„D’Alembertsches Prinzip“ – Versionsunterschied

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Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert) der klassischen Mechanik erlaubt die Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen. Das Prinzip beruht auf dem Satz, dass die Zwangskräfte bzw. -momente in einem mechanischen System keine virtuelle Arbeit leisten.^[1][2] Es zählt neben dem Jourdainschen Prinzip zu den wichtigsten Prinzipien der klassischen Mechanik.

Der Name „d’Alembertsches Prinzip“ wird von manchen Autoren für das Dynamische Gleichgewicht zwischen äußerer Kraft und d’Alembertscher Trägheitskraft verwendet,^[3] während andere Autoren dies mit heftigen Worten als eine unzulässige Verkürzung ablehnen.^[4]

Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt wird in einem Inertialsystem formuliert. Sie lautet nach dem zweiten newtonschen Gesetz:

${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}}$

Darin sind ${\displaystyle m}$ die Masse, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ die Absolutbeschleunigung und ${\displaystyle {\vec {F}}}$ die äußere Kraft. Diese Grundgleichung der Mechanik kann auf die Form:

${\displaystyle {\vec {F}}-m{\vec {a}}={\vec {0}}}$

gebracht werden. Der Term ${\displaystyle -m{\vec {a}}}$ wird formal als Kraft aufgefasst und als d'Alembertsche Trägheitskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{T}}$ bezeichnet.^[5]

${\displaystyle {\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}={\vec {0}}}$

Das dynamische Problem ist auf ein Gleichgewichtsproblem der Statik zurückgeführt. Man bezeichnet die Beziehung deshalb auch als dynamisches Gleichgewicht. Ein Problem der Dynamik kann somit auch mit Methoden der Statik behandelt werden, wenn Trägheitskräfte berücksichtigt werden.^[6] Beim d'Alembertschen Prinzip wird im Folgenden das Prinzip der virtuellen Arbeit ausgenutzt, das in der Statik zur Berechnung unbekannter Lagerkräfte eingesetzt werden kann.

Bei einem System von N Massenpunkten, welches Zwangsbedingungen unterliegt, lautet die Bewegungsgleichung für die Masse i:

${\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}={\vec {F}}_{i}}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ die resultierende äußere Kraft auf den Massenpunkt i. Sie ist die Summe aus eingeprägter Kraft ${\displaystyle {\vec {F_{i}^{e}}}}$ und Zwangskraft ${\displaystyle {\vec {F_{i}^{z}}}}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}={\vec {F}}_{i}^{e}+{\vec {F}}_{i}^{z}\;.}$

Eingesetzt in die Newtonsche Bewegungsgleichung:

${\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}={\vec {F}}_{i}^{e}+{\vec {F}}_{i}^{z}\;.}$

Die Zwangskraft berechnet sich somit zu

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}^{z}=m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\;.}$

Man bildet das Skalarprodukt der Zwangskräfte mit den virtuellen Verschiebungen^{[Anm. 1]} ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{i}}$. Wenn nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit die Zwangskräfte insgesamt keine virtuelle Arbeit verrichten, verschwindet die Summe der Skalarprodukte von Zwangskräften und virtuellen Verschiebungen:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left({\vec {F}}_{i}^{z}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}\right)=0\;.}$

Man erhält das d’Alembertsche Prinzip (in der Formulierung von Lagrange):^[2][1]

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\right)\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0}}$

In der Gleichung treten die Zwangskräfte nicht mehr auf – nur die eingeprägten Kräfte. Die Zwangsbedingungen verstecken sich noch in den virtuellen Verschiebungen, denn es sind nur solche erlaubt, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind.

Um daraus Bewegungsgleichungen zu gewinnen, geht man bei ${\displaystyle \,k}$ (holonomen) Zwangsbedingungen zu ${\displaystyle f=3N-k}$ unabhängigen Koordinaten (Freiheitsgraden) ${\displaystyle q=(q_{1}(t),...,q_{f}(t))}$ über und drückt Lage, Geschwindigkeit, Beschleunigung und virtuelle Verschiebungen der N Massen durch diese neuen Lagekoordinaten („generalisierte Koordinaten“) aus:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(q)\;,\quad {\dot {\vec {r}}}_{i}={\dot {\vec {r}}}_{i}(q,{\dot {q}})\;,\quad {\ddot {\vec {r}}}_{i}={\ddot {\vec {r}}}_{i}(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\;,\quad \delta {{\vec {r}}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}\,.}$

Da sich die neuen Koordinaten unabhängig variieren lassen, ergeben sich ${\displaystyle f}$ Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich nach ${\displaystyle {\ddot {q}}}$ auflösen lassen. Die konkrete Vorgehensweise zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist dem nächsten Abschnitt zu entnehmen.

