Benutzer:Feathil/Balkenbiegung

${\displaystyle w=\int _{0}^{l}{\frac {M(x){\overline {M}}}{EI(x)}}\;\mathrm {d} x}$

Bei Bauteilen aus Werkstoffen mit einer linearen Spannungs-Dehnungslinie ist das Elastizitätsmodul E lastunabhängig und somit konstant. Handelt es sich weiter um ein Träger mit konstantem Querschnitt vereinfacht sich die Berechnung zu:

${\displaystyle w={\frac {1}{EI}}\int _{0}^{l}M(x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x}$

Für ein Rechteckquerschnitt wie er bei Holz z.B üblich ist ergibt sich dann mit ${\displaystyle I_{rechteck}={\frac {h^{3}b}{12}}}$  :

${\displaystyle w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\int _{0}^{l}M(x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x}$

a) konstante Streckenlast

Bei Berechnung der Durchbiegung in Trägermitte und eine über das gesamte Bauteil wirkende konstante Streckenlast q ( z.B. Eigengewicht des Trägers ) erhält man dann:

${\displaystyle w={\frac {24}{Eh^{3}b}}\int _{0}^{\frac {l}{2}}\underbrace {{\frac {q}{2}}(lx-x^{2})} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}x} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle w={\frac {6q}{Eh^{3}b}}\int _{0}^{\frac {l}{2}}lx^{2}-x^{3}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle w={\frac {6q}{Eh^{3}b}}\left[{\frac {lx^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{\frac {l}{2}}}$

${\displaystyle w={\frac {6q}{Eh^{3}b}}\left[{\frac {l^{4}}{24}}-{\frac {l^{4}}{64}}\right]}$

${\displaystyle w={\frac {5ql^{4}}{32Eh^{3}b}}}$

Bei Berechnung der Durchbiegung in Trägermitte für eine an der Stelle x = a ${\displaystyle \leqq }$ l/2 angreifender Einzellast P erhält man dann:

${\displaystyle w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\left(\int _{0}^{a}\underbrace {{\frac {l-a}{l}}Px} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}x} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{\frac {l}{2}}\underbrace {{\frac {a}{l}}(l-x)P} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}x} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {l}{2}}^{l}\underbrace {{\frac {a}{l}}(l-x)P} _{M(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{2}}(l-x)} _{\overline {M}}\;\mathrm {d} x\right)}$

${\displaystyle w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {P}{2l}}\left(\int _{0}^{a}\left(l-a\right)x^{2}\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{\frac {l}{2}}a(l-x)x\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {l}{2}}^{l}a(l-x)(l-x)\;\mathrm {d} x\right)}$

${\displaystyle w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {P}{2l}}\left(\left[{\frac {l-a}{3}}x^{3}\right]_{0}^{a}+\left[a\left({\frac {lx^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right]_{a}^{\frac {l}{2}}+\left[a\left(l^{2}x-lx^{2}+{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right]_{\frac {l}{2}}^{l}\right)}$

${\displaystyle w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {P}{2l}}\left({\frac {l-a}{3}}a^{3}+\left[a\left({\frac {l^{3}}{8}}-{\frac {l^{3}}{24}}\right)\right]-\left[{\frac {la^{3}}{2}}-{\frac {a^{4}}{3}}\right]+\left[a{\frac {l^{3}}{3}}\right]-\left[a\left({\frac {l^{3}}{2}}-{\frac {l^{3}}{4}}+{\frac {l^{3}}{24}}\right)\right]\right)}$

${\displaystyle w={\frac {12}{Eh^{3}b}}\cdot {\frac {aP}{2l}}\left({\frac {l^{3}}{8}}-{\frac {la^{2}}{6}}\right)}$

${\displaystyle w={\frac {aP}{Eh^{3}b}}\left({\frac {3}{4}}l^{2}-a^{2}\right)}$

Die Biegelinie läßt sich aus der Biegetheorie herleiten:

${\displaystyle EI_{y}\,w''(x)=-M_{y}(x)}$

${\displaystyle EI_{y}\,w'(x)=-\int M_{y}(x)\mathrm {d} x+C_{1}}$

${\displaystyle EI_{y}\,w(x)=-\int \int M_{y}(x)\mathrm {d} x+xC_{1}+C_{2}}$

Nach einsetzen des Momentenverlaufs in die Bereiche ${\displaystyle 0\leqq x\leqq a}$ und ${\displaystyle a\leqq x\leqq l}$ erhält man:

${\displaystyle EI_{y}\,w''(0\leqq x\leqq a)=-M_{y}(x)=-{\frac {x(l-a)}{l}}P}$

${\displaystyle EI_{y}\,w''(a\leqq x\leqq l)=-M_{y}(x)=-{\frac {a(l-x)}{l}}P}$

${\displaystyle w'(0\leqq x\leqq a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {x^{2}(l-a)}{2l}}+C_{1}\right)}$

${\displaystyle w'(a\leqq x\leqq l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(2lx-x^{2})}{2l}}+C_{2}\right)}$

${\displaystyle w(0\leqq x\leqq a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {x^{3}(l-a)}{6l}}+C_{1}x+C_{3}\right)}$

${\displaystyle w(a\leqq x\leqq l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3lx^{2}-x^{3})}{6l}}+C_{2}x+C_{4}\right)}$

Für die Ermittlung der vier unbekannten C1 bis C4 sind vier Randbedingungen aufzustellen:

1.) Am Auflager x=0 kann der Balken sich nicht verschieben, daher ist die Durchbiegung gleich null:

${\displaystyle w(x=0)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {0^{3}\cdot (l-a)}{6l}}+C_{1}\cdot 0+C_{3}\right)=0}$

2.) Am Kraftangriffspunkt x=a ist die Durchbiegung für beide Teilbereiche x<a und x>a gleich:

${\displaystyle w(x=a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a^{3}(l-a)}{6l}}+C_{1}a+C_{3}\right)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3la^{2}-a^{3})}{6l}}+C_{2}a+C_{4}\right)}$

3.) Am Kraftangriffspunkt x=a ist die Verdrehung für beide Teilbereiche x<a und x>a gleich:

${\displaystyle w'(x=a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a^{2}(l-a)}{2l}}+C_{1}\right)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(2la-a^{2})}{2l}}+C_{2}\right)}$

4.) Am Auflager x=l kann der Balken sich nicht verschieben, daher ist die Durchbiegung gleich null:

${\displaystyle w(x=l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3l^{3}-l^{3})}{6l}}+C_{2}l+C_{4}\right)=0}$

