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Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zwei Potenzreihen

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}$

mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle r}$ und ist ${\displaystyle c}$ eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch ${\displaystyle f+g}$ und ${\displaystyle cf}$ wieder Potenzreihen mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle r}$ und es gilt

${\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}$

${\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.}$

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle r}$ ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius der mindestens ${\displaystyle r}$ ist. Es gilt

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}.}$

Die Folge ${\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ist dabei die Faltung der beiden Folgen ${\displaystyle a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{n}}$.

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C}$

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

In der mehrdimensionalen Analysis schreibt man Potenzreihen am einfachsten mit Hilfe der Multiindex-Notation als

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-x_{0}\right)^{\alpha }.}$

Der Konvergenzbereich einer solchen Potenzreihe hat eine wesentlich komplziertere Struktur. Die Aussagen über Operationen mit Potenzreihen gelten aber analog.

• Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.

${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Multiindex
• Taylorreihe in Multiindex-Notation