Benutzer:Drommler/Drehmomentmesswelle

Drehmomentmesswellen werden überall dort eingesetzt, wo die mechanische Leistung bestimmt werden soll. So können mithilfe der Drehmomentmesswellen Wirkungsgrade elektrischer Antriebe bestimmt werden. Oft kommen sie auch in der Automobilindustrie zum Einsatz, um Fahrzeugkomponenten zu optimieren. An Motorenprüfständen können Motormomente, Schleppmomente und dynamische Verbrennungsvorgänge gemessen werden. An Getriebeprüfständen werden Wirkungsgrade, Schleppmomente und dynamische Vorgänge gemessen. Um Fahrzustände auf Prüfständen zu simulieren, werden Fahrzeuge mit Drehmoment und Drehzahlmesstechnik ausgestattet.

Während einer Testfahrt werden die Momente und Drehzahlen vom Motor und den Rädern aufgezeichnet. Diese Daten können dann später verwendet werden, um genau die gleichen Belastungen auf einem Prüfstand zu simulieren. Dazu wird mithilfe der Drehmomentmesswellen an Motor und Abtriebswellen der gleiche Lastzustand wie auf der Straße eingestellt.

Im Folgenden wird der prinzipielle Aufbau einer solchen Drehmomentmesswelle beschrieben.

Die häufigste und genaueste Art das Drehmoment auf rotierenden Wellen zu messen in das Messen der Dehnung mithilfe von Dehnmessstreifen. Das Signal der Dehnmessstreifen wird verstärkt, digitalisiert und von der rotierenden (Rotor) auf die stehende (Stator) Seite übertragen.

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Wenn man einen Stab der Länge l mit dem Querschnitt A (s. Abb. 1) betrachtet, der mit einer Längskraft F belastete wird, dehnt sich dieser um die Länge ${\displaystyle \Delta }$l.

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Die Längenänderung wird als Dehnung ${\displaystyle \epsilon }$ bezeichnet: ${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta l}{l}}}$.

l = Länge

Eine weitere Größe ist die mechanische Spannung ${\displaystyle \sigma }$. Sie wirkt in Richtung der Kraft F: ${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\epsilon \cdot E}$.

E = Elastizitätsmodul des Werkstoffes

In Abbildung 2 wird eine Welle mit einem Drehmoment belastet. Die größte Spannung auf der Wellenoberfläche wird unter 45° erzeugt.

Als sehr genauer Aufnehmer zur Messung kleiner Wege hat sich der Dehnmessstreifen durchgesetzt. Dieser kann als nahezu ideales Messelement betrachtet werden. Er ist erschütterungsunempfindlich und sehr genau herzustellen. Dehnmessstreifen sind elektrische Widerstände, die bei mechanischen Belastungen ihren Widerstandsbetrag ändern. Für kleine Dehnungen (${\displaystyle {\frac {\Delta l}{l}}\leq 10^{-2}}$ ist der Zusammenhang zwischen Dehnung und Widerstandsänderung linear. Hier gilt: ${\displaystyle {\frac {\Delta R}{R_{0}}}=k\cdot frac{\Delta l}{l}=k\cdot \epsilon }$.

k = Dehnungsempfindlichkeit der DMS R = elektrischer Widerstand E = Dehnung

${\displaystyle frac{\Delta l_{max}}{l}}$ bei üblichen Drehmomentmesswellen beträgt etwa ${\displaystyle 2{,}5\cdot 10^{-4}m/m=0{,}25mm/m}$.

Dehnmessstreifen bestehen meist aus einem isolierenden Träger (Papoerm Kunststoff) und einem metallischen Widerstand, der die Form eines Messgitters besitzt (siehe Abbildung 3).

Diese Dehnmessstreifen werden auf die zu untersuchende Welle mit einem geeigneten Kleber appliziert. Im Falle der Drehmomentmessung werden DMS benutzt, die das Messgitter direkt in die Richtung der maximalen Schubspannung besitzen. Für die meisten DMS-Typen gilt k ~ 2. Zur Drehmomentmessung mittels DMS ist es möglich, Drehmomentherzustellen, die eine Gesamtgenauigkeit von < 0,03% v.E. besitzen.

Man unterscheidet zwischen einachsigen, zweiachsigen (ebenen) und dreiachsigen (räumlichen) Spannungszuständen. Der einachsige Spannungszustand tritt z.B. in Druck- und Zugstäben auf. Ebene Sapnnungszustände werden von Kräften erzeugt, die in zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen auftreten. Der dreiachisge Spannungszustand tritt auf, wenn die Krafteinwirkung beliebig ist. Mit der Dehnmessstreifentechnik lassen sich nur zweiachsige Spannungszustände auf der Oberfläche eines Bauteils bestimmen. Die Krafteinwirkung, die z.B. in Richtung des Mittelspunkts einer Welle wirkt, kann mit DMS nicht erfasst werden.

