Benutzer:Gunther/Tauber-Theoreme

Als Tauber-Theoreme (nach A. Tauber) werden gewisse Aussagen der Analysis bezeichnet, die insbesondere in der analytischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielen. Sie erlauben es, aus Konvergenzaussagen für Mittelwerte

Der ursprünglich von Tauber bewiesene Satz lautet: Ist ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ eine Folge, so dass

• ${\displaystyle \lim _{r\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}}$ existiert und
• ${\displaystyle a_{n}=O(1/n)}$ gilt,

dann ist die Reihe ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots }$ konvergent.

N. Wiener zeigte die folgende Aussage: Ist ${\displaystyle I\subseteq L^{1}(\mathbb {R} )}$ ein abgeschlossenes Ideal, so dass es zu jedem ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ein Element ${\displaystyle f\in I}$ gibt, so dass ${\displaystyle {\hat {f}}(x)\neq 0}$ gilt, dann ist ${\displaystyle I=L^{1}(\mathbb {R} )}$.