Benutzer:Leonry/Abweichungen

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Die Theorie der großen Abweichungen ist ein Teilgebiet der Stochastik. Sie befasst sich mit dem Grenzwertverhalten der Ränder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Theorie der großen Abweichungen wurde durch Studien von Filip Lundberg in den 1920er Jahren formalisiert.^[1] Sie findet Anwendungen in verschiedenen Disziplinen der angewandten Mathematik (Versicherungsmathematik), Informatik, Physik und Biologie.

Die Theorie der großen Abweichungen lässt sich mit Beobachtungen aus der statistischen Mechanik motivieren. So lässt sich die Entropie eines abgeschlossenen Systemes mit der Wahrscheinlichkeit seines ungeordneten Zustands in Beziehung setzen. Diese als Boltzmann–Planck-Gleichung bekannte Beziehung kann als ein Prinzip der großen Abweichungen betrachtet werden.^[2]

Eine grundlegende Funktion der Theorie der großen Abweichungen ist die Ratenfunktion.

Tschebyscheffsche Ungleichung und Legendre-Transformierte sind wichtige Hilfsmittel zum Beweisen der Hauptsätze.^[3]

• Satz von Cramér
• Satz von Sanov
• Satz von Schilder
• Satz von Freidlin–Wentzell
• Satz von Gärtner–Ellis
• Lemma von Varadhan
• "Contraction principle" (faule Übersetzung: Kontraktionsprinzip; persönliche Übersetzung: Schleppregel)

• Value at Risk
• Extremwerttheorie

Es gibt neben dem Prinzip der großen Abweichungen auch ein Prinzip der moderaten Abweichungen.

• Grenzwertsätze der Stochastik
• Nina Gantert
• Curie–Weiss-Modell

• Wolfgang König: Große Abweichungen: Techniken und Anwendungen (= Mathematik Kompakt). Birkhäuser, Cham, Switzerland 2020, ISBN 978-3-03052777-8. 
• Amir Dembo, Ofer Zeitouni: Large Deviations Techniques and Applications (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 38). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-03310-0, doi:10.1007/978-3-642-03311-7. 

1. ↑ Theorema Magnum MCMLXV: das Prinzip der großen Abweichungen. In: DMV-Blog. Deutsche Mathematiker Vereinigung, 11. Februar 2021, abgerufen am 11. Juni 2024. 
2. ↑ Matthias Löwe: Große Abweichungen. Universität Münster, abgerufen am 11. Juni 2024. 
3. ↑ Wolfgang König: Große Abweichungen. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 16. August 2014; abgerufen am 11. Juni 2024.