Um das maximal übertragbare Drehmoment einer Welle berechnen zu können, ist es notwendig, die Deformation des Wellenquerschnitts zu betrachten. Ein Kreisquerschnitt wird um seine Mittelachse verdreht, dabei bleiben Durchmesser und Querschnittflächen erhalten, d.h. diese Ebenen verwölben sich nicht in Folge einer Verdrehung. Da die Deformation von der Achse aus linear zunimmt, muss dies nach dem Hookeschen Gesetz auch für die Schubspannung gelten. Die maximale Spannung befindet sich demnach in der Außenfaser.

Für die Auslegung einer Welle ist es notwendig, diese maximale Spannung ${\displaystyle \tau _{max}}$ in Zusammenhang mit dem Drehmoment M zu bringen. Es gilt:

${\displaystyle M_{t}=W_{t}\cdot \tau _{max}}$

${\displaystyle M_{t}}$ = Torsionsmoment (Drehmoment) ${\displaystyle W_{t}}$ = Torsionswiderstandsmoment

mit

${\displaystyle W_{t}={\frac {\pi d^{4}\cdot 2}{32\cdot d}}={\frac {\pi d^{3}}{16}}\approx 0{,}2d^{3}}$.

Die Gleichung gilt unter folgenden Voraussetzungen:

1. Die Deformation ist elastisch Hookesches Gesetz
2. Die untersuchte Stelle liegt nicht dort, wo das Drehmoment eingeleitet wurde.
3. Das unbelastete Werkstück ist spannungsfrei.
4. Es muss sich um einen Kreisquerschnitt handeln. Andere Querschnitte bleiben bei Verdrehung nicht eben.

Um ein Drehmoment ${\displaystyle m_{t}}$ übertragen zu können, benötigt man eine Welle mit folgendem Durchmesser ${\displaystyle d_{erf}}$:

${\displaystyle d_{erf}^{3}={\frac {16M_{t}}{\pi \cdot \tau _{tzul}}}}$ ${\displaystyle d_{erf}=2\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2M_{t}}{\pi \cdot \tau _{tzul}}}}}$.

Bis jetzt wurde die mechanische Festigkeit der Welle betrachtet. Bei der Messwerterfassung mittels Dehnmessstreifen ist es wichtig, dass diese nicht überdehnt werden, aber auch ein ausreichendes Messsignal liefern.

Dazu wird die Wellenoberfläche nach Abbildung 4 betrachtet.

Auf der Wellenoberfläche befindet sich ein kleines Rechteck ABCD, dessen Seiten AD und BC parallel zur Wellenachse (x-Richtung) verlaufen. Wird diese Welle durch ein Drehmoment tordiert, dann geht das Rechteck in das Parallelogramm ABC'D' über. Dabei wird die Diagonale BD verlängert und die Diagonale AC verkürzt.

Für kleine Winkel ${\displaystyle \gamma }$ gilt die Schiebung: ${\displaystyle \gamma \approx \gamma ={\frac {DD'}{AD}}}$.

Die Dehnung der Geraden berechnet sich zu ${\displaystyle \epsilon _{BD}={\frac {\gamma }{2}}sin2\alpha ={\frac {\gamma }{2}}}$.

Der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ beträgt 45°, weil dort die größte Spannung auftritt. Die Gerade BD wird um ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$ gedehnt und die Gerade AC um den gleichen Betrag gestaucht.

Für ${\displaystyle \tau _{max}}$ gilt nun:

${\displaystyle \tau _{max}=G\cdot \gamma =G\cdot 2\cdot \epsilon }$.

G = Gleitmodul (${\displaystyle 8{,}1\cdot 10^{4}N/mm^{2}}$; bei Stahl)

Nun kann der Durchmesser berechnet werden, um ein ${\displaystyle \epsilon }$ von ${\displaystyle 2{,}5\cdot 10^{4}}$ zu erhalten.

${\displaystyle d_{opt}=2\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2M_{t}}{\pi \cdot G\cdot 2\cdot \epsilon }}}=2\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2M_{t}}{\pi \cdot G\cdot \epsilon }}}}$.

Um ein Drehmoment von 100 Nm messtechnisch gut zu erfassen, wird ein Vollwellendruchmesser von 23,3 mm benötigt. Bei zu großen Dehnungen wird die Klebestelle zwischen DMS und Welle zu stark belastet und dies kann zu größeren Hysteresefehlern führen.

