Gegeben seien zwei Vektorräume
, je mit einer linearen Abbilung auf einen weiteren Vektorraum,
. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
, die
zu einer Abbildung
fortsetzt. Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als
geschrieben und heißt das Tensorprodukt von
und
. Im Sinne der Kategorientheorie bildet das Paar von Abbildungen
einen Funktor.
Die Konstruktion geht aus von Basen
von
und
. Die
bilden (s. o.) eine Basis von
. Die Forderung
auf den Elementen dieser Basis definiert eindeutig eine lineare Abbildung
. Dabei wird
auch für die anderen Elemente von
, nicht nur für die
. Aus den Darstellungen von
und
als
und
ergibt sich nämlich
.
Beginnt man die Konstruktion mit anderen Basen
von
und
, definiert also eine lineare Abbildung
durch
, so ist das
. Die Abbildungen
und
stimmen auf den Elementen einer Basis von
überein, sind also identisch. Die Konstruktion ist von der Wahl der Basen unabhängig.
(Der folgende Abschnitt soll dem schon unter dieser Überschrift stehenden Abschnitt angefügt werden.)
Aus mathematischer Sicht ist die gesuchte bzw. zu konstruierende Produkt-Operation, nennen wir sie
, von Vektoren aus Vektorräumen
in erster Linie eine bilineare Funktion (Abbildung)
mit Werten in einem weiteren Vektorraum
anders geschrieben
Bilinear heißt eine Funktion von zwei Vektoren, wenn sie in jeder Variabeln linear ist:
und entsprechend für die andere Variable. Von einem Produkt anderseits erwartet man zwei Distributivgesetze:
und entsprechend für die linke Seite. Außerdem muss, da es sich um Vektoren handelt, die Multiplikation mit einem Skalar
geregelt werden. Dafür erscheint naheliegend:
Zusammen bedeuten diese Forderungen in der Tat Bilinearität für
Dazu kommen noch zwei, hier recht allgemein formulierte Wünsche: 1. Es sollte unter den ‚neuen‘ Vektoren keine Beziehungen (Gleichheiten) geben, die nicht durch die Axiome vorgeschrieben sind, und 2. sollte der neue Vektorraum keine Elemente enthalten, deren Existenz sich nicht aus den Axiomen ergibt.
Durch die Axiome vorgeschrieben ist jedenfalls für beliebige
dass (wenn O den Nullvektor und 0 die skalare Null bezeichnen)
ist; denn z. B. ist
Anderseits verlangen die Axiomen, dass mit beliebigen Elemente eines Vektorraumes auch alle ihre Linearkombinationen Elemente dieses Raumes sind.
Zu zwei Vektorräumen
über einem Skalarkörper
gibt es einen weiteren Vektorraum
und eine bilineare Abbildung
mit den Eigenschaften
- 1. Sind Elemente
und Elemente
jeweils linear unabhängig, so sind die Elemente
von
linear unabhängig.
und
- 2.
ist ein Erzeugendensystem von ![{\displaystyle X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba76c5a460c4a0bb1639a193bc1830f0a773e03)
Vektorraum
und Abbildung
sind bis auf Isomorphie eindeutig. Das heißt, gelten 1. und 2. auch für
so gibt es eine reguläre lineare Abbildung
sodass
ist.
Man schreibt
und
und nennt die Operation
Tensorprodukt. Der Raum
heißt Tensorprodukt von
und
auch Tensorproduktraum. Seine Elemente sind Tensoren.
Diese Definition gehört zum Typ universelle Definition. Sie enthält zwei Behauptungen (Existenz und Eindeutigkei), die bewiesen werden müssen. Die Existenz belegen wir mit dem ‚einfachen Beipiel‘ weiter unten. Zur Eindeutigkeit gleich hier:
Hat man Basen
und
in
beziehungsweise
so bilden die
eine Basis von
. Einerseits nämlich sind sie nach 1. linear unabhängig, anderseits erzeugen sie die Menge aller
die ihrerseits nach 2. ganz
erzeugt. Für ein anderes Paar
und
folgt ebenso: Die
bilden eine Basis von
Definiert man
durch
so stimmen die Funktionen
und
zunächst für die Paare
überein, und dann wegen ihrer Bilinearität auf ganz
, und sind damit identisch.
