Benutzer:Blaues-Monsterle/Quantenelektrodynamik

Nach einer kanonischen Quantisierung der Felder in Termen ihrer Fourierkomponenten und Erzeugungs- sowie Vernichtungsoperatoren ${\displaystyle a^{\dagger }({\vec {k}})}$ bzw. ${\displaystyle a({\vec {k}})}$, ergeben sich bei der Konstruktion des Hamilton-Operators zwei Probleme: Erstens enthält der zum Spinorfeld gehörige Anteil des Hamilton-Operators einen unendlichen Term; zweitens ist der Hamiltonoperator des Photonenfeldes nicht positiv definit. Diese beiden Probleme werden durch das normal ordering und den Gupta-Bleuler-Formalismus gelöst, sodass der Hamilton-Operator schließlich die Form

${\displaystyle H=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\frac {E_{\psi }(k)}{2}}a_{\psi }^{\dagger }({\vec {k}})a_{\psi }({\vec {k}})+\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\frac {E_{\gamma }(k)}{2}}a_{\gamma }^{\dagger }({\vec {k}})a_{\gamma }({\vec {k}})+\int \mathrm {d} ^{3}xq{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi }$

annimmt. Die ersten beiden Summanden entsprechen den Hamilton-Operatoren der freien Felder und sind als Integral über alle Frequenzen eines harmonischen Oszillators unter Abzug der Nullpunktsenergie, die zur Divergenz des Terms führte, aufgebaut. Der im Rahmen der Quantenelektrodynamik interessante Term ist der Wechselwirkungsoperator ${\displaystyle q{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi \equiv {\mathcal {H}}_{\text{int}}}$.

Der Wechselwirkungsterm ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{int}}}$ führt dazu, dass im Allgemeinen keine exakten, analytischen Lösungen für die Felder ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \psi }$ existieren. Zu einer näherungsweisen Berechnung der Zustände zu einer Zeit ${\displaystyle t}$ wird angenommen, es existiere zur Zeit ${\displaystyle t=-\infty }$ ein wechselwirkungsfreier Anfangszustand (initial state) ${\displaystyle |i\rangle }$, der ein Eigenzustand des freien Hamilton-Operators ist und dessen Evolution durch den Zeitentwicklungsoperator ${\displaystyle U(t,t_{0})}$ bestimmt wird. Im Rahmen dieses Kapitels werden Operatoren und Zustände im Dirac-Bild dargestellt. Im Dirac-Bild gilt für die Zeitenwicklung eines Zustandes

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi _{0}\rangle }$.

Der Zeitentwicklungsoperator der Quantenelektrodynamik ist durch

${\displaystyle U(t,t_{0})=T\left(\exp \left(-\mathrm {i} \int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau {\mathcal {H}}_{\text{int}}(\tau )\right)\right)}$

mit dem Zeitordnungsoperator ${\displaystyle T}$ gegeben. Mathematisch gesehen handelt es sich bei diesem zeitgeordneten Exponential um eine Dyson-Reihe. Bis zur zweiten Ordnung in ${\displaystyle q}$ ausgeschrieben lautet der Zeitentiwklungsoperator also:

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-\mathrm {i} q\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau {\bar {\psi }}(\tau )\gamma ^{\mu }A_{\mu }(\tau )\psi (\tau )+(-\mathrm {i} q)^{2}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau \int _{t_{0}}^{\tau }\mathrm {d} \tau '{\bar {\psi }}(\tau )\gamma ^{\mu }A_{\mu }(\tau )\psi (\tau ){\bar {\psi }}(\tau ')\gamma ^{\nu }A_{\nu }(\tau ')\psi (\tau ')}$

Da die Exponentialfunktion die Ladung ${\displaystyle q={\mathcal {O}}(e)=0,3<1}$ im Argument beinhaltet, konvergiert sie zügig. Für praktische Berechnungen ist die Beibehaltung bis zur zweiten Ordnung meist ausreichend, zumal das Produkt der Feldoperatoren mit jeder Ordnung rasch komplizierte Ausdrücke generiert. Höhere Korrekturen zu quantenelektrodynamischen Prozessen können besser mithilfe von Feynman-Diagrammen und Feynman-Regeln (s.&nbsp u.) beschrieben werden.

Wird nun angenommen, dass die effektive Zeit, in der eine Wechselwirkung zwischen Zuständen auftritt, kurz im Vergleich zur betrachteten Zeitspanne ist, kann die Endzeit ${\displaystyle t=\infty }$ gesetzt werden, sodass ein Zustand

${\displaystyle |\psi (\infty )\rangle =\lim _{t_{0}\to -\infty }\lim _{t\to \infty }U(t,t_{0})|i\rangle \equiv S|i\rangle }$

existiert . Die Wahrscheinlichkeitsamplidude des Übergangs vom Anfangszustand in einen speziellen Endzustand (final state) ${\displaystyle |f\rangle }$ lautet somit:

${\displaystyle S_{fi}=\langle f|\psi (\infty )\rangle =\langle f|S|i\rangle }$

Die Wahrscheinlichkeitsamplituden ${\displaystyle S_{fi}}$ bezeichnet man als die Einträge der S(cattering)-Matrix ${\displaystyle S}$ mit

${\displaystyle S|i\rangle =\sum _{f}S_{fi}|f\rangle }$

als Summe über alle möglichend Endzustände und für einen festgelegten Anfangszustand ${\displaystyle |i\rangle }$.