Benutzer:Leonry/Wasserstein

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Der Wasserstein-Abstand erlaubt, den Abstand zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen zu messen. Sie ist nach Leonid Nissonowitsch Wasserstein benannt. Sie ist in der Literatur auch als Kantorowitsch-Rubinstein-Metrik (nach Leonid Kantorowitsch und Gennadii Rubinstein) bekannt.

Sei ${\displaystyle (E,d)}$ ein polnischer Raum im Sinne, dass ${\displaystyle d}$ ein Abstand auf ${\displaystyle E}$ ist und der metrische Raum ${\displaystyle (E,d)}$ vollständig und separabel ist. Sei ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$ die induzierte Borelsche σ-Algebra auf ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle \left(E,{\mathcal {B}}(E)\right)}$. Weiter sei ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ und definiere die Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}(E)}$ aller Wahrscheinlichkeitsmaße der Ordnung p durch$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}(E):=\lbrace \mu \in {\mathcal {P}}(E)\vert \forall x\in E,\int _{E}\left(d(x,y)\right)^{p}\mathrm {d} \mu (y)<\infty \rbrace }$$Für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathcal {P}}_{p}(E)}$ bezeichne mit ${\displaystyle \Pi _{p}(\mu ,\nu )}$ die Menge aller Kopplungen auf dem Produktraum ${\displaystyle E\times E}$, deren erste Randverteilung ${\displaystyle \mu }$ und zweite Randverteilung ${\displaystyle \nu }$ ist. Der p-Wasserstein-Abstand ${\displaystyle \mathrm {w} _{p}}$ zwischen ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ ist definiert durch $${\displaystyle \mathrm {w} _{p}:=\inf _{\pi \in \Pi (\mu ,\nu )}\left(\int _{E\times E}d(x,y)^{p}\mathrm {d} \pi (x,y)\right)^{\frac {1}{p}}}$$Die durch ${\displaystyle \mathrm {w} _{p}}$ induzierte Topologie auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}(E)}$ wird p-Wasserstein-Topologie genannt.

• Л. Н. Васерштейн: Марковские процессы на счетном произведении пространств, описывающие большие системы автоматов. In: Пробл. передачи информ. Band 5:3, 1969, S. 64–72 (russisch, mathnet.ru [abgerufen am 31. Mai 2024] übersetzt in Problems Inform. Transmission, 5:3 (1969), 47–52). 

Kategorie:Wahrscheinlichkeitstheorie

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