Benutzer:Leonry/Transport

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Eine Transportabbildung (engl.: pushforward), kurz auch Transport, ist in der Theorie des optimalen Transportes eine messbare Abbildung, die ein Maß in ein anderes überführt.

Sei ${\displaystyle (E,d)}$ ein polnischer Raum im Sinne, dass ${\displaystyle d}$ ein Abstand auf ${\displaystyle E}$ ist und der metrische Raum ${\displaystyle (E,d)}$ vollständig und separabel ist. Sei ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$ die induzierte Borelsche σ-Algebra auf ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}(E)}$ die Menge der endlichen Maße auf ${\displaystyle \left(E,{\mathcal {B}}(E)\right)}$. Seien ${\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathcal {M}}(E)}$ zwei Maße mit identischem Volumen. Eine Borel-meßbare Abbildung ${\displaystyle T:E\to E}$ wird Transport von ${\displaystyle \mu }$ nach ${\displaystyle \nu }$ genannt, wenn das Bildmaß ${\displaystyle \mu \circ T^{-1}}$ gleich ${\displaystyle \nu }$ist.

Dank der Transportabbildung lässt sich das Konzept der Kopplung leicht beschreiben. Die zu ${\displaystyle T}$ zugehörige Kopplung ${\displaystyle \pi }$, auch Transportplan genannt, ist definiert durch ${\textstyle \pi :=\mu \circ (\mathrm {{id}_{E}} ,T)^{-1}}$, sodass die erste Randverteilung ${\displaystyle \mu }$ und die zweite Randverteilung ${\displaystyle \nu }$ ist.

Kategore:Maßtheorie

Kategorie:Optimaler_Transport