Benutzer:Glockenklang1/D’Alembertsches Prinzip

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) der klassischen Mechanik erlaubt die Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen. Das Prinzip basiert auf dem Verschwinden der virtuellen Arbeit von Zwangskräften und ist um Trägheitskräfte und damit um dynamische Effekte erweitert.

Für von Zwangsbedingungen erlaubte infinitesimale (virtuelle^[1]) Verrückungen ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{i}}$ kompensieren sich die Arbeitsterme sämtlicher Zwangskräfte entlang der Wirkstrecken.

In einem System seien die Massenpunkte indiziert durch (${\displaystyle i=(1,...N)}$ , die äusseren Krafte ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$, die Zwangskräfte ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ und die Trägheitskräfte der Dynamik durch ${\displaystyle {\vec {\dot {p}}}_{i}}$ bezeichnet, so gelten zwei Gleichungen:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}\delta {\vec {r}}_{i}=0}$ und

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}({\vec {F}}_{i}-{\vec {\dot {p}}}_{i})\delta {\vec {r}}_{i}=0}$

Die erste der beiden Gleichungen stellt eine Bedingung dar unter der das d'Alembertsche Prinzip gilt. Die Gleichung besagt das das System aus Zwqngskräften den Energiesatz erfüllen muss, und wenn diese das tun, brauchen die Zwangskräfte auch nicht mehr explizit bekannt sein.

Denn die abgekoppelte zweite Gleichung enthält die Darstellung derselben Zwangskräfte durch die angewandten Kräfte und die Trägheitskräfte. Und wieder soll der Energiesatz summarisch gelten, und zwar nicht für die Arbeit der angewandten Kräfte sondern um eben dieselben wenn sie verringert seien um die Trägheitskraft.

Zusammen mit den Gleichungen der Zwangsbedingungen des Systems ist mit der zweiten Gleichung die Aufstellung der dynamischen Bewegungsgleichungen nur mit den äußeren Kräften und den Trägheitskräfte ohne explizite Kenntnis von Zwangskräften möglich^{[2] [3]}.

• Goldstein Klassische Mechanik,Kapitel I, Akademische Verlagsanstalt, 1978
• Friedhelm Kuypers Klassische Mechanik, VCH, 5. Auflage 1997, ISBN 3-527-29269-1

1. ↑ Infinitesimale Verschiebungen heißen virtuell, wenn sie mit den Zwangsbedingungen verträglich sind. Außerdem sollen sie instantan erfolgen (zu einer festen Zeit).
2. ↑ Um Bewegungsgleichungen zu gewinnen, geht man bei ${\displaystyle \,k}$ (holonomen) Zwangsbedingungen zu (bei N „Teilchen“) n = 3 N – k unabhängigen Koordinaten ${\displaystyle \,q_{i}(t),i=1,2...,n}$ über und drückt alles durch diese neuen Lagekoordinaten aus („generalisierte Koordinaten“). Da die neuen Koordinaten sich unabhängig variieren lassen, ergeben sich die Bewegungsgleichungen aus dem Verschwinden der Koeffizienten von ${\displaystyle \,\delta q_{i}(t),i=1,2...,n}$ in den transformierten Gleichungen. Für holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte (die sich aus einer Potentialfunktion ableiten lassen) ist das d’Alembert-Prinzip dann äquivalent zu den Lagrangegleichungen erster Art
3. ↑ Gelegentlich wird behauptet, das d’Alembertsche Prinzip sei nur eine Umformung der newtonschen Bewegungsgleichungen. Das übersieht aber wesentliche Vereinfachungen durch das Prinzip (wie die Elimination von Zwangskräften, die keine virtuelle Arbeit leisten) und kommt in den Worten von Georg Hamel in Theoretische Mechanik, Springer 1967, S.220 fast einer Beleidigung von d’Alembert gleich

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