Benutzer:Leonry/Hida-Kalkül

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Leonry auf.

Der Hida-Kalkül ist ein unendlichdimensionaler Differentialkalkül in der stochastischen Analysis. Er ist nach Takeyuki Hida benannt, der 1975 den Kalkül formalisierte. Es lassen sich mithilfe ihm starke Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen mit schwächeren Annahmen an die Parameter eindeutig bestimmen und sogar konstruieren.^[1] Er ist auch von nützlichem Gebrauch im Rahmen der gebrochenen stochastischen Integration.^[2]

Der Hida-Kalkül findet Anwendung in der Physik und Signalverarbeitung, wobei er in diesen Disziplinen als White-Noise-Analysis (zu deutsch in etwa Analysis mittels Weißen Rauschens) bekannt ist.

Im Folgenden sei der grundlegende Raum ${\displaystyle E}$ entweder der Raum der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ein geschlossenes Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ für ein beliebiges, aber festes ${\displaystyle T\in \mathbb {R} _{+}^{\ast }}$.

Sei ${\textstyle {\mathcal {S}}(E)}$ der Schwartz-Raum auf ${\textstyle E}$ und ${\textstyle {\mathcal {S}}'(E)}$ den entsprechenden Raum der temperierten Distributionen. Bezeichne mit ${\textstyle {\mathcal {B}}':={\mathcal {B}}({\mathcal {S}}'(E))}$ die Borelsche σ-Algebra auf ${\textstyle {\mathcal {S}}'(E)}$. Laut dem Satz von Bochner-Minlos existiert ein eindeutiges Maß ${\displaystyle \mu }$ wofür gilt, dass$${\displaystyle \int _{{\mathcal {S}}(E)}\exp(i\langle \omega ,f\rangle )\mu (\operatorname {d} \!\omega )=\exp(-{\frac {1}{2}}\Vert f\Vert _{L^{2}(E)}^{2})}$$für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(E)}$.

Seien ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Definiere das Produktmaß ${\displaystyle \rho :=\times _{i=1}^{d}\mu }$ auf dem Produktraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}):={\bigl (}\Pi _{i=1}^{d}{\mathcal {S}}'(E),\otimes _{i=1}^{d}{\mathcal {B}}'{\bigr )}}$. Dann heißt ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\rho )}$ der Raum des ${\displaystyle d}$-dimensionalen weißen Rauschens ${\displaystyle \rho }$.

Es lässt sich zeigen, dass eine stetige Version ${\displaystyle \mathbf {B} }$ eines Wienerprozesses bezüglich des weißen Rauschens ${\displaystyle \rho }$ existiert, wofür gilt, dass $${\displaystyle \langle \omega ,f\rangle =\int _{E}f(t)\mathbf {B} (\operatorname {d} \!t)}$$für alle ${\textstyle f\in L^{2}(E)}$ und ${\displaystyle \omega \in (\Omega ,{\mathcal {F}},\rho )}$.

Es existieren Hermite-Polynome ${\displaystyle (H_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ welche eine Orthonormalbasis im Raum des ${\displaystyle d}$-dimensionalen weißen Rauschens ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\rho )}$ aufspannen. Es lässt sich zeigen, dass eindeutige stetige Erweiterungen ${\displaystyle I_{n}}$ der Abbildungen $${\displaystyle (S(E))^{\otimes n}\ni f^{(n)}\mapsto \langle H_{n},f^{(n)}\rangle \in L^{2}(\rho )}$$auf ${\displaystyle L_{\mathrm {sym} }^{2}:=L_{\mathrm {sym} }^{2}(E^{n};(\mathbb {R} ^{d})^{\otimes n})}$ existieren. Diese ${\displaystyle I_{n}}$ lassen sich als iterierte Ito-Integrale bezüglich ${\displaystyle \mathbf {B} }$ auffassen. Weiter folgt, dass der Raum ${\displaystyle L^{2}(\rho )}$ eine Wiener-Chaos-Zerlegung der Form $${\displaystyle L^{2}(\rho )=\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }I_{n}{\bigl (}L_{\mathrm {sym} }^{2}{\bigr )}}$$erfährt.

• Takeyuki Hida: Analysis of Brownian functionals. In: Stochastic Systems: Modeling, Identification and Optimization, I. Band 5. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1976, ISBN 978-3-642-00783-5, S. 53–59, doi:10.1007/bfb0120763 (springer.com [abgerufen am 18. Juni 2024]). 

• L. Streit: White noise analysis. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org [abgerufen am 18. Juni 2024]). Vorlage:EoM/id

1. ↑ Thilo Meyer-Brandis, Frank Proske: Construction of strong solutions of SDE's via Malliavin calculus. In: Journal of Functional Analysis. Band 258, Nr. 11, Juni 2010, S. 3922–3953, doi:10.1016/j.jfa.2009.11.010 (elsevier.com [abgerufen am 18. Juni 2024]). 
2. ↑ Jens Lueddeckens: Fraktale stochastische Integralgleichungen im White-Noise-Kalkül. 2017, doi:10.25673/1999 (uni-halle.de [abgerufen am 18. Juni 2024] [object Object]).