Jede mathematische Disziplin hat ihre eigenen mathematischen Objekte, das heißt Gegenstände, die in ihr betrachtet werden, sodass man nicht generell sagen kann was unter “mathematisches Objekt” zu verstehen ist.

In Disziplinen, in denen mathematische Objekte als Mengen dargestellt werden, bedient man sich der verallgemeinernden Vorstellung, dass jede Menge Objekt sein könnte und nennt die Gesamtheit der Mengen Allklasse und Teile davon Objektklassen. Diese sind – wenn nicht zu umfangreich – Mengen; andernfalls nennt man sie Unmengen oder echte Klassen. Beispielweise bilden alle ganzen Zahlen und alle geordneten Paare Objektklassen, wobei erstere eine Menge ist, letztere eine echte Klasse.

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. Mannheim–Leipzig–Wien–Zürich 1994. ISBN 3-411-17271-1

Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte, wobei eine der beiden ausgezeichnet ist. Das von dieser angegebene Objekt wird vordere, erste oder linke, das von der anderen hintere, zweite oder rechte Komponente des geordneten Paars genannt. Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, zum Beispiel dem runden, einschließt.

Der Begriff des geordneten Paars ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert: Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.^[1]

In der Literatur finden sich unter anderen folgende Definitionen für “geordneten Paar”:

${\displaystyle \,^{(a,b)\,:=}}$	${\displaystyle \,^{\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{b\}\}}}$    zum Tupel-Begriff generalisierbare Definition[2]
	${\displaystyle \,^{\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{\{b\}\}\}}}$    nach Norbert Wiener (1914)[3]
	${\displaystyle \,^{\{\{a\},\{a,b\}\}}}$    nach Kazimierz Kuratowski (1921)[4]
	${\displaystyle \,^{\{a,\{a,b\}\}}}$    sog. kurze Definition
	${\displaystyle \,^{\{\{a,{\boldsymbol {1}}\},\{b,{\boldsymbol {2}}\}\}{\text{ wobei }}{\boldsymbol {1}}{\text{ und }}{\boldsymbol {2}}{\text{ voneinander und auch von }}a{\text{ und }}b{\text{ verschiedene Objekte sind}}.}}$  nach Felix Hausdorff (1914)[5]

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler komplexer mathematischer Strukturen, zum Beispiel der

• 2stelligen Relationen, das sind Klassen geordneter Paare, z.B.

${\displaystyle \,^{\subseteq \,:\;\,\{(x,y)\,|\,x{\text{ ist Teilmenge von }}y\}}}$

${\displaystyle \,^{<\,:\;\,\{(x,y)\,|\,x,y\,\in \,\mathbb {R} \;\wedge \;x{\text{ ist kleiner als }}y\}}}$

• Funktionen, das sind 2stellige Relationen, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthalten^[6] z.B.

${\displaystyle \,^{{\text{Pot}}\,:\;\,\{(x,y)\,|\,y{\text{ ist die Menge der Teilmengen von }}x\}}}$

${\displaystyle \,^{{\text{sqrt}}\,:\;\,\{(x,y)\,|\,x,y\,\in \,\mathbb {C} \;\wedge \;y{\text{ ist die Menge, bestehend aus den beiden Quadratwurzeln aus }}x\}}}$

• Skalarprodukte zweier Mengen:   ${\displaystyle \,^{A\times \,B\,:=\,\{(a,b)\,|\,a\,\in A\;\wedge \;b\,\in B\}}}$

• Hausdorff, Felix: Grundzüge der Mengenlehre, Veit & Comp., Leipzig 1914 (Nachdrucke bei Chelsea, New York 1949, 1965, 1978)
• Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0-12-238440-0
• Halmos P., Naive Mengenlehre, Vandenhoeck & Ruprecht; Auflage: 5. A. 1994, ISBN 978-3-525-40527-7
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter: Einführung in die Mengenlehre, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-
• Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6