---

${\displaystyle C_{3}=0;\quad C_{1}a-C_{2}a-C_{4}={\frac {a^{3}}{3}};\quad C_{1}-C_{2}={\frac {a^{2}}{2}};\quad C_{2}l+C_{4}=-{\frac {al^{2}}{3}}}$

${\displaystyle C_{1}={\frac {3la^{2}-2al^{2}-a^{3}}{6l}};\qquad C_{2}=-{\frac {2al^{2}+a^{3}}{6l}};\qquad C_{3}=0;\qquad C_{4}={\frac {a^{3}}{6}}}$

---

${\displaystyle w(0\leqq x\leqq a)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {x^{3}(l-a)}{6l}}+{\frac {3la^{2}-2al^{2}-a^{3}}{6l}}x\right)=-{\frac {Px}{6EI_{y}l}}\left({x^{2}(l-a)}+{3la^{2}-2al^{2}-a^{3}}\right)}$

${\displaystyle w(a\leqq x\leqq l)=-{\frac {P}{EI_{y}}}\left({\frac {a(3lx^{2}-x^{3})}{6l}}+C_{2}x+C_{4}\right)}$

${\displaystyle w=\int _{0}^{l}{\frac {M(x){\overline {M}}}{EI(x)}}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle w=\int _{0}^{l}\kappa (x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle w={\frac {l}{3N}}\sum _{i=0}^{N}c_{simp}\kappa _{i}(M_{i}){\overline {M_{i}}}\;\;\;\;\;\;,N{\text{ gerade}}}$

${\displaystyle w={\frac {l}{3N}}\left(\kappa _{0}{\overline {M}}_{0}+4\kappa _{1}{\overline {M}}_{1}+2\kappa _{2}{\overline {M}}_{2}+\dotsb +2\kappa _{N-2}{\overline {M}}_{N-2}+4\kappa _{N-1}{\overline {M}}_{N-1}+\kappa _{N}{\overline {M}}_{N}\right)}$

a) Für die Berechnung der Durchbiegung in Trägermitte

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer ${\displaystyle {\overline {1}}}$-Last in Trägermitte wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${\displaystyle {\overline {M}}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\leqq {\frac {l}{2}}\\{\frac {1}{2}}\left(l-x\right)\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\geqq {\frac {l}{2}}\end{cases}}}$

zu

${\displaystyle {\overline {M}}_{i}={\begin{cases}{\frac {i}{2N}}l\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\leqq {\frac {N}{2}}\\{\frac {1}{2}}l\left(1-{\frac {i}{N}}\right)\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\geqq {\frac {N}{2}}\end{cases}}}$

b) Für die Berechnung der Durchbiegungen an beliebiger Stelle j

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer an beliebiger Stelle angreifender ${\displaystyle {\overline {1}}}$-Last wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${\displaystyle {\overline {M}}(x)={\begin{cases}{\frac {b}{l}}x\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\leqq a\\{\frac {a}{l}}\left(l-x\right)\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}x\geqq a\end{cases}}}$

zu

${\displaystyle {\overline {M}}_{i}={\begin{cases}i{\frac {N-j}{{N}^{2}}}l\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\leqq j\\j{\frac {N-i}{{N}^{2}}}l\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\geqq j\end{cases}}}$

a) einwirkende Momente unter Gleichlast an den einzelnen Stellen i

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer Streckenlast q wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${\displaystyle {M}(x)={\frac {q_{ed,perm}}{2}}\left(lx-x^{2}\right)}$

zu

${\displaystyle {M}_{i}={\frac {q_{ed,perm}l^{2}}{2}}\left({\frac {i}{N}}-{\frac {i^{2}}{N^{2}}}\right)}$

b)einwirkende Momente unter an der Stelle j angreifender Einzellast ${\displaystyle {P}_{j}}$ an den einzelnen Stellen i

Die Formel für die Momentenverlaufslinie einer an beliebiger Stelle angreifender Einzellast wird für die Simpson-Integration umformuliert.

${\displaystyle {M}(x)={\begin{cases}{\frac {b}{l}}x\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}x\leqq a\\{\frac {a}{l}}\left(l-x\right)\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}x\geqq a\end{cases}}}$

zu

${\displaystyle {M}_{i}={\begin{cases}i{\frac {N-j}{{N}^{2}}}l\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}i\leqq j\\j{\frac {N-i}{{N}^{2}}}l\cdot {P}_{j,ed,perm},&{\text{wenn }}i\geqq j\end{cases}}}$

${\displaystyle M_{perm,max}=\Sigma G_{k,i,max}+\Sigma \psi _{2,i}\cdot Q_{k,i,max}}$

• Eigenlast des Trägers g₁

${\displaystyle M_{g1,max}={\frac {g_{1}\cdot l^{2}}{8}}}$

• Ausbaulast g₂

${\displaystyle M_{g2,max}={\frac {g_{2}\cdot l^{2}}{8}}}$

• Veränderliche Einwirkung q

${\displaystyle M_{\psi q,max}=\psi \cdot {\frac {g_{2}\cdot l^{2}}{8}}}$

${\displaystyle M_{perm,max}=M_{g1,max}+M_{g2,max}+M_{\psi q,max}\cdot }$

${\displaystyle M_{perm,max}={\frac {g_{1}\cdot l^{2}}{8}}+{\frac {g_{2}\cdot l^{2}}{8}}+\psi \cdot {\frac {g_{2}\cdot l^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \kappa _{i}={\begin{cases}{\frac {M_{i}}{M_{crit}}}\cdot \kappa _{crit},&{\text{wenn }}M_{i}\leqq M_{crit}\\\kappa _{crit}+\left(\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}-\kappa _{crit}\right)\cdot \left({\frac {M_{i}-M_{crit}}{M_{1{,}3\sigma _{sr}}-M_{crit}}}\right),&{\text{wenn }}M_{crit}\leqq M_{i}\leqq M_{1{,}3\sigma _{sr}}\\\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}+\left(\kappa _{y}-\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}\right)\cdot \left({\frac {M_{i}-M_{1{,}3\sigma _{sr}}}{M_{y}-M_{1{,}3\sigma _{sr}}}}\right),&{\text{wenn }}M_{1{,}3\sigma _{sr}}\leqq M_{i}\leqq M_{y}\end{cases}}}$

${\displaystyle d=h-c_{nom}-d_{s}\cdot }$

Muss Druckbewehrung verwendet werden, so ist noch weiter:

