Mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor und der Viererstromdichte ${\displaystyle j^{\mu }}$ kann die Lagrange-Dichte des freien Maxwell-Feldes geschrieben werden als

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)-j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)\ .}$

Mit dieser Lagrange-Dichte können die inhomogenen Maxwell-Gleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen hergeleitet werden. Die Euler-Lagrange Gleichung für Felder ist

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)=0\ .}$

Die Ableitung nach dem Viererpotential ist

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}={\frac {\partial }{\partial A_{\nu }}}\left(-j_{\mu }A^{\mu }\right)={\frac {\partial }{\partial A_{\nu }}}\left(-j_{\mu }g^{\mu \nu }A_{\nu }\right)=-j^{\nu }\ .}$

Um die Ableitung nach ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\nu }}$ auszuführen, ist es sinnvoll den ersten Teil der Lagrange-Dichte umzuschreiben in

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }&=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }g^{\mu \sigma }g^{\nu \tau }\partial _{\sigma }A_{\tau }-\partial _{\mu }A_{\nu }g^{\nu \sigma }g^{\mu \tau }\partial _{\sigma }A_{\tau }\right)\ .\end{aligned}}}$

Die Ableitung kann nun direkt ausgeführt werden, wobei zu beachten ist, dass sie nur dann von Null verschieden ist, wenn die Indices ${\displaystyle \sigma }$ und ${\displaystyle \mu }$ bzw. ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \nu }$ gleich sind.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right)}}&=-{\frac {1}{2}}\left(g^{\mu \sigma }g^{\nu \tau }\partial _{\sigma }A_{\tau }+\partial _{\mu }A_{\nu }g^{\mu \sigma }g^{\nu \tau }\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }-g^{\nu \sigma }g^{\mu \tau }\partial _{\sigma }A_{\tau }-\partial _{\mu }A_{\nu }g^{\nu \sigma }g^{\mu \tau }\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }\right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }+\partial ^{\sigma }A^{\tau }\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\tau }A^{\sigma }\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }\right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }+\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=-F^{\mu \nu }\end{aligned}}}$

Setzt man diese Ergebnisse in die Euler-Lagrange-Gleichung ein, so erhält man

${\displaystyle -j^{\nu }+\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=0\ .}$

Mit der Definition von ${\displaystyle j^{\mu }}$ und ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ verifiziert man, dass dieser Ausdruck identisch mit den inhomogenen Maxwell-Gleichungen ist.

Der zweite Term der Euler-Lagrange-Gleichung kann alternativ auch mit Hilfe der Kettenregel berechnet werden

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\sigma \tau }}}{\frac {\partial F_{\sigma \tau }}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\ .}$

Dazu wird zuerst die Lagrange-Dichte nach dem Feldstärketensor und dieser dann nach ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\nu }}$ abgeleitet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\sigma \tau }}}&=-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial }{\partial F_{\sigma \tau }}}\left(F_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\delta _{\mu }^{\sigma }\delta _{\nu }^{\tau }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }+F_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\delta _{\alpha }^{\sigma }\delta _{\beta }^{\tau }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\delta _{\mu }^{\sigma }\delta _{\nu }^{\tau }F^{\mu \nu }+F^{\alpha \beta }\delta _{\alpha }^{\sigma }\delta _{\beta }^{\tau }\right)=-{\frac {1}{2}}F^{\sigma \tau }\ ,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F_{\sigma \tau }}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}=\left(\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }-\delta _{\tau }^{\mu }\delta _{\sigma }^{\nu }\right)\ .\end{aligned}}}$

Nach Multiplikation der beiden Ergebnisse und unter Verwendung der Antisymmetrie des Feldstärketensors (${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$), folgt das bereits bekannte Ergebnis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}&=-{\frac {1}{2}}F^{\sigma \tau }\left(\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }-\delta _{\tau }^{\mu }\delta _{\sigma }^{\nu }\right)=-{\frac {1}{2}}\left(F^{\mu \nu }-F^{\nu \mu }\right)=-F^{\mu \nu }\ .\end{aligned}}}$

Auch die homogenen Maxwellgleichungen lassen sich über die Euler-Lagrange-Gleichung aus einer Lagrange-Dichte herleiten. Hierzu verwendet man die Lagrange-Dichte

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-{\frac {1}{4}}{\tilde {F}}_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)\ ,}$

wobei der duale Feldstärketensor ${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }}$ mit dem Levi-Civita-Symbol definiert ist als

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }\ .}$

Um die Ableitungen in der Euler-Lagrange-Gleichung zu berechnen, geht man analog zu der alternativen Rechnung aus dem vorigen Abschnitt vor

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\sigma \tau }}}&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\partial }{\partial F_{\sigma \tau }}}\left(\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }\right)\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\partial }{\partial F_{\sigma \tau }}}\left(\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\alpha \kappa }g^{\beta \lambda }F_{\kappa \lambda }g^{\mu \pi }g^{\nu \rho }F_{\pi \rho }\right)\\&=-{\frac {1}{8}}\left(\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\alpha \kappa }g^{\beta \lambda }\delta _{\kappa }^{\sigma }\delta _{\lambda }^{\tau }F^{\mu \nu }+\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }g^{\mu \pi }g^{\nu \rho }\delta _{\pi }^{\sigma }\delta _{\rho }^{\tau }\right)\\&=-{\frac {1}{8}}\left(2{\tilde {F}}_{\alpha \beta }g^{\alpha \sigma }g^{\beta \tau }+2{\tilde {F}}_{\mu \nu }g^{\mu \sigma }g^{\nu \tau }\right)=-{\frac {1}{2}}{\tilde {F}}^{\sigma \tau }\ .\end{aligned}}}$

Mit diesem Ergebnis und unter Verwendung der Ableitung von ${\displaystyle F_{\sigma \tau }}$ nach ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\nu }}$ ergeben sich die homogenen Maxwellgleichungen in kovarianter Form zu

${\displaystyle \partial _{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0\ .}$