Benutzer:Gunther/Reflexive Moduln und Modulgarben

Vorlage:Kommutative Algebra

Ein endlich erzeugter Modul ${\displaystyle M}$ über einem noetherschen Ring ${\displaystyle A}$ heißt reflexiv, wenn die kanonische Abbildung

${\displaystyle M\longrightarrow M^{\lor \lor },\quad m\mapsto (\lambda \mapsto \lambda (m))}$

ein Isomorphismus ist; dabei bezeichnet ${\displaystyle M^{\lor }=\operatorname {Hom} _{A}(M,A)}$ den dualen Modul.

Entsprechend heißt eine kohärente Modulgarbe ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ auf einem lokal noetherschen Schema ${\displaystyle X}$ reflexiv, wenn die kanonische Abbildung

${\displaystyle {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {M}}^{\lor \lor }}$

ein Isomorphismus ist; dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\lor }={\mathcal {H}}om({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X})}$.

• Eine Modulgarbe ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist genau dann reflexiv, wenn ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{x}}$ für jedes ${\displaystyle x\in X}$ ein reflexiver ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$-Modul ist.
• Vektorbündel sind reflexiv.
• Ist ${\displaystyle X}$ regulär, so sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist reflexiv;
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ erfüllt die Serre-Bedingung ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}}$
• es gibt eine kohärente Modulgarbe ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, so dass ${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong {\mathcal {N}}^{\lor }}$ gilt.

Ist ${\displaystyle \dim X\leq 2,}$ so sind diese Aussagen auch äquivalent zu:

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist ein Vektorbündel.

• Reflexive Moduln sind torsionsfrei.

${\displaystyle \operatorname {codim} \operatorname {Sing} {\mathcal {M}}\geq 3}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Sing} {\mathcal {M}}=\{x\in X\mid {\mathcal {M}}_{x}\ \mathrm {nicht\ frei\ {\ddot {u}}ber} \ {\mathcal {O}}_{X,x}\}.}$

Hom(M,N)xB=Hom(MxB,NxB) falls M e.pr.