${\displaystyle d_{2}=c_{nom}+d_{s}\cdot }$

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

${\displaystyle \epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

${\displaystyle \epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

Spannungen

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

${\displaystyle \sigma _{co}=E_{c0}\cdot \epsilon _{co}}$

${\displaystyle \sigma _{co}=E_{c0}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \sigma _{co}=f_{ctm}{\frac {x}{h-x}}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

${\displaystyle F_{c,unten}-F_{c,oben}=0\cdot }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {x}{h-x}}f_{ctm}=0}$

${\displaystyle (h-x)b-xb{\frac {x}{h-x}}=0}$

${\displaystyle (h-x)^{2}b-x^{2}b=0}$

${\displaystyle (h^{2}-2hx+x^{2})b-x^{2}b=0}$

${\displaystyle -x\left(2hb\right)+\left(h^{2}b\right)=0}$

${\displaystyle x={\frac {h^{2}b}{2hb}}}$

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

${\displaystyle \epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

${\displaystyle \epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

Bestimmung Stahldehnung unmittelbar vor Riss:

${\displaystyle \epsilon _{s}=\epsilon _{cu}{\frac {d-x}{h-x}}}$

${\displaystyle \epsilon _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}}$

Spannungen

Bestimmung Stahlspannung unmittelbar vor Riss

${\displaystyle \sigma _{s}=\epsilon _{s}\cdot E_{s}}$

${\displaystyle \sigma _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}E_{s}}$

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

${\displaystyle \sigma _{co}=E_{c0}\cdot \epsilon _{co}}$

${\displaystyle \sigma _{co}=E_{c0}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \sigma _{co}=f_{ctm}{\frac {x}{h-x}}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

${\displaystyle F_{c,unten}+F_{s,unten}-F_{c,oben}=0\cdot }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}+A_{s}\sigma _{s}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}f_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {x}{h-x}}f_{ctm}=0}$

${\displaystyle (h-x)b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {2(d-x)}{h-x}}-xb{\frac {x}{h-x}}=0}$

${\displaystyle (h-x)^{2}b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b=0}$

${\displaystyle (h^{2}-2hx+x^{2})b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b=0}$

${\displaystyle -x\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)+\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)=0}$

${\displaystyle x={\frac {h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d}{2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}}}}$

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

${\displaystyle \epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

${\displaystyle \epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

Spannungen

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

${\displaystyle \sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}\epsilon _{co}}$

${\displaystyle \sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \sigma _{co}={\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

${\displaystyle F_{c,unten}-F_{c,oben}=0\cdot }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0}$

${\displaystyle (h-x)-x{\frac {1}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0}$

${\displaystyle (h-x)^{2}-x^{2}{\frac {1}{1+\phi }}=0}$

${\displaystyle (h^{2}-2hx+x^{2})-x^{2}{\frac {1}{1+\phi }}=0}$

${\displaystyle x^{2}\left(1-{\frac {1}{1+\phi }}\right)-x\left(2h\right)+\left(h^{2}\right)=0}$

${\displaystyle x^{2}-x{\frac {2h(1+\phi )}{\phi }}+{\frac {h^{2}(1+\phi )}{\phi }}=0}$

${\displaystyle x={\frac {2h(1+\phi )}{2\phi }}\pm {\sqrt {{\frac {\left(2h\right)^{2}(1+\phi )^{2}}{(2\phi )^{2}}}-{\frac {h^{2}(1+\phi )}{\phi }}}}}$

${\displaystyle x={\frac {h}{2\phi }}\left(2(1+\phi )\pm {\sqrt {4(1+\phi )^{2}-(1+\phi )4\phi }}\right)}$

Da x nicht größer als h sein kann, bleibt eine Lösung übrig

${\displaystyle x={\frac {h}{\phi }}\left((1+\phi )-{\sqrt {(1+\phi )}}\right)}$

Dehnungen

Bestimmung Rissdehnung Beton:

${\displaystyle \epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}}$

Bestimmung Randdehnung Betondruckseite:

${\displaystyle \epsilon _{co}=\epsilon _{cu}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \epsilon _{co}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

Bestimmung Stahldehnung unmittelbar vor Riss:

${\displaystyle \epsilon _{s}=\epsilon _{cu}{\frac {d-x}{h-x}}}$

${\displaystyle \epsilon _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}}$

Spannungen

Bestimmung Stahlspannung unmittelbar vor Riss

${\displaystyle \sigma _{s}=\epsilon _{s}\cdot E_{s}}$

${\displaystyle \sigma _{s}={\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}E_{s}}$

Bestimmung Randspannung Betondruckseite:

${\displaystyle \sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}\epsilon _{co}}$

${\displaystyle \sigma _{co}={\frac {E_{c0}}{1+\phi }}{\frac {f_{ctm}}{E_{c0}}}{\frac {x}{h-x}}}$

${\displaystyle \sigma _{co}={\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}}$

Bestimmung der Druckzonenhöhe x aus dem Kräftegleichgewicht in Trägerlängsrichtung

${\displaystyle F_{c,unten}+F_{s,unten}-F_{c,oben}=0\cdot }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{c,unten}\sigma _{cu}+A_{s}\sigma _{s}-{\frac {1}{2}}A_{c,oben}\sigma _{co}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(h-x)bf_{ctm}+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {d-x}{h-x}}f_{ctm}-{\frac {1}{2}}xb{\frac {f_{ctm}}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0}$

${\displaystyle (h-x)b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}{\frac {2(d-x)}{h-x}}-xb{\frac {1}{1+\phi }}{\frac {x}{h-x}}=0}$

${\displaystyle (h-x)^{2}b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b{\frac {1}{1+\phi }}=0}$

${\displaystyle (h^{2}-2hx+x^{2})b+A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}2(d-x)-x^{2}b{\frac {1}{1+\phi }}=0}$

${\displaystyle x^{2}\left(b-{\frac {b}{1+\phi }}\right)-x\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)+\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)=0}$

${\displaystyle x^{2}-x{\frac {\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)(1+\phi )}{b\phi }}+{\frac {\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)(1+\phi )}{b\phi }}=0}$

${\displaystyle x={\frac {\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)(1+\phi )}{2b\phi }}\pm {\sqrt {{\frac {\left(2hb+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}\right)^{2}(1+\phi )^{2}}{(2b\phi )^{2}}}-{\frac {\left(h^{2}b+2A_{s}{\frac {E_{s}}{E_{c0}}}d\right)(1+\phi )}{b\phi }}}}}$