Für holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte (die sich aus einer Potentialfunktion ableiten lassen) ist das D’Alembert-Prinzip dann äquivalent zu den Lagrangegleichungen erster Art.

Gelegentlich wird schon die eingangs wiedergegebene einfache Umstellung der newtonschen Bewegungsgleichung als das d’Alembertsche Prinzip bezeichnet. Das übersieht aber wesentliche Folgerungen wie die Elimination von Zwangskräften, die keine virtuelle Arbeit leisten und kommt in den Worten von Georg Hamel „fast einer Beleidigung von d’Alembert gleich“.^[7] Es ist zudem zu beachten, dass das verwendete Prinzip der virtuellen Arbeit nicht aus den Newtonschen Axiomen folgt, sondern ein eigenes Grundpostulat darstellt.^[8]

Angewandt auf Systeme ohne Zwangsbedingungen verliert das d'Alembertsche Prinzip seine Vorteile gegenüber der Newtonschen Bewegungsgleichung oder dem dynamischen Gleichgewicht. Da die virtuellen Verschiebungen beliebig gewählt werden können, muss in:

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\right)={\vec {0}}}}$ der Klammerausdruck für jedes ${\displaystyle i}$ Null sein.^[9]

Dies ist die umgestellte Newtonsche Bewegungsgleichung für jede Einzelmasse bzw. in der Kontinuumsmechanik das Massenelement ${\displaystyle dm}$. Da es keine Zwangskraft gibt, ist hier die eingeprägte Kraft zugleich auch die resultierende äußere Kraft. Das d'Alembertsche Prinzip ist für diesen Spezialfall identisch mit dem zweiten Newtonschen Gesetz. In dieser Form wird diese Beziehung auch als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet. Da sich diese Beziehung direkt aus dem Impulssatz ableitet, stellt sie auch kein neues eigenständiges Axiom dar. Man sollte sich bei Beispielen dieser Art deshalb nicht auf das d'Alembertsche Prinzip berufen, wie dies in älteren Lehrbüchern zur Klassischen und Technischen Mechanik noch zu lesen ist.^[10]

Im allgemeinen Fall von Mehrkörpersystemen wird berücksichtigt, dass auch die virtuelle Arbeit der Zwangsmomente auf den virtuellen Verdrehungen verschwindet. Zur Berechnung der Zwangsmomente wird die Eulersche Gleichung verwendet.^[1]

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{N}\left(\left[m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\right]\delta {\vec {r}}_{i}^{\,T}+\left[I_{i}\,{\dot {\vec {\omega }}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times I_{i}\,{\vec {\omega }}_{i}-{\vec {M}}_{i}^{e}\right]\delta {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}\right)=0}.}$

mit

${\displaystyle I_{i}}$ Trägheitstensor des Körpers i

${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}_{i}}$ Winkelbeschleunigung des Körpers i

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i}}$ Winkelgeschwindigkeit des Körpers i

${\displaystyle {\vec {M}}_{i}^{e}}$ eingeprägtes Moment auf den Körper i

${\displaystyle \delta {\vec {\varphi }}_{i}}$ virtuelle Verdrehung des Körpers i.

Bei N Körpern und k Bindungen ergeben sich ${\displaystyle f=6\,N-k}$ Freiheitsgrade.

Die virtuellen Verschiebungen bzw. Verdrehungen erhält man aus den partiellen Ableitungen der translatorischen bzw. rotatorischen Lagekoordinaten nach den verallgemeinerten Koordinaten. Diese partiellen Ableitungen können auch bei komplizierten räumlichen Mechanismen bei der kinematischen Analyse numerisch bestimmt werden:

${\displaystyle \delta {{\vec {r}}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}\,}$

${\displaystyle \delta {{\vec {\varphi }}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}}$

Die Beschleunigungen lassen sich in einen Teil, der nur von den zweiten Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten abhängt, und einen Restterm zerlegen:

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,{\ddot {q}}_{j}+{\vec {a}}_{i}^{\,*}}$ und

${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}_{i}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{j}}}\,{\ddot {q}}_{j}+{\vec {\alpha }}_{i}^{\,*}}$.

Damit lässt sich das Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung in Matrixform darstellen.

