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Operationen mit Potenzreihen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Addition und skalare Multiplikation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sind und zwei Potenzreihen
mit dem Konvergenzradius und ist eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch und wieder Potenzreihen mit dem Konvergenzradius und es gilt
Multiplikation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius der mindestens ist. Es gilt
Die Folge ist dabei die Faltung der beiden Folgen und .
Differentiation und Integration
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.
Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.
In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.
Mehrdimensionale Potenzreihen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In der mehrdimensionalen Analysis schreibt man Potenzreihen am einfachsten mit Hilfe der Multiindex-Notation als
Der Konvergenzbereich einer solchen Potenzreihe hat eine wesentlich komplziertere Struktur. Die Aussagen über Operationen mit Potenzreihen gelten aber analog.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
komplexe Zahlen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Notizen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Multiindex
- Taylorreihe in Multiindex-Notation