${\displaystyle M_{crit}={\frac {f_{ctm}I_{I}}{h-x_{I}}}}$

mit

${\displaystyle x_{I}=k_{xI}h={\frac {0{,}5+({\frac {E_{s}(1+\phi )}{E_{c}}})\rho _{u}{\frac {d}{h}}}{1+({\frac {E_{s}(1+\phi )}{E_{c}}})\rho _{u}}}h}$

${\displaystyle I_{I}=k_{I}{\frac {bh^{3}}{12}}}$

${\displaystyle k_{I}=1+12(0{,}5-k_{x1})^{2}+12\alpha _{e}\rho _{u}\left({\frac {d}{h}}-k_{xI}\right)^{2}}$

${\displaystyle M_{ed}=\Sigma \gamma _{G,i}\cdot G,i+\gamma _{Q}\cdot Q_{k,j}+\Sigma \gamma _{Q}\cdot \psi _{0,i}\cdot Q_{k,i}}$

${\displaystyle M_{ed}=1.35\cdot M_{gk}+1.5\cdot M_{qk}}$

${\displaystyle M_{ed}={\frac {1.35\cdot g_{k,1}\cdot l^{2}}{8}}+{\frac {1.35\cdot g_{k,2}\cdot l^{2}}{8}}+{\frac {1.5\cdot q_{k,1}\cdot l^{2}}{8}}}$

${\displaystyle F_{c}=\int \sigma (x)\;\mathrm {d} A}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{x={\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d=X}\sigma (x)\cdot b(x)\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=bf_{cd}\left|\left(x+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n+1}\right)\right|_{0}^{X}}$

${\displaystyle F_{c}=\left(X+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}X}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n+1}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\left(X+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n+1}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\left(X+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(\left(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n+1}-1\right)\right)bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\left(1+{\frac {\epsilon _{c2}}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(\left(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n+1}-1\right)\right)Xbf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=bf_{cd}\left|\left(x+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n+1}\right)\right|_{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\left({\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}}$

${\displaystyle F_{c}=\left(1-{\frac {\epsilon _{c2}}{(n+1)\epsilon _{c}}}\right)Xbf_{cd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=d-x+s_{F_{c}}\\&=d-\underbrace {{\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d} _{x}+\underbrace {\frac {S_{y}}{F_{c}}} _{s_{F_{c}}}\end{aligned}}}$

Statisches Moment

${\displaystyle S_{y}=\int \sigma (x)x\;\mathrm {d} A}$

${\displaystyle S_{y}=\int _{0}^{x={\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d=X}\sigma (x)xb\;\mathrm {d} x}$

a) ${\displaystyle \epsilon _{c}\leqq \epsilon _{c2}}$

${\displaystyle S_{y}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle S_{y}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle S_{y}=\left({\frac {(b-ax)(b+a(n+1)x)(1-{\frac {ax}{b}})^{n}}{a^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right)bf_{cd}}$

${\displaystyle S_{y}=bf_{cd}\left({\frac {(\epsilon _{c2}X-\epsilon _{c}x)(\epsilon _{c2}X+\epsilon _{c}(n+1)x)(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}})^{n}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right){\Big |}_{0}^{X}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y}&=bf_{cd}\left({\frac {(\epsilon _{c2}X-\epsilon _{c}X)(\epsilon _{c2}X+\epsilon _{c}(n+1)X)(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}})^{n}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {X^{2}}{2}}\right)\\&-bf_{cd}\left({\frac {\epsilon _{c2}^{2}X^{2}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle S_{y}=bf_{cd}X^{2}\left({\frac {(\epsilon _{c2}-\epsilon _{c})(\epsilon _{c2}+\epsilon _{c}(n+1))(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}})^{n}-\epsilon _{c2}^{2}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{2}}\right)}$

anders

${\displaystyle S_{y}=bf_{cd}X^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\epsilon _{c2}^{2}}{\epsilon _{c}^{2}}}\cdot \left({\frac {(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}})^{n+2}-1}{(n+2)}}-{\frac {(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}})^{n+1}-1}{(n+1)}}\right)\right)}$

b) ${\displaystyle \epsilon _{c2}\leqq \epsilon _{c}}$

${\displaystyle S_{y}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}^{X}xbf_{cd}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle S_{y}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)xbf_{cd}\;\mathrm {d} x+\int _{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}^{X}xbf_{cd}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{y}&=bf_{cd}\left({\frac {(\epsilon _{c2}X-\epsilon _{c}x)(\epsilon _{c2}X+\epsilon _{c}(n+1)x)(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}})^{n}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right){\Big |}_{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\\&+{\frac {x^{2}}{2}}bf_{cd}{\Big |}_{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}^{X}\end{aligned}}}$

${\displaystyle S_{y}=-bf_{cd}{\frac {\epsilon _{c2}^{2}X^{2}}{\epsilon _{c}^{2}(n+1)(n+2)}}+{\frac {X^{2}}{2}}bf_{cd}}$

${\displaystyle S_{y}=bf_{cd}X^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\epsilon _{c2}^{2}}{\epsilon _{c}^{2}}}{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\right)}$

${\displaystyle A_{s,min}={\frac {M_{ed}}{zf_{yd}}}}$

${\displaystyle F_{c}=\int \sigma (x)\;\mathrm {d} A}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{x={\frac {\left|\epsilon _{c}\right|}{\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}}d=X}\sigma (x)b\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{X}{\frac {k\eta -\eta ^{2}}{1+(k-2)\eta }}bf_{c}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=bf_{c}\int _{0}^{X}{\frac {k{\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})}{\epsilon _{c1}}}-{\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})^{2}}{\epsilon _{c1}^{2}}}}{1+(k-2){\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})}{\epsilon _{c1}}}}}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=\int _{0}^{X}{\frac {k{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}x-{\frac {\epsilon _{c}^{2}}{\epsilon _{c1}^{2}(1+\phi )^{2}X^{2}}}x^{2}}{1+(k-2){\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}x}}bf_{c}\;\mathrm {d} x}$

${\displaystyle F_{c}=\left|cbf_{c}\left({{\frac {x(k-1)^{2}}{c(k-2)^{2}}}-{\frac {\ln {(-2cx+ckx+1)}(k-1)^{2}}{c^{2}(k-2)^{3}}}-{\frac {x^{2}}{2(k-2)}}}\right)\right|_{0}^{X}}$