1. ↑ Peano: Logique Mathématique (1897), Formel 71, in: Opere scelte II 224, oben verbalisiert
2. ↑ Encyclopaedia of Mathematics: tuple
3. ↑ van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: 224ff, Harvard University Press , Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8
4. ↑ Kuratowski: Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles, in: Fundamenta Mathemtica II (1921), S. 171
5. ↑ Haussdorf, Grundzüge der Mengenlehre, 1914, S. 32-33
6. ↑ A. Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. Mannheim–Leipzig–Wien–Zürich 1994: 49ff

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Der Tupel-Begriff verallgemeinert den des geordneten Paars: Ein geordnetes Paar hat eine erste und eine zweite Komponente, ein Tupel kann weitere haben, aber auch weniger (nur eine einzige oder gar keine).  Ein Tupel der Länge ${\displaystyle \,^{n}}$, ${\displaystyle \,^{n\,\geq \,0}}$, kurz ${\displaystyle \,^{n}}$-Tupel genannt, ist eine Liste, in der hintereinander ${\displaystyle \,^{n}}$ Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte stehen. Das an ${\displaystyle \,^{\imath }}$-ter Stelle eines nicht-leeren Tupels angegebene Objekt nennt man seine ${\displaystyle \,^{\imath }}$-te Komponente. Für “Tupel” sagt man auch endliche Folge, für “${\displaystyle \,^{n}}$-Tupel” auch ${\displaystyle \,^{n}}$-gliedrige Folge,  3-Tupel und 4-Tupel werden oft Tripel respektive Quadrupel genannt.

Die Niederschrift eines ${\displaystyle \,^{n}}$-Tupels erfolgt üblicherweise so:   ${\displaystyle \,^{\boldsymbol {(\,)}}}$ wenn ${\displaystyle \,^{n=0}}$, andernfalls so:  ${\displaystyle \,^{{\boldsymbol {(}}x_{1},\ldots ,\,x_{n}{\boldsymbol {)}}}}$  oder so:  ${\displaystyle \,{\left(\!{\begin{smallmatrix}x{_{1}}\\\!\!\!:\\{\dot {x}}{_{n}}\end{smallmatrix}}\!\!\right)}}$, auch mit anderen Klammern, wobei ${\displaystyle \,^{x_{i}}}$ seine ${\displaystyle \,^{\imath }}$-te Komponente ist.

${\displaystyle \,^{{\boldsymbol {(}}\{(a,c),(b,c)\}\,,\,\{a,b\}\,,\,\{c,d\}{\boldsymbol {)}}}}$	Funktion mit dem Graphen ${\displaystyle \,^{\{(a,c),(b,c)\}}}$, dem Definitionsbereich ${\displaystyle \,^{\{a,b\}}}$ und dem Zielbereich ${\displaystyle \,^{\{c,d\}}}$
${\displaystyle \,^{(1,1,0,0,1)}}$	Bitfolge einer Binärdarstellung der Zahl 25
${\displaystyle \,^{(a_{_{0}},a_{_{1}},\ldots ,\,a_{_{n}})}}$	Koeffizientenfolge eines Polynoms vom Grad ${\displaystyle \,^{n}}$
${\displaystyle \,^{(G\,,\,\ast \,,\,{\text{x}}^{-1},\,n)}}$	Gruppe auf der Menge ${\displaystyle \,^{G}}$ mit der Verknüpfung ${\displaystyle \,^{\ast }}$, der Inversenfunktion ${\displaystyle \,^{\text{x}}}$−1 und dem neutralen Gruppenelement ${\displaystyle \,^{n}}$
${\displaystyle \,^{(\,(a_{_{11}},\,a_{_{12}})\,,\,(a_{_{21}},\,a_{_{22}})\,)}}$	als Matrix geschrieben:  ${\displaystyle {\tbinom {\,a_{_{11}}\;a_{_{12}}}{\,a_{_{21}}\;a_{_{22}}}}}$

In Verallgemeinerung von Peanos Paaraxiom wird der Begriff des Tupels durch ein in zwei Versionen vorliegendes Tupelaxiom charakterisiert:

1. Zwei Tupel gelten genau dann als gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind ^[1].
2. Zwei gleichlange Tupel gelten genau dann als gleich, wenn ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind ^[2].
   

