Für das zu integrierende Interpolationspolynom
vom Grad
werden die Stützstellen
![{\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5465e79f8aa0a5ff86a63536476555a0bc99c9)
äquidistant mit dem konstanten Abstand
so gewählt, dass sie symmetrisch zur Intervallmitte
des Integrationsintervalls
liegen. Somit gilt
.
Durch Integration von
erhält man eine Näherung für das gesucht Integral.
Es gilt
, wobei
der Fehler der Näherung (Verfahrensfehler) ist.
Mit
(und somit
) erhält man
Intervalle der Länge
und somit
und
. Diese Formeln werden abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln genannt.
Mit
(und somit
) erhält man offene Quadratur-Formeln:
- Wählt man
(und somit
) , so dass
, erhält man
Intervalle der Länge
und somit
und
. Diese Formeln werden offene Newton-Cotes-Formeln genannt.
- Wählt man
, so dass
, erhält man
Intervalle der Länge
und somit
und
. Diese Formeln werden Maclaurin-Formeln genannt.
Für das Interpolationspolynom
der Funktion
gilt folgende Formel nach Lagrange
![{\displaystyle \ p_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})L_{in}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b3b4851e1a100731d6961a66358d3cb1d8b6b0)
wobei für die Lagrange-Polynome
gilt
![{\displaystyle L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ae5f036461eb0643f53bef9d3ad2430c73f43b)
Durch Integration von
erhält man die Quadraturformel
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p_{n}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d553e884bbc2121b895ff52988519a388b4c61b6)
mit den Gewichten
![{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60db7beecc672e8b2b26cc53544f9792418b8662)
Da die Stützstellen symmetrisch sind, sind auch die Gewichte symmetrisch, das heißt
.
Durch obige Quadraturformeln werden per Konstruktion Polynome mindestens bis zum Grad n exakt integriert. Somit haben die Formeln mindestens die Ordnung (oder den Genauigkeitsgrad) n.
Speziell gilt für
, dass
und somit
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}w_{i}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008d7dc46d3b0c6cdb6cff869bdf751acb300f69)
Falls
, was bei negativen Gewichten der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Auslöschung eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Quadraturformeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes n das Interpolationspolynom
unbrauchbar ist, sind ebenso Quadraturformeln mit großem n nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von zusammengesetzten Quadraturformeln.
Für das Interpolationspolynom
einer (n+1)-mal stetig differenzierbaren Funktion
gilt die Fehlerformel
![{\displaystyle f(x)-p_{n}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\zeta (x)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1981a1d5384257000b19bf067f85304c7711f55)
wobei
ein nur in Ausnahmefällen bestimmbarer Wert aus dem kleinste Intervall ist, das alle Stützstellen
und die Auswertestelle
enthält. Durch Integration der rechten Seite erhält man den Verfahrensfehler
![{\displaystyle \ E(f)=\int _{a}^{b}(f(x)-p_{n}(x))dx={\frac {\int _{a}^{b}(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})f^{(n+1)}(\zeta (x))dx}{(n+1)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65eac02efe60527b9706437864bb5c4a5da7a235)
Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen bei allen oben genannten Quadraturformeln erhält man für den Fehler
die gleichen Formeln
• Falls n ungerade ist und
(n+1)-mal stetig differenzierbar ist, gilt
mit ![{\displaystyle \xi \in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742d2a6e73540e17148a59ba02a1c1e523984641)
• Falls n gerade ist und
(n+2)-mal stetig differenzierbar ist, gilt
mit ![{\displaystyle \xi \in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742d2a6e73540e17148a59ba02a1c1e523984641)
In beiden Formeln ist der Zwischenwert
nur in Ausnahmefällen bekannt. Wäre er generell bekannt, könnte man
und somit auch das Integral exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass man die meisten Integrale nicht exakt berechnen kann.
Aus obiger Formel folgt, dass die Ordnung des Quadraturverfahrens für gerades n sogar n+1 ist. Somit sind Quadraturformeln mit geradem Grad denen mit ungeradem Grad vorzuziehen.
Die Stützstellen
gelten für das Integrationsintervall [0,1]:
.
Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen
.