${\displaystyle F_{c}=cbf_{c}\left({{\frac {X(k-1)^{2}}{c(k-2)^{2}}}-{\frac {\ln {(-2cX+ckX+1)}(k-1)^{2}}{c^{2}(k-2)^{3}}}-{\frac {X^{2}}{2(k-2)}}}\right)}$

mit:

${\displaystyle c={\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}}$

${\displaystyle k=-E_{cm}{\frac {\epsilon _{c1}}{f_{cm}}}}$

${\displaystyle k={\begin{cases}2{,}322&{\text{bei }}C12/15\\2{,}169&{\text{bei }}C16/20\\2{,}160&{\text{bei }}C20/25\\2{,}033&{\text{bei }}C25/30\\1{,}931&{\text{bei }}C30/37\\1{,}858&{\text{bei }}C35/45\\1{,}799&{\text{bei }}C40/50\\1{,}718&{\text{bei }}C45/55\\1{,}650&{\text{bei }}C50/60\end{cases}}}$

${\displaystyle X={\frac {\left|\epsilon _{c}\right|}{\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}}d}$

${\displaystyle \epsilon _{sm}=\epsilon _{1{,}3\sigma _{s}}-\beta _{t}\cdot \left(\epsilon _{\sigma _{sr2}}-\epsilon _{\sigma _{sr1}}\right)}$

Stahlzugkraft beim Fließmoment:

${\displaystyle F_{sy}={f_{ym}}\cdot A_{su}}$

Stahldehnung beim Fließmoment:

${\displaystyle \epsilon _{sy}={\frac {f_{ym}}{E_{s}}}}$

innerer Hebelarm:

${\displaystyle z=\underbrace {h-c} _{d}-X+x_{F_{c}/2}}$

Bestimmung des Fließmomentes:

${\displaystyle M_{y}=F_{sy}\cdot z}$

Trägerkrümmung beim Fließmoment:

${\displaystyle \kappa _{y}={\frac {\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}{d}}}$

Bestimmung des Fließmomentes:

${\displaystyle M_{y}=F_{sy}\cdot z}$

Kriechen bezeichnet die Verformungszunahme des Betons im Laufe der Zeit unter einer konstanten Spannung. Es ist eine Eigenschaft des Betons, die sich insbesondere bei Druckbelastung durch eine Gefügeumwandlung und Volumenverminderung äußert.

Das Kriechen wird durch das im Zementstein enthaltene Wasser ausgelöst. Eine äußere Belastung führt zum Platzwechsel von Wassermolekülen im Zementsteingel. Dazu kommen Verdichtungs- und Gleitvorgänge zwischen den Gelpartikeln. Es wird chemisch nicht gebundenes Wasser aus den Zementporen in die Kapillaren gepresst und verdunstet, was ein Schrumpfen des Gels zur Folge hat. Die Zunahme der Kriechverformungen werden mit der Zeit immer geringer und kommen erst nach mehreren Jahren nahezu zum Stillstand.

Das Kriechen setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der reversible Verformungsanteil, der nach Entlastung mit zeitlicher Verzögerung zurückgeht, auch als Rückkriechen bezeichnet, wird durch das Alter des Betons wenig beeinflusst und erreicht schon nach kurzer Zeit seinen Endwert. Der dominierende irreversible Verformungsanteil bleibt nach Entlastung voll erhalten, er wird auch als Fließen bezeichnet, ist dagegen stark vom Betonalter abhängig und erreicht seinen Wert erst nach langer Zeit. Unter ungünstigen Randbedingungen kann die Endkriechzahl einen Wert von ungefähr 3,0 erreichen, d. h. die Betonverformungen durch Kriechen sind dreimal so groß wie aus der elastischen Verformung.

Verlauf und Ausmaß des Kriechens werden neben Belastungsgröße und Alter des Betons insbesondere durch das Zementsteinvolumen und den Wasser-Zement-Wert beeinflusst. Weitere Parameter sind Luftfeuchtigkeit, Querschnittsgeometrie des Bauteils, Erhärtungsgeschwindigkeit des Zementes und Betondruckfestigkeit. Die Kriechzahlen werden im Labor mit dem Kriechversuch bestimmt.

Die Angaben in der DIN 1045-1 gelten für das lineare Kriechen unter einer Druckspannung, d. h. die Kriechzahlen sind unabhängig von der Belastungshöhe. Dies gilt bis zu einer Spannung von ungefähr 45% der Zylinderfestigkeit des Betons. Bei höheren Betondruckspannungen tritt infolge einer verstärkten Mikrorissbildung des Betons das nichtlineare Kriechen auf. Dabei nehmen die Kriechverformungen mit steigender Belastung überproportional zu.

Bei der Berechnung von vorgespannten Betonteilen (Spannbeton) ist das Kriechen des Betons ein wichtiger Parameter, den es zu beachten gilt, da durch die Vorspannung immer große Betondruckspannungen vorhanden sind. Die sich daraus ergebenden Kriechdehnungen des Spannbetonbauteils vermindern die Spannstahldehnung und damit auch die Vorspannkraft. Das Kriechen des Betons kann aber auch maßgebend sein bei dem Tragfähigkeitsnachweis von schlanken Stahlbetonstützen oder bei dem Verformungsnachweis von schlanken Decken.

Die Endkriechzahl φ eines Bauteils ist von folgenden Parametern abhängig:

• ausgewählte Betonfestigkeitsklasse
• vorhandene wirksame Querschnittsdicke
• ausgewählte Zementart
• umgebene relative Luftfeuchtigkeit
• Belastungsbeginn für das Bauteils nach dem Betonieren.

Für eine konstante Belastung und einer kriecherzeugende Betondruckspannung

${\displaystyle \sigma _{c}<0,45\cdot f_{ck;zyl}}$

kann die Endkriechzahl φ(∞,t₀) nach DIN 1045-1 Bild 18 und Bild 19 ermittelt werden.

Ausgewählte Betonfestigkeitsklasse:

Je höher die Druckfestigkeit des Betons eines Querschnittes, desto geringer fällt die Endkriechzahl φ(∞,t₀) aus, wobei

• bei hoher relativer Luftfeuchtigkeit die Unterschiede nicht so ausgeprägt sind wie bei geringerer relativer Luftfeuchtigkeit.

• mit steigender wirksamer Querschnittsdicke h₀ sind die Unterschiede zwischen den einzelnen Betonfestigkeitsklassen ebenfalls geringer ausgeprägt.

Wirksame Querschnittsdicke:

Mit steigender wirksamer Querschnittsdicke h₀ nimmt die Endkriechzahl φ(∞,t₀) einen geringeren Wert ein.

