Autonomisierung

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Autonomisierung bezeichnet das Umschreiben eines nicht-autonomen Differentialgleichungssystems in ein autonomes Differentialgleichungssystem in der Numerischen Mathematik.

Sei das Anfangswertproblem mit

gegeben.

Dann ist das Ziel, dieses nicht-autonome DGL-System in ein autonomes, d. h. von der Zeit unabhängiges (=invariant gegen Zeittranslation) DGL-System zu überführen (autonomisieren).

Wir können uns auf die Anfangszeit beschränken, da bei jeder beliebigen Zeit eine Lösung sein muss, falls die Funktion autonomisiert werden kann.

In den numerischen Verfahren fallen die Zeitpunkte dann entsprechend weg. Das heißt, es gilt für das explizite Euler-Verfahren

für eine autonome Differentialgleichung.

Autonomisierung

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Schreiben wir nun die nicht-autonome DGL in eine autonome DGL um, dann erhalten wir eine zusätzliche Dimension.

Definiere

.

Dann gilt die Beziehung:

.

1. Die Euler-Verfahren (explizit, implizit), das Heun-Verfahren und das Trapez-Verfahren sind alle invariant gegen Autonomisierung.

2. Das „schiefe“ Euler-Verfahren (Beachte Zeitschritt in ) ist nicht invariant gegen Autonomisierung.