Die Wheatstonesche Brückenschaltung nach Abbildung 6 eignet sich besonders gut zur Messung von elektrischen Widerständen. Man kann entweder den Absolutwert des Widerstandes durch Vergleich mit einem Widerstand bestimmnen, dessen Größe bekannt ist, oder eine relative Widerstandsänderung messen. Bei der DMS-Messtechnik wird die relative Widerstandsänderung genutzt. Zur Speisung der Brücke bentutz man meist ein stabilisierte Gleichspannung. Bei den folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass der Innenwiderstand der Spannungsquelle ${\displaystyle U_{B}}$ vernachlässigt werden kann (${\displaystyle R_{i}\rightarrow 0}$.

Am Brückeneckpunkt 1 erhält man die Spannung

${\displaystyle U_{12}={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot U_{B}}$

und am Brückeneckpunkt 4 die Spannung

${\displaystyle U_{42}={\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}\cdot U_{B}}$.

Die Differenz zwischen diesen beiden Spannungen ist die Brückenausgangsspannung ${\displaystyle U_{A}}$.

${\displaystyle U_{A}=(U_{12}-U_{42}=U_{B}({\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}-{\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}})}$.

Als Brückenverstimmung bezeichnet man ${\displaystyle U_{A}/U_{B}}$:

${\displaystyle {\frac {U_{A}}{U_{B}}}={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}-{\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {R_{1}\cdot R_{3}-R_{2}\cdot R_{4}}{(R_{1}+R_{2})\cdot (R_{3}+R4)}}}$.

Die Brückenschaltung ist abgeglichen, wenn ${\displaystyle U_{A}/U_{B}=0(U_{A}=0)}$. Dies ist der Fall, wenn alle Widerstände den gleichen Wert besitzen

${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{4}}$

oder das Widerstandsverhältnis der beiden Brückzweige gleich ist

${\displaystyle {\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {R_{4}}{R_{3}}}}$.

Die Brückenschaltung ist verstimmt, wenn sie die Brückenwiderstände ${\displaystyle R_{1}}$ bis ${\displaystyle R_{4}}$ um ${\displaystyle \Delta R_{1}}$ bis math> \Delta R_2 </math> verändern. Dann erhält man eine Spannung math> U_A </math>am Ausgang der Brückenschaltung:

${\displaystyle {\frac {U_{A}}{U_{B}}}={\frac {R_{1}+\Delta R_{1}}{R_{1}+\Delta R_{1}+R_{2}+\Delta R_{2}}}-{\frac {R_{4}+\Delta R_{4}}{R_{3}+\Delta R_{3}+R_{4}+\Delta R_{4}}}}$.

Bei der Messung von mechanuschen Dehnungen sind Widerstandsveränderungen sehr klein (/${\displaystyle {\frac {\Delta R}{R}}<10^{-3}}$), deshalb kann die Gleichung vereinfacht werden zu:

${\displaystyle {\frac {U_{A}}{U_{B}}}={\frac {\Delta R_{1}}{R_{1}}}-{\frac {\Delta R_{2}}{R_{2}}}-+{\frac {\Delta R_{3}}{R_{3}}}-{\frac {\Delta R_{4}}{R_{4}}}}$.

Mit dieser Gleichung lassen sich alle Zustände der Brückenschaltung berechnen. Im Normalfall sollten die Brückenzweige den gleichen Widerstand besitzen. In der Praxis benutzt man für alle Widerstände den gleichen Wert.

Da auch ${\displaystyle {\frac {\Delta R}{R}}=k\cdot \epsilon }$ gilt, kann die Gleichung überführt werden in:

${\displaystyle {\frac {U_{A}}{U_{B}}}={\frac {1}{4}}k\cdot (\epsilon _{1}-\epsilon _{2}+\epsilon _{3}-\epsilon _{4})=k\cdot \epsilon _{0}}$.

Diese Gleichung gilt nur, wenn sich alle Widerstände der Wheatsoneschen Brückenschaltung ändern. Bei der Messung von Wegen mit der DMS-Technik werden aber auch Techniken angewendet, bei denen sich nicht alle Widerstände der Brückenscahltung ändern. Diese Schaltungen werden Halb- und Viertelbrücke genannt.

Unter dem Temperaturgang einer Messstelle versteht man die temperaturabhängige Veränderung des Messsignals trotz völliger Abwesenheit oder völliger Konstanz einer mechanischen Belastung. Ein Temperaturgang tritt auf, wenn sich während eines Beobachtungszeitrauems (zwischen Nullpunkteinstellung und Ablesung des Messwertes) die Temperatur der Well oder der Umgebung ändert. Hierbei handelt es sich um eine reversible Erscheinung. Wenn die ursprüngliche Temperatur wiederhergestellt ist, ist auch der Messwert wieder der ursprüngliche. Der Temperaturgang wird auch oft scheinbare Dehnung genannt.