${\displaystyle h_{0}={\frac {2A_{c}}{u}}}$

Dabei ist u der Umfang des Querschnitts und A_c die Querschnittsfläche.

1.) Bei Rechteckquerschnitten gilt:

${\displaystyle u=2\cdot h+2\cdot b}$

${\displaystyle A_{c}=h\cdot b}$

${\displaystyle h_{0}={\frac {h\cdot b}{h+b}}}$

Daran ist zu erkennen, dass

• bei gleichem Seitenverhältnis h/b von Rechteckbalken haben größere Querschnitte auch eine größere wirksame Querschnittsdicke ${\displaystyle h_{0}}$.

• bei gleicher Querschnittsfläche ${\displaystyle A_{c}}$ besitzen Rechteckbalken mit größerem Seitenverhältnis h/b eine kleinere wirksame Querschnittsdicke ${\displaystyle h_{0}}$.

2.) Bei Plattenquerschnitten gilt:

${\displaystyle u=2\cdot b}$

${\displaystyle A_{c}=h\cdot b}$

${\displaystyle h_{0}={\frac {hb}{b}}=h}$

Die wirksame Querschnittsdicke ${\displaystyle h_{0}}$ entspricht der Plattenhöhe h.

3.) Bei Plattenbalken gilt:

${\displaystyle u=2\cdot h+2\cdot b_{f}}$

${\displaystyle A_{c}=h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}}$

${\displaystyle h_{0}={\frac {h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}}{h+b_{f}}}}$

Daran ist zu erkennen, dass

• bei gleicher Querschnittsfläche ${\displaystyle A_{c}}$ besitzen Plattenbalken mit ausgeprägterer T-Form eine kleinere wirksame Querschnittsdicke ${\displaystyle h_{0}}$.

Ausgewählte Zementart

Die Zement-Festigkeitsklassen werden in drei Gruppen eingeteilt

• Gruppe 1: Zement 32,5
• Gruppe 2: Zement 32,5 R; 42,5
• Gruppe 3: Zement 42,5 R; 52,5

Verwendete Zemente der Gruppe 1 führen zu einer höheren Endkriechzahl φ(∞,t₀) als Zemente der Gruppe 2, und Zemente der Gruppe 2 zu einer höheren Endkriechzahl φ(∞,t₀) als diejenigen der Gruppe 3. Dabei sind die Unterschiede ausgeprägter je früher das Bauteil nach dem Betonieren belastet wird. Ab einem Betonalter t₀ > 20 Tage bestehen nur noch minimale Differenzen zwischen den Werten der einzelnen Gruppen. Zu beachten ist, dass nicht jede Festigkeitsklasse des Zementes mit jeder Beton-Festigkeitsklasse kombinierbar ist.

Relative Luftfeuchtigkeit

In der DIN 1045-1 sind Diagramme für RH = 50% und RH = 80% zur Ermittlung der Endkriechzahl φ(∞,t₀) enthalten. Dabei sind die Werte in Bild 18 (RH = 50%) typischerweise für Innenbauteile und die in Bild 19 (RH = 80%) für Außenbauteile anzuwenden. Für mittlere relative Luftfeuchten unter 50% und zwischen 50% und 80% darf linear extrapoliert bzw. linear interpoliert werden (DIN 1045-1 9.1.4.6).

Betonalter t₀ bei Belastungsbeginn

Das Kriechmaß ist umso größer, je geringer das Betonalter bei Belastungsbeginn ist. Im gegensatz zum Schwinden ist φ(∞,t₀) sehr stark von t₀ abhängig.

Endkriechzahl φ(∞,t₀) für t₀ = 28d und RH = 50%

Für die Spanngliedführung wird ein parabolischer Verlauf gewählt. Wobei sich die Parabel wie folgt beschreiben läßt:

${\displaystyle z_{i}(x)=4\cdot f_{i}\cdot (\xi -\xi ^{2})}$

mit

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{l_{tot}}}}$

• Die Position von ${\displaystyle z_{i}}$ wird in die Schwerelinie des Betonquerschnitts gelegt.

• Der Parabelstich ${\displaystyle f_{i}}$ ergibt sich aus dem Abstand der Schwerelinie des Betonquerschnitts zur Position der Hüllrohrlage in Feldmitte, welche durch die Mindestbetondeckung des Hüllrohres vorgegeben ist.

Für Rechteck- und Plattenquerschnitte läßt sich die Lage der Schwerelinie vom oberen Rand gemessen angeben zu:

${\displaystyle s_{A_{c}}={\frac {h}{2}}}$

Bei Plattenbalken ergibt sich die Lage der Schwerelinie vom oberen Rand gemessen aus:

${\displaystyle s_{A_{c}}={\frac {(h_{f}\cdot b_{f})\cdot 0.5h_{f}+((h-h_{f})\cdot b_{w})\cdot 0.5(h+h_{f})}{h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}}}}$

Die Lage des Spanngliedes vom oberen Rand aus gemessen berücksichtigt die notwendige Betondeckung des Hüllrohres und nimmt für den Schwerpunkt des Spanngliedes innerhalb des Hüllrohres näherungsweise die Mitte des Hüllrohres an.

${\displaystyle h_{p,max}=min{\begin{cases}h-0.5\cdot d_{duct}-c_{min}-\Delta c\\h-1.5\cdot d_{duct}-\Delta c\end{cases}}}$

${\displaystyle f=h_{p}-s_{A_{c}}}$

Es wird ein Litzen-Spannstahl St 1570/1770 gewählt mit einer Zugfestigkeit f_pk = 1770 N/mm² und einer Festigkeit bei Erreichen der Strteckgrenze (0,1%-Dehngrenze) f_p0,1k = 1500 N/mm².