Grad
|
Name
|
Stützstellen
|
Gewichte
|
Fehlerschranke
|
1 |
Trapezregel / Sekantentrapezregel
|
|
|
|
2 |
Simpsonregel / Keplersche Fassregel
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3 |
3/8 - Regel / Pulcherrima
|
|
|
|
4 |
Milne-Regel / Boole-Regel
|
|
|
|
5 |
6-Punkt-Regel
|
|
|
|
6 |
Weddle-Regel
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
Für n = 8 gilt
für i = 2,4,6 und
. Für n = 10 gilt
Beispiel:
Näherung mit Simpson-Regel (n = 2). Es gilt
und
![{\displaystyle \int _{1}^{3}p_{2}(x)dx=2\cdot {\bigg (}{\frac {1}{6}}f(1)+{\frac {4}{6}}f(2)+{\frac {1}{6}}f(3){\bigg )}=2\cdot {\bigg (}{\frac {1}{6}}\cdot 1+{\frac {4}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{3}}{\bigg )}={\frac {10}{9}}=1.{\overline {1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815da1ea22a4597c34fac2caca275f0fe5d0e358)
Verfahrensfehler: Mit
erhält man
mit
Fehlerabschätzung:
Exakter Fehler:
Die Stützstellen
gelten für das Integrationsintervall [0,1]:
.
Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen
.
Grad
|
Name
|
Stützstellen
|
Gewichte
|
Fehlerschranke
|
0 |
Rechteckregel |
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) |
![{\displaystyle 1\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524372005505bc6ed175f1672cbb2076db1229c1) |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Für n = 5 gilt
. Für n = 6 gilt
Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert. Die Formel für n = 1 hat bei höherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel, die höheren Formeln haben negative Gewichte.
Beispiel:
.
Näherung mit der Formel für n = 2. Es gilt
und
![{\displaystyle \int _{1}^{2}p_{2}(x)dx=2\cdot {\bigg (}{\frac {2}{3}}f({\frac {3}{2}})-{\frac {1}{3}}f({\frac {4}{2}})+{\frac {2}{3}}f({\frac {5}{2}}{\bigg )}=2\cdot {\bigg (}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{4}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{5}}){\bigg )}={\frac {49}{45}}=1.0{\overline {8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90777707be77e5bd9d65626f56b0fbab18315343)
Verfahrensfehler: it
erhält man
mit
Fehlerabschätzung:
Exakter Fehler:
Die Stützstellen
gelten für das Integrationsintervall [0,1]:
.
Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen
.
Grad
|
Name
|
Stützstellen
|
Gewichte
|
Fehlerschranke
|
0 |
Mittelpunktsregel / Rechteckregel |
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) |
![{\displaystyle 1\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524372005505bc6ed175f1672cbb2076db1229c1) |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Für n = 6 gilt
. Für n = 8 gilt
Beispiel:
.
Näherung mit der Formel für n = 2. Es gilt
und
![{\displaystyle \int _{1}^{3}p_{2}(x)dx=2\cdot {\bigg (}{\frac {3}{8}}f({\frac {4}{3}})+{\frac {2}{8}}f({\frac {6}{3}})+{\frac {3}{8}}f({\frac {8}{3}}){\bigg )}=2\cdot {\bigg (}{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {3}{4}}+{\frac {2}{8}}\cdot {\frac {3}{6}}+{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {3}{8}}{\bigg )}={\frac {105}{96}}=1.09375}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f31a08f11abd0740a829bbddc8740525891cc1)
Verfahrensfehler: Mit
erhält man
mit
Fehlerabschätzung:
Exakter Fehler:
Ab Grad 8 treten bei vielen Newton-Cotes-Formeln negative Gewichte auf, was die Gefahr der Auslöschung mit sich bringt. Außerdem kann man i.A. keine Konvergenz erwarten, da die Polynominterpolation schlecht konditioniert ist. Bei größeren Integrationsbereichen
unterteilt man diese daher in einzelne Teilintervalle und wendet auf jedes einzelne Teilintervall eine Formel niedriger Ordnung an.
- Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311-316.
- Roland W. Freund, Ronald H. W. Hoppe: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. 10. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, S. 164-169.
- Michael R. Schäferkotter, Prem K. Kythe: Handbook of Computational Methods for Integration. Chapman & Hall, Boca Raton 2005, ISBN 1-58488-428-2, S. 54-62, 503-505.
- Günter Bärwolf: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker. ISBN 978-3-8274-1689-6, Spektrum, München 2007, S. 128.
- Eugene Isaacson, Herbert Bishop Keller: Analyse numerischer Verfahren. ISBN ?, Harri Deutsch, Zürich und Frankfurt a. Main 1973.
- Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen : Verfahren, Beispiele, Anwendungen. ISBN 978-3-642-13472-2, Springer, Berlin und Heidelberg 2011.