Zum Temperaturgang ${\displaystyle \epsilon _{\phi }}$ tragen folgende Ursachen bei:

1. Wärmedämmung des Bauteilwerkstoffes ${\displaystyle \alpha _{B}}$
2. Wärmedehnung des DMS (${\displaystyle \alpha _{M}}$-Messgitterwerkstoffes
3. Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes des Messgitterwerkstoffes ${\displaystyle \alpha _{R}}$.

Die scheinbare Dehnung der DMS-Messstelle berechnet sich näherungsweise zu:

${\displaystyle \epsilon _{\varphi }=({\frac {\alpha _{R}}{k}}+\alpha _{B}-\alpha _{M})\cdot 9}$.

Im Handel sind DMS erhältlich, die temperaturgangkompensiert sind. Dazu wird der Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes des Messgitterwerkstoffes so verändert, dass näherungsweise ${\displaystyle \alpha _{R}=(\alpha _{M}-\alpha _{B})\cdot k}$ erreicht wird. Dies wird durch Legierungszusätze und Wärmebehandlungen erreicht.

Diese selbstkompensierende DMS gibt es für verschiedene Werkstoffe (z.B. Titan, Stahl oder Aluminium). Die Abbildung zeigt den Resttemperaturgang eines solchen DMS für den Werkstoff Stahl. Um die kompensierende Wikrung der Wheatstoneschen Brückenschaltung beizubehalten, sollten auf einem Messkörper nur Dehnmessstreifen verwendet werden, die den gleichen Temperaturgang besitzen. Dazu liegt jedem DMS ein Diagramm des Temperaturganges bei.

Wird ein DMS einer statischen Dehnung ausgesetzt, so zeigt er trotz konstanter Bauteildehnung eine zeitliche Veränderung des Widerstandes. Diese Veränderung des Messsignals geschieht sehr langsam (kriechend) und in Richtung Entlastung (siehe Abbildung).

Die Ursdache liegt in den dehnungsübertragenden Schichten des Klebstoffes und des DMS. Das gedehnte Messgitter wirkt im Wesentlichen wie eine Feder. Die Gegenkraft des Klebers erlahmt und der DMS zieht sich zurück.

Die das Kriechen beeinflussenden Größen sind sehr umfangreich. dazu gehören u.a.:

1. Querschnitt der Leiterbahnen des Messgitters
2. Anzahl der Leiterbahnen des Messgitters
3. Werkstoff des Trägers
4. Art und Schichtdicke des Klebers.

Auf dem Markt sind DMS mit unterschiedlichen Kriechanpassungen erhältlich, um das Kriechen zu minimieren. Welcher DMS schließlich für eine Applikation in Fragte kommt, hängt stark vom verwendeten Kleber und Material ab und kann nur experimentell ermittelt werden. Ohne ein gewisses Maß an DMS-Kriechen wäre es nicht möglich, hochgenaue Messwertaufnehmer zu fertigen, da das Kriechen der elastischen Nachwirkung des Werkstoffes entgegenwirkt. Die elastische Nachwikrung (siehe Abbildung) kann wir folgt beschrieben werden:

Wird eine Welle mit einem Drehmoment beaufschlagt, so dehnt sie sich spontan um ein dem Hookeschen Gesetz gehorchenden Maß. Infolge von Relaxationen des Werkstoffes folgt dieser spontanen Dehnung eine zeitabhängige, asymptotisch verlaufende Dehnung. Bei der Entlastung verbleibt eine kleine Restdehnung, die langsam abklingt, bis der ursprüngliche Zustand wieder erreicht ist.

Da DMS-Kriechen und die elastische Nachwirkung umgekehrte Vorzeichen haben, ist eine Kompensation möglich.

DMS sollten immer nur in ihrer aktiven Messrichtung betrieben werden. Die aktive Richtung ist durch die Richtung der drahtähnlichen Leiterteile des Messgitters bestimmt. Werden DMS quer zu ihrer aktiven Richtung gedehnt, so erhält man eine geringe Widerstandsänderung. Die Ursache liegt in den Teilen des Messgitters, die quer zur eigentlichen Messrichtung verlaufen. Die Herstelle von DMS versuchen, die Querempfindlichkeit zu reduzieren, indem die die Umkehrpunkte des Messgitters durch breitere Querverbindungen verbinden. Die Querempfindlichkeit wird durch die richtige Applikation eliminiert.