Die am Ende des Spanngliedes aufgebrachte Höchstkraft des Spannvorganges ist nach DIN 1045-1, 8.7.2 (1) begrenzt zu:

${\displaystyle P_{o,max}=min{\begin{cases}A_{p}\cdot 0,80f_{pk}\\A_{p}\cdot 0,90f_{p0,1k}\end{cases}}}$

Der Mittelwert der maximalen Vorspannkraft zum Zeitpunkt t = t₀ unmittelbar nach Absetzen der Presskraft auf die Anker ist nach DIN 1045-1, 8.7.2 (3) begrenzt zu:

${\displaystyle P_{mo,max}=min{\begin{cases}A_{p}\cdot 0,75f_{pk}\\A_{p}\cdot 0,85f_{p0,1k}\end{cases}}}$

Nach DIN 1045-1 8.7.3 (3) wird der Spannkraftverlust aus Reibung ${\displaystyle \Delta P_{\mu }(x)}$ abgeschätzt aus:

${\displaystyle \Delta P_{\mu }(x)=P_{0}\cdot \left(1-e^{-\mu \cdot (\Theta +k\cdot x)}\right)}$

mit den Kennwerten des Spannverfahrens:

• Reibungsbeiwert μ = 0,22

• ungewollter Umlenkwinkel k = 0,005 ${\displaystyle m^{-1}}$

Bei parabolische Spanngliedführung kann die Summe der planmäßigen horizontalen und vertikalen Umlenkwinkel über die Länge x angegeben werden unter:

${\displaystyle \Theta (x)=x\cdot 8\cdot {\frac {f}{l^{2}}}}$

Beispiel des Reibungsverlustes bei einem Parabelstich des Spanngliedes von 0,4 m ,einer Trägerlänge von 10 m, k = 0,005 m^-1 und μ = 0,22.

mit dem Kennwert des Spannverfahrens:

• Schlupf in den Spannankern ${\displaystyle \Delta l_{sl}}$ = 3 mm

Wird mit dem selben Reibungsbeiwert beim Anspannen und Nachlassen gerechnet, so gilt für den Schnittpunkt der beiden Spannkraftverläufe:

${\displaystyle P_{m0,x=0}\cdot e^{-\mu \cdot (\Theta +k\cdot l_{si})}=(P_{m0,x=0}-\Delta P_{si})\cdot e^{\mu \cdot (\Theta +k\cdot l_{si})}}$

Näherungsweise gilt für kleine Exponenten ${\displaystyle x<0,1:e^{x}=1+x}$

${\displaystyle P_{m0,x=0}\cdot (1-\mu (\Theta +k\cdot l_{si}))=(P_{m0,x=0}-\Delta P_{si})\cdot (1+\mu \cdot (\Theta +k\cdot l_{si}))}$

${\displaystyle P_{m0,x=0}\cdot (1-\mu ({\frac {8f}{l^{2}}}+k)\cdot l_{si})=(P_{m0,x=0}-\Delta P_{si})\cdot (1+\mu \cdot (\Theta +k\cdot l_{si}))}$

Weiterhin gilt näherungsweise (da Kraftverlauf nicht linear):

${\displaystyle \Delta l_{si}=\int _{0}^{l_{si}}\mathrm {\epsilon } (x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \Delta l_{si}=\int _{0}^{l_{si}}\mathrm {\frac {\Delta \sigma (x)}{E_{p}}} \,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \Delta l_{si}=\int _{0}^{l_{si}}\mathrm {\frac {\Delta P(x)}{A_{p}E_{p}}} \,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \Delta l_{si}={\frac {1}{A_{p}E_{p}}}\int _{0}^{l_{si}}\mathrm {\Delta } P_{si}\left(1-{\frac {x}{l_{si}}}\right)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \Delta l_{si}={\frac {\Delta P_{si}l_{si}}{2A_{p}E_{p}}}}$

${\displaystyle l_{si}={\frac {2A_{p}E_{p}\Delta l_{si}}{\Delta P_{si}}}}$

${\displaystyle l_{si}={\sqrt {\frac {\Delta l_{si}\cdot E_{p}\cdot A_{p}}{P_{mo}\cdot \mu \left({\frac {8\cdot f}{l^{2}}}+k\right)}}}}$

Außerdem ist anzusetzen, dass am Ende des Nachlassweges l_si die Spannkraft P_m0(l_si) gerade den zulässigen Höchstwert P_m0,max erreicht.

${\displaystyle P_{mo}(l_{si})\leqq P_{mo,max}}$

und damit:

${\displaystyle P_{m0}(0)=P_{mo,max}\cdot e^{\mu \cdot (\Theta +k\cdot l_{si})}}$

Iterativ lassen sich aus den Gleichungen die Werte für l_si, ΔP_si und P_m0 für die Spanngliedlage zum Zeitpunkt t = 0 bestimmen.

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,c+s+r}(x)={\frac {\epsilon _{cs\infty }\cdot E_{p}+\Delta \sigma _{pr}+\alpha _{p}\cdot \phi (\infty ,t_{0})\cdot (\sigma _{cg}+\sigma _{cp0})}{1+\alpha _{p}\cdot {\frac {A_{p}}{A_{c}}}\left(1+{\frac {A_{c}}{I_{c}(x)}}\cdot z_{cp}^{2}(x)\right)\cdot (1+0,8\phi (\infty ,t_{0}))}}}$

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,s}(x)={\frac {\epsilon _{cs\infty }\cdot E_{p}}{1+\alpha _{p}\cdot {\frac {A_{p}}{A_{c}}}\left(1+{\frac {A_{c}}{I_{c}(x)}}\cdot z_{cp}^{2}(x)\right)\cdot (1+0,8\phi (\infty ,t_{0}))}}}$

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,s}(x)={\frac {(\epsilon _{cas\infty }+\epsilon _{cds\infty })\cdot E_{p}}{1+\alpha _{p}\cdot {\frac {A_{p}}{A_{c}}}\left(1+{\frac {A_{c}}{I_{c}(x)}}\cdot z_{cp}^{2}(x)\right)\cdot (1+0,8\phi (\infty ,t_{0}))}}}$

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,s}(x)={\frac {(\epsilon _{cas\infty }+\epsilon _{cds\infty })\cdot E_{p}}{N(x)}}}$

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,r}(x)={\frac {\Delta \sigma _{pr}(x)}{N(x)}}}$

für Spannstahl mit sehr niedriger Relaxation:

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,r}(x)={\frac {R\ {}^{0\!}\!/\!_{0}(x)\cdot \sigma _{p0}(x)}{N(x)}}}$

Annahme für den üblichen Hochbau

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,r}(x)={\frac {R\ {}^{0\!}\!/\!_{0}(x)\cdot 0.95\cdot \sigma _{pg0}(x)}{N(x)}}}$

Durch den Spannvorgang enthalten die Spannkräfte bereits teilweide die Spannungsänderung aus der Eigenlast des Trägers.

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,r}(x)={\frac {R\ {}^{0\!}\!/\!_{0}(x)\cdot 0.95\cdot \sigma _{pm0}(x)}{N(x)}}}$

R% aus der bauaufsichtlichen Zulassung des Deutschen Instituts für Bautechnik (DIBt) für Spannstahllitzen. Der Wert ist abhängig vom Verhältnis ${\displaystyle \sigma _{po}/f_{pk}}$.

