Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion

Die hypergeometrische Funktion stellt die Verallgemeinerung der geometrischen Reihe dar. Sie wird gemeinhin definiert als

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}};\quad p,q\in \mathbb {N} _{0}}$

wobei Γ(x) die Gammafunktion (verallgemeinerte Fakultätsfunktion) ist.

Die hypergeometrische Funktion enthält viele wichtige Funktionen als Spezialfälle, allen voran die e-Funktion als ${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)}$. Die Tatsache, dass die e-Funktion enthalten ist, lässt bereits vermuten, dass sich auch die trigonometrischen Funktionen als Spezialfall darstellen lassen. In der Tat gibt es eine große Zahl von Funktionen, die sich als eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen.

${\displaystyle {}_{0}F_{0}\left(;;z\right)=e^{z}}$

${\displaystyle {}_{1}F_{0}\left(-a;;-z\right)=(1+z)^{a}}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)={\frac {\sin z}{z}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)={\frac {1}{z}}\ln(1+z)}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{2z}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arcsin z}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};-z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arctan z}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\cdot \left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot J_{a}(z)\quad }$ wobei J_a(z) die Besselfunktion ist

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot I_{a}(z)\quad }$ mit ${\displaystyle I_{a}(z)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}a}J_{a}(z)}$ (modifizierte Besselfunktion)

${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma (a,z)}$ (γ(a,z) stellt die unvollständige Gammafunktion dar)

${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}e^{z}\gamma (a,z)}$

Beweisen wir nun die ersten Beispiele. Das e^z ist bereits im Eingangstext als offensichtlich bewiesen worden, daher nehmen wir nun die Kosinusfunktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma (k+{\frac {1}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}\\&={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{0}}{0!}}+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}{\frac {-{\frac {z^{2}}{4}}}{1}}+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {5}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{2}}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {7}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{3}}{2\cdot 3}}+\cdots \\&={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {1}{1}}+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {-z^{2}}{4}}+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {({\frac {z^{4}}{16}})}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {5}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {-z^{6}}{4^{3}\cdot 3!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Hier nutzten wir, dass Γ(x+1)=xΓ(x) ist und somit Γ(3/2)=1/2·Γ(1/2) usw. Wie man sieht, kürzen sich die Terme Γ(1/2) überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu

${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}})=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z}$

Versuchen wir noch, das Polynombeispiel für a=1 zu beweisen:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(-a;;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-1)}{\Gamma (-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}={\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (-1)}}{\frac {1}{1}}+{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (-1)}}z+{\frac {\Gamma (1)}{\Gamma (-1)}}{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {\Gamma (2)}{\Gamma (-1)}}{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots }$

Da die Gammafunktion bei ganzzahlig negativen Werten Singularitäten aufweist, müssen hier streng genommen Grenzwerte gebildet werden. Im Grenzfall gehen dann ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (x>0)}{\Gamma (-1)}}}$ gegen 0, weil der Zähler endlich, der Nenner jedoch unendlich wird. Bei den ersten beiden Gliedern gehen Zähler wie Nenner im Bruch gegen unendlich und heben sich daher weg. Übrig bleibt das endliche Polynom 1+z. Diese Vorgehensweise ist immer die gleiche, wenn man Polynome als hypergeometrischen Funktion schreiben will.

Die hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem k einführt und so die Komplexität der Funktion weiter erhöht. Allein um das Vorzeichen von k zu modifizieren wären zwei weitere Indizes nötig:

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{pqrs}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};c_{1},\dots ,c_{r};d_{1},\dots ,d_{s};z)\\&\qquad \qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (-k+b_{j})}{\Gamma (b_{j})}}\prod _{l=1}^{r}{\frac {\Gamma (c_{l})}{\Gamma (k+c_{l})}}\prod _{m=1}^{s}{\frac {\Gamma (d_{m})}{\Gamma (-k+d_{m})}}{\frac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$

Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig, so erhält man als Verallgemeinerung die Fox–Wright Funktionen.

Siehe auch: spezielle Funktionen, Hypergeometrische Differentialgleichung

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen S. 91 Georg Reimer, Berlin, 1861.
• Felix Klein: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion Springer, Berlin.
• Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin, 1930.