Benutzer:DasUntier/Spielwiese

Das Toy Modell ist ein vielteilchen Modell, zur vereinfachten Beschreibung eines 2 Niveau Systems. Das Modell ist rein theoretisch, da es keine realen Zwei-niveau-systeme gibt, diese können aber teilweise angenähert werden (Beispielsweise wenn 2 Energieniveaus gut Isoliert liegen). Mit dem Toy-Modell lassen sich viele Ergebnisse der Statistischen Physik durch einfache Rechnung zeigen.

Das Toy Modell geht von n-Teilchen mit je 2 möglichen Energieniveaus aus. Um die Beschreibung zu vereinfachen, legen wir unseren Energienullpunkt auf das untere Energieniveau. Dann ist das obere Energieniveau auf einer Energie E₀. Das heisst nun jedes unserer Teilchen kann entweder die Energie 0 oder E₀ haben.

Der Hamiltonoperator eines solchen Systems ist leicht aufzustellen.

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{k=1}^{n}{E_{0}*{\hat {n}}_{k}}}$

wobei ${\displaystyle {\hat {n}}_{k}}$ ein Operator ist, welcher angibt ob das k-te Teilchen im angeregten Zustand ist oder nicht.

Die Zustandssumme erhält man durch einsetzen des Hamiltonoperators in die kanonische Zustandssumme :

${\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {\hat {H}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

${\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {\sum _{k=1}^{n}{E_{0}*{\hat {n}}_{k}}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

Die Summe kann aus der Exponentialfunktion gezogen werden, und wird zum Produkt.

${\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}*{\hat {n}}_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

Nun ersetzen wir die Spur durch eine Summe über n_k, und den Operator ${\displaystyle {\hat {n}}_{k}}$ durch seinen Eigenwert n_k.

${\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}*n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

Analog erhält man für die grosskanonische Zustandssumme :

${\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

Benötigt wird dazu der Teilchenzahloperator ${\displaystyle {\hat {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\hat {n}}_{k}}$, dieser wird für n in die allgemeine Formel für die grosskanonische Zustandssumme ${\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {(} Sp)(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {H}}-\mu {\hat {n}}}{k_{\mathrm {B} }T}}})}$ eingesetzt.

• Bosonen

Die so erhaltene grosskanonische Zustandssumme formen wir nun noch um. Das beschriebene System enthält n-Teilchen auf 2 Energieniveaus, also sind immer mehr als 1 Teilchen in jedem Niveau, somit handelt es sich um ein Bosonisches System. Die Summe über n_k kann also von Null bis Unendlich laufen. Für jeden Summanden sieht man aber, das immer gleiche Energieterme multipliziert werden. Daher kann man die E-Funktion auch umschreiben :

${\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}})^{n_{k}}.}$

Diese Form erkennen wir nun als die geometrische Reihe. Daraus folgt :

${\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}.}$(Bosonische Zustandssumme)

• Fermionen

Um die fermionische Zustandssumme zu bekommen benötigen wir einen Trick. Das System wird nur Fermionisch wenn sich in jedem Zustand maximal ein Teilchen befindet. Dazu betrachten wir unser System einfach für k = 1, also für nur ein einziges Teilchen. Dadurch fällt unser Produkt erstmal weg, und die Summe über n_k enthält nur noch 2 Möglichkeiten, entweder unser Teilchen ist angeregt oder eben nicht. Daher kann n_k nur noch 0 oder 1 sein.

Die Zustandssumme wird dann zu :

${\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum _{n_{k}=0}^{1}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

Einsetzen von n_k liefert :

${\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}}).}$

Dabei wurde benutzt das ${\displaystyle \mathrm {e} ^{0}=1}$ ist.

Dies gibt uns nun die Zustandssumme für ein Teilchen. Wir verlassen an der stelle etwas unser Toy-Modell und sagen nun, wir wollten ursprünglich ein vielteilchen System bereiben, das n-Teilchen hat. Dies erzielen wir nun, in dem wir ein System aus n-Toy-Modellen mit je 1 Teilchen betrachten, dadurch erhalten wir ein fermionisches System. Wir multiplizieren unser Ergebnis also wieder n-mal um die Zustandssumme des Gesamtsystems zu erhalten.

${\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}(1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}})).}$ (Fermionische Zustandssumme)

Wir berechnen das Thermodynamische Potential über :

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({Z_{g}}).}$

• Bosonen

Einsetzen der vorher berechneten grosskanonischen Zustandssumme liefert :

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}}).}$

Das Produkt lässt sich aus als Summe aus dem Logarithmus ziehen, und ein Vorzeichenwechsel dreht den Bruch im Log. um. Es folgt :

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})).}$

• Fermionen

Durch einsetzen und vorziehen der Summe ergibt sich :

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})).}$

Wir sehen, dass das Potential bis auf die Vorzeichen gleich ist.

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=_{-}^{+}k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1_{+}^{-}(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}))_{Fermionen}^{Bosonen}.}$

Man erhält den Erwartungswert für die Teilchenzahl in man das thermodynamische Potential nach dem negativen chemischen Potential ableitet.

${\displaystyle <{\hat {N}}>=-({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }})_{\beta ,V}}$ mit ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$

• Bosonen

Die Ableitung des Logarithmus liefert :

${\displaystyle {\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}.}$

Die innere Ableitung gibt :

${\displaystyle -{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.}$

Zusammengefasst erhalten wir dann :

${\displaystyle <{\hat {N}}>={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.}$

Nach kürzen von k_BT und zusammenfassen des Bruchs erhalten wir die Bose-Verteilung :

${\displaystyle <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})-1}}.}$ (Bose-Verteilung)

• Fermionen

Analog erhält man durch einsetzen des Potentials für Fermionen nach dem ableiten :

${\displaystyle <{\hat {N}}>={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.}$

Zusammenfassen liefert nun die Fermi-Verteilung :

${\displaystyle <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})+1}}.}$ (Fermi-Verteilung)

Auch hier sehen wir das sich die Verteilungen nur um ein Vorzeichen unterscheiden :

${\displaystyle <{\hat {N}}>=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})_{-}^{+}1}}.}$

Aus dem Toy-Modell ergeben sich also die allg. gültigen Fermi- und Bose- Verteilungen. Diese sind für das Toy-Modell aber nur begrenzt sinnvoll, da für hohe Temperaturen fast alle Teilchen im angeregten Zustand sind, und das Modell damit seinen Sinn verliert.

• Zweizustandssystem
• Quantenstatistik

• Schwabl: Statistische Mechanik. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN-10: 3540310959

Kategorie:Statistische Physik

Kategorie:Thermodynamik