Die Vektoren der Standardvektorräume über einem Körper
sind Spalten oder Zeilen mit Elementen aus
. Im Rahmen des Matrizenkalküls sind Spalten
-Matrizen und Zeilen
-Matrizen, wenn
die Dimensionen der Vektoren bezeichnen. Eine
-Matrix mit einer
-Matrix lassen sich genau dann multiplizieren, wenn
ist, und ergeben dann eine
-Matrix. Ein
-Spaltenvektor
mit einem
-Zeilenvektor
als Matrizen multipliziert, ergeben die
-Matrix
Ausführlich, nun mit
geschrieben:
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{matrix}}\right)\,\otimes \,\left({\begin{matrix}b_{1}&b_{2}&\dotsc &b_{n}\end{matrix}}\right)\quad =\quad \left({\begin{matrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\dotsc &a_{1}b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m}b_{1}&a_{m}b_{2}&\dotsc &a_{m}b_{n}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1642481040d2d75bfc49f1f1f939ac48750125)
Da für Matrizen gleichen Formats Linearkombintionen definiert sind, bilden die
-Matrizen mit Elementen aus
, also
, einen
-dimensionalen Vektorraum
über diesem Körper. Nimmt man in
und
die Standardbasen
wo
an der
-ten und
an der
-ten Position eine Eins haben und sonst Nullen, so haben die Matrizen
jeweils eine Eins an Position
und sonst Nullen. Das ist die Standardbasis von
. Damit erzeugen die
den Vektorraum
. Auch 1. gilt, denn gäbe es linear unabhängige Elemente
und
, für die die
linear abhängig sind, so könnte man die
und die
jeweils zu Basen
erweitern, deren Produkte
dann linear abhängig wären und nur einen echten Teilraum von
erzeugen.
Skalarprodukte sind die wohl wichtigsten zusätzlichen Strukturelemente von Vektorräumen. So gehört das Skalarprodukt zur Definition des Hilbertraums. Das Tensorprodukt sollte daher auf die Kategorien Vektorräume mit Skalarprodukt erweitert werden. Als Skalarkörper kommen die reellen Zahlen
oder die komplexen Zahlen
in Frage.
In diesem Abshnitt erscheint es angemessen, Vektoren und Tensoren in der Bezeichnung gegen Skalare abzusetzen.
Angenommen also, auf den Vektorräumen
und
sind Skalarprodukte
bzw.
definiert. Dann sollte es eine ‚natürliche‘ Definition eines Skalarprodukts
auf
geben. Naheliegend ist, auf der Teilmenge
von
, genauer auf
zu fordern, dass
ist. Tatsächlich lässt sich diese Funktion eindeutig und widerspruchsfrei zu einem Skalarprodukt auf
fortsetzen. Dafür seien zunächst
Orthonormalbasen in
und
. Mit dem Kronecker-
![{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{wenn}}&i=j,\\0&{\text{sonst,}}&\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d8c9b38cf5f48fbd578401b5a7cc86c9a3efab)
schreibt sich das für die Elemente der Basen:
bzw.
. Die
bilden wieder eine Basis von
. Aus der vorläufigen Definition von
ergibt sich
![{\displaystyle ({\vec {z}}_{ij},{\vec {z}}_{k\ell })_{X}\,=\,({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})_{V}\cdot ({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })_{W}\,=\,\delta _{ik}\delta _{j\ell }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05d6486ecefd4569c5427ec5ba82564d3d020e1)
Damit bilden die
eine Orthonormalbasis für
.
Da eine Orthonormalbasis
in einem beliebigen Vektorraum
(über
z.B.) das eindeutig bestimmte Skalarprodukt
beschreibt, legen auch die orthonormalen
ein Skalarprodukt auf ganz
fest. Zu prüfen ist, ob es auf
mit der Vorgabe übereinstimmt. Das ist eine einfache Rechnung: