\mu \odot v) = (\lambda \cdot \mu) \odot v$
 \item $(\lambda + \mu) \odot v = \lambda \odot v \oplus \lambda \odot v$
 \item $\lambda \odot (v \oplus w) = (\lambda \odot v ) \oplus (\lambda \odot w)$
\end{itemize}

\end{itemize} Statt "`$\odot$"' und "`$\oplus$"' schreibt man auch einfach "`$+$"', "`$\cdot$"'. \end{frame}

\begin{frame}{Vererbung von Verknüpfungen}

Wenn eine Operation $\circledast: (a,b) \mapsto (a \ast b)$ in einer Menge $M$ erklärt ist, dann auch für jede Untermenge $A, B \subseteq M$:
\begin{itemize}
 \item $A \circledast B = \{ a \ast b | a \in A, ~ b\in B \}$
 \item $A \circledast \{b\} = \{ a \ast b | a \in A\}$
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Rechenregeln für Vektoren (Lemma)} In einem $K$-Vektorraum gilt stets ($\lambda \in K, x \in V$) \begin{itemize}

\item $0 \cdot x = \vec 0$
\item $\vec 0 \cdot \lambda = \vec 0$

\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Skalare Vielfache (Def)}

\label{def_skalare_vielfache}\index{Skalares Vielfaches}
Für $v \in V$ heißt $\{\lambda \cdot v | \lambda \in K\}$ \textbf{skalares Vielfaches} von $v$

\end{frame}

\begin{frame}{Linear abhängig (Def)}

\label{def_linear_abhaengig}\index{Linear abhängig}\index{Linear unabhängig}
\begin{block}{einzelne Vektoren}

Zwei Vektoren $v$, $w$ sind \textbf{lin. abhängig}, wenn

$$\lambda \cdot v + \mu \cdot b = \vec 0$$
für $\lambda, \mu \in K$, nicht beide $0$ und $u, v \in V$

Andernfalls sind $u, v$ \textbf{lin. unabhängig}
\end{block}

\begin{block}{Teilmengen}

Eine Teilmenge $A$ heißt lin. abhängig, wenn mit allen $a_i \in A$ eine nichttriviale Linearkombination (nicht alle $\lambda _i = 0$) $= \vec 0$ bilden lässt:
$$\sum \limits_{i = 0}^n \lambda_i\cdot a_i = \vec 0 Lord Skunk \Rightarrow a_n = \frac{1}{\lambda_n} \left ( - \sum \limits_{i = 0}^{n-1} \lambda_i a_i \right )$$

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}{Linearkombination, Spann (Def)}

\label{def_linearkombination}\index{Linearkombination}\label{def_spann}\index{Spann}
Für $A \subseteq V$ ist 
$$\sum \limits_{i = 0}^{n} \lambda_i a_i$$
mit $a_i \in A$ und $\lambda_i \in K$ eine \textbf{Linearkombination}

$A$ kann unendlich groß sein, $n$ ist aber endlich.

\begin{block}{Spann} Die \textbf{Menge aller Linearkombinationen} von $A$ heißt "`\textbf{Spann}"' von $A$:

$$\langle A \rangle$$ \end{block} \end{frame}

\subsection{Untervektorraum}

\begin{frame}{Untervektorraum "`UVR"' (Def)} \label{def_untervektorraum}\index{Untervektorraum}\index{UVR}

Eine \emph{Teilmenge} $U$ (mit $U \neq \emptyset$) eines Vektorraumes $V$, die selbst wieder ein Vektorraum mit der selben Addition $\oplus$, Multiplikation $\odot$ und dem selben Körper $K$ wie in $V$ ist.
\begin{itemize}
\item $U \neq \emptyset$ Lord Skunk (Nicht leer)
 \item $a, b \in U \Rightarrow (a\oplus b) \in U$ Lord Skunk (abgeschlossen gegenüber Addition aus $V$
 \item $a \in U, \lambda \in K \Rightarrow (\lambda\odot a) \in U$ Lord Skunk (abgeschlossen gegenüber Multiplikation aus $V$
\end{itemize}
\begin{description}
 \item[Schreibweise] $U \leq V$
 \end{description}

\end{frame}

\begin{frame}{Verhalten zweier UVRs (Lemma)} \label{def_durchschnitt_uvr}\index{Durchschnitt!UVR}

\begin{block}{Durchschnitt $\cap$}
 $U_1 \leq V, U_2 \leq V \Rightarrow U_1 \cap U_2 \leq V$
 
 $U_1 \cap U_2 = \{ x \in V | x \in U_1 \wedge x \in U_2 \}$
\end{block}

\begin{block}{Summe $+$}

 $U_1 \leq V, U_2 \leq V \Rightarrow U_1 + U_2 \leq V$
 
 $U_1 + U_2 = \{ (x,y) \in V | x\in U_1, y \in U_2\} = \langle U_1 \cup U_2 \rangle$

\end{block}

$\cap$ und $+$ sind \emph{kommutativ}, \emph{assoziativ}, aber \emph{nicht distributiv}

\begin{block}{Neutrale Elemente}

\begin{itemize}
 \item $U_1 \cap V = U_1$
 \item $U_1 + \{ \vec 0 \} = U_1$
\end{itemize}

\end{block}

\begin{block}{Vereinigung $\cup$ (Nur im Spezialfall:)}

$U_1 \leq V, U_2 \leq V \Rightarrow \left ((U_1 \cup U_2 \leq V) \Leftrightarrow (U_1 \subseteq U_2 \vee U_1 \supseteq U_2) \right )$

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}{Komplement (Def)} \label{def_komplement_untervektorraeume}\index{Komplement!Untervektorräume}

$U_1$ und $U_2$ heißen \textbf{komplementär}, wenn 
$$U_1 \cap U_2 = \{\vec 0 \} ~~ \text{und} ~~ U_1 + U_2 = V$$

Das Komplement zu $U_1$ ist \emph{nicht} eindeutig.

\end{frame}

\begin{frame}{Erzeugendensystem (Def)} \label{def_erzeugendensystem}\index{Erzeugendensystem} $A$ ist ein \textbf{Erzeugendensystem}, wenn $\langle A \rangle = V$ (Menge aller Linearkombinationen (\ref{def_linearkombination}) von $A$ ist $V$)

\begin{itemize}

\item $B \lvertneqq V \Rightarrow A \nleq B$
\item $A \leq B \Rightarrow B \text{ ist Erzeugendensystem}$
\item $A \text{lin. unabh.} \Rightarrow B \text{lin. unabh.}$

\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Basis (Def)} \label{def_basis}\index{Basis}

$B$ ist Basis.

\begin{description}
\item[$B$ ist minimales Erzeugendensystem] $\nexists C \lvertneqq B$ mit $C$ ist Erzeugendensystem $\Leftrightarrow$ $B$ ist lin. unabh.
\index{minimales Erzeugendensystem}\index{Erzeugendensystem!minimal}
\item[$B$ ist maximale lin. unabh. Teilmenge] $\nexists C \gneqq B$ mit $C$ ist lin. unabh. $\Leftrightarrow$ $B$ ist Erzeugendensystem
\index{maximale lin. unabh. Teilmenge}
\end{description}

$\forall a \in V$ lassen sich \emph{eindeutig} als Linearkombination (\ref{def_linearkombination}) schreiben

\end{frame}

% \begin{frame}{Index} % \printindex % \end{frame}

\end{document}