In der Literatur finden sich drei Definitionen für Tupel als Mengen. (Geordnete Paare in eckigen Klammern)

${\displaystyle \,^{(\,)\,:}}$	${\displaystyle \,^{\emptyset }}$	${\displaystyle \,^{\emptyset }}$	nicht definiert
${\displaystyle \,^{(x)\,:}}$	${\displaystyle \,^{\{\emptyset \,,\,\{x\}\}}}$	${\displaystyle \,^{\{{\boldsymbol {[}}1,x{\boldsymbol {]}}\}}}$	${\displaystyle \,^{x}}$
${\displaystyle \,^{(x_{1},x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})\,:}}$	${\displaystyle \,^{\{(x_{1},\ldots ,\,x_{n-1})\,,\,\{x_{n}\}\}}}$	${\displaystyle \,^{\{{\boldsymbol {[}}i,x_{i}{\boldsymbol {]}}\}_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}}$	${\displaystyle \,^{{\boldsymbol {[}}(x_{1},\ldots ,\,x_{n-1})\,,\,x_{n}{\boldsymbol {]}}}}$

Tupel nach den ersten beiden Definitionen^[1] genügen der ersten Version des Tupelaxioms, Tupel nach der dritten Definition^[2] lediglich der zweiten.

Tupel dienen vielen mathematischen Begriffen als Basisobjekte, zum Beispiel als Elemente

• eines ${\displaystyle \,^{n}}$-dimensionalen Vektorraums, ${\displaystyle \,^{n>0}}$,

man kann sie addieren:   ${\displaystyle \,^{(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}})+(y_{_{1}},\ldots ,\,y_{_{n}})\;:=\;(x_{_{1}}\!+y_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}}\!+y_{_{n}})}}$

Skalarprodukte bilden:   ${\displaystyle \,^{(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}}){\boldsymbol {\cdot }}(y_{_{1}},\ldots ,\,y_{_{n}})\;:=\;x_{_{1}}y_{_{1}}+\cdots +\,x_{_{n}}y_{_{n}}}}$.

mit einem Skalar multiplizieren:   ${\displaystyle \,^{x\,(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}})\,:=\,(xx_{_{1}},\ldots ,\,xx_{_{n}})}}$

• des Monoids mit der Verknüpfung:

${\displaystyle \,^{(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}}){\,\circ \,}(y_{_{1}},\ldots ,\,y_{_{m}})\;:=\;(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}},\,y_{_{1}},\ldots ,\,y_{_{m}})}}$

${\displaystyle \,^{(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}}){\,\circ \,}(\,)\;:=\;(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}})}}$

${\displaystyle \,^{(\,){\,\circ \,}(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}})\;:=\;(x_{_{1}},\ldots ,\,x_{_{n}})}}$

• des Kartesischen Produktes über einem Tupel ${\displaystyle \,^{T:=(X_{1},\ldots ,\,X_{n})}}$:

${\displaystyle \,^{T^{\times }\,:=\,X_{1}\times \,\ldots \,\times \,X_{n}\,:=\,\{(x_{1},\ldots ,\,x_{n})\,|\,x_{1}\in X_{1}\,\wedge \,\ldots \,\wedge \,x_{n}\in X_{n}\}}}$

• Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Theory of Sets. Hermann, Paris / Addison-Wesley Reading, Massachusetts, 1968.
• H.-D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, 4. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin 2003.

1. ↑ ^{a b} Encyclopaedia of Mathematics: tuple
2. ↑ ^{a b} A. Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre, Wissenschaftsverlag, 1994, ISBN 3-411-17271-1: Seite 47