${\displaystyle \Delta \sigma _{p,c}(x)={\frac {\alpha _{p}\cdot \phi (\infty ,t_{0})\cdot (\sigma _{cg}+\sigma _{cp0})}{N(x)}}}$

${\displaystyle \sigma _{cg}(x)={\frac {M_{Ed,perm}(x)\cdot z_{cp,n}(x)}{I_{n}(x)}}}$

${\displaystyle \sigma _{cp0}(x)={\frac {N_{p0}(x)}{A_{n}}}+{\frac {M_{p0}(x)\cdot z_{cp,n}(x)}{I_{n}(x)}}}$

${\displaystyle \sigma _{cp0}(x)={\frac {-P_{m0}(x)}{A_{n}}}+{\frac {-P_{m0}(x)\cdot (z_{cp,n}(x))^{2}}{I_{n}(x)}}}$

Es kann festgehalten werden, dass bei den meisten Spannbetontragwerken der Nachweiss der Dekompression für die Ermittlung des notwendigen Spannstahlquerschnittes maßgebend ist.

für t = ${\displaystyle \infty }$ ist an der Unterseite des Trägers zu überprüfen:

${\displaystyle \sigma _{cu}=-{\frac {P_{k,inf}}{A_{c,n}}}-{\frac {M_{Pk,inf}}{W_{c,nu}}}+{\frac {M_{Gk1}}{W_{c,nu}}}+{\frac {M_{Gk2+Qk}}{W_{c,iu}}}\leqq 0}$

${\displaystyle \sigma _{cu}=-{\frac {0.9\cdot P_{k,\infty }}{A_{c,n}}}-{\frac {0.9\cdot P_{k,\infty }\cdot z_{cp}}{W_{c,nu}}}+{\frac {M_{Gk1}}{W_{c,nu}}}+{\frac {M_{Gk2+Qk}}{W_{c,iu}}}\leqq 0}$

damit kann zur Vordimensionierung der Spannstahlkraft umgestellt werden zu:

${\displaystyle P_{k,\infty }\geqq {\frac {M_{Gk1+Gk2+Qk}}{W_{c,nu}}}\cdot \left({\frac {0.9\cdot z_{cp}}{W_{c,nu}}}+{\frac {0.9}{A_{c,n}}}\right)^{-1}}$

• für den Bauzustand t = 0 ist an der Oberseite zu überprüfen:

${\displaystyle \sigma _{co}=-{\frac {P_{k,sup}}{A_{c,n}}}+{\frac {M_{Pk,sup}}{W_{c,no}}}-{\frac {M_{Gk1}}{W_{c,no}}}\leqq 0}$

${\displaystyle \sigma _{co}=-{\frac {1.1\cdot P_{k,0}}{A_{c,n}}}+{\frac {1.1\cdot P_{k,0}\cdot z_{cp}}{W_{c,no}}}-{\frac {M_{Gk1}}{W_{c,no}}}\leqq 0}$

${\displaystyle P_{k,0}\leqq {\frac {M_{Gk1}}{W_{c,no}}}\cdot \left({\frac {1.1\cdot z_{cp}}{W_{c,no}}}-{\frac {1.1}{A_{c,n}}}\right)^{-1}}$

${\displaystyle Ap_{min}={\frac {P_{k,0}}{\sigma _{Pm0}(l/2)}}}$

Vom oberen Rand gemessen ergibt sich für die Lage des Schwerpunktes der Betonfläche:

${\displaystyle s_{A_{c}}={\frac {(h_{f}\cdot b)\cdot 0,5h_{f}+((h-h_{f})\cdot b_{w})\cdot 0,5(h_{f}+h))}{A_{c}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{A_{c}}&={\frac {h_{f}^{3}b}{12}}+{\frac {(h-h_{f})^{3}b_{w}}{12}}+h_{f}b(s_{A_{c}}-0,5h_{f})^{2}\\&{\color {White}=}+(h-h_{f})b_{w}(0,5(h_{f}+h)-s_{A_{c}})^{2}\end{aligned}}}$

Vom oberen Rand gemessen ergibt sich für die Lage des Schwerpunktes der Betonfläche:

${\displaystyle s_{A_{c}}={\frac {h}{2}}}$

${\displaystyle I_{A_{c}}={\frac {h^{3}\cdot b}{12}}}$

Vom oberen Rand gemessen ergibt sich für die Lage des Schwerpunktes der Betonfläche:

${\displaystyle s_{A_{c}}={\frac {h}{2}}}$

${\displaystyle I_{A_{c}}={\frac {h^{3}\cdot 1m}{12}}}$

${\displaystyle W_{co}={\frac {I_{A_{c}}}{s_{A_{c}}}}}$

${\displaystyle W_{cu}={\frac {I_{A_{c}}}{h-s_{A_{c}}}}}$

${\displaystyle A_{n}=A_{c}-A_{p}\cdot 1}$

${\displaystyle s_{A_{n}}(x)={\frac {A_{c}\cdot s_{A_{c}}-A_{p}\cdot (z_{cp}(x)+s_{A_{c}})}{A_{n}}}}$

${\displaystyle z_{cp,n}(x)=z_{cp}(x)+s_{A_{c}}-s_{A_{n}}(x)}$

${\displaystyle I_{A_{n}}(x)=I_{A_{c}}-A_{n}\cdot (s_{A_{n}}(x)-s_{A_{c}})^{2}-A_{p}\cdot (z_{cp}(x))^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{E,p}={\frac {E_{p}}{E_{c}}}}$

${\displaystyle A_{i}=A_{c}+(\alpha _{E,p}-1)\cdot A_{p}}$

${\displaystyle s_{A_{i}}(x)={\frac {A_{c}\cdot s_{A_{c}}+(\alpha _{E,p}-1)\cdot A_{p}\cdot (z_{cp}(x)+s_{A_{c}})}{A_{i}}}}$

${\displaystyle z_{cp,i}(x)=z_{cp}(x)+s_{A_{c}}-s_{A_{i}}(x)}$

${\displaystyle I_{A_{i}}(x)=I_{A_{c}}+A_{c}\cdot (s_{A_{c}}-s_{A_{i}}(x))^{2}+(\alpha _{E,p}-1)\cdot A_{p}\cdot (z_{cp,i}(x))^{2}}$

${\displaystyle f_{ck,is}=min{\begin{cases}f_{m(n),is}-1,48\cdot s\\f_{is,niedrigst}+4\end{cases}}}$