${\displaystyle \mathbf {M} \,{\ddot {\vec {q}}}={\vec {F}}^{*}+{\vec {M}}^{*}}$

Dabei sind:

${\displaystyle \mathbf {M} }$ die f × f Massenmatrix

${\displaystyle {\vec {F}}^{*}}$ der Vektor der verallgemeinerten Kräfte

${\displaystyle {\vec {M}}^{*}}$ der Vektor der verallgemeinerten Momente

Die Elemente der Massenmatrix berechnen sich zu:

${\displaystyle M_{m,n}=\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}\,{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{n}}}+{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\cdot I_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{n}}}\right)}$

Für die Komponenten verallgemeinerten Kräfte bzw. Momente ergibt sich:

${\displaystyle F_{m}^{*}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\left[{\vec {F}}_{i}^{e}-m_{i}\,{\vec {a}}_{i}^{\,*}\right]\right)}$

${\displaystyle M_{m}^{*}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\left[{\vec {M}}_{i}^{e}-I_{i}\,{\vec {\alpha }}_{i}^{\,*}-{\vec {\omega }}_{i}\times I_{i}\,{\vec {\omega }}_{i}\right]\right)}$

Die Berechnung der Massenmatrix sowie der verallgemeinerten Kräfte und Momente kann numerisch im Rechner durchgeführt werden. Das Differentialgleichungssystem kann ebenfalls numerisch mit gängigen Programmen gelöst werden. Die Behandlung großer Mehrkörpersysteme mit kinematischen Bindungen, wie sie z. B. bei räumlichen Mechanismen von Radaufhängungen auftreten, wird so erst möglich.

Beim ebenen Fadenpendel mit der Masse ${\displaystyle m}$ wird der Winkel ${\displaystyle \varphi }$, mit dem der Faden aus der Ruheposition ausgelenkt ist, als Freiheitsgrad gewählt. Die konstante Fadenlänge ${\displaystyle l}$ stellt eine holonome Zwangsbedingung dar, welche die Masse auf eine kreisförmige Bahn zwingt. Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Kreisbewegung können in Abhängigkeit des Winkels ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{bmatrix}l\sin {\varphi }\\-l\cos {\varphi }\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,{\dot {\varphi }}={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}{\dot {\varphi }}={\vec {\tilde {v}}}{\dot {\varphi }}}$

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}={\vec {\tilde {v}}}{\ddot {\varphi }}-{\vec {r}}{\dot {\varphi }}^{2}}$

Die virtuelle Verschiebung ergibt sich zu:

${\displaystyle \delta {\vec {r}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,\delta \varphi ={\vec {\tilde {v}}}\delta \varphi }$

Als eingeprägte Kraft wirkt die Gewichtskraft:

${\displaystyle {\vec {G}}={\begin{bmatrix}0\\-m\,g\end{bmatrix}}}$

Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus der Bedingung, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskraft ${\displaystyle m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}}$ die in Seilrichtung wirkt, verschwindet.

${\displaystyle \left(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0\Rightarrow \left(m({\vec {\tilde {v}}}{\ddot {\varphi }}-{\vec {r}}{\dot {\varphi }}^{2})-{\vec {G}}\right)\cdot {\vec {\tilde {v}}}\delta \varphi =0.}$

Da die virtuelle Verdrehung beliebig ist, gilt:

${\displaystyle \left(m({\vec {\tilde {v}}}{\ddot {\varphi }}-{\vec {r}}{\dot {\varphi }}^{2})-{\vec {G}}\right)\cdot {\vec {\tilde {v}}}=0.}$

Durch Auswertung der Skalarprodukte erhält man schließlich (${\displaystyle {\vec {\tilde {v}}}\cdot {\vec {\tilde {v}}}=l^{2}}$, ${\displaystyle {\vec {r}}\perp {\vec {\tilde {v}}})}$:

${\displaystyle m\,l^{2}\,{\ddot {\varphi }}=-m\,g\,l\,\sin \varphi }$

Diese Gleichung kann auch als Drallsatz interpretiert werden mit dem Trägheitsmoment ${\displaystyle \theta =m\,l^{2}}$ und dem Rückstellmoment ${\displaystyle M=-m\,g\,l\,\sin \varphi }$.

Aufgelöst nach der Winkelbeschleunigung erhält man die bekannte Differentialgleichung:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\,\sin \varphi }$.

Die Vorgehensweise erscheint bei diesem einfachen Beispiel sehr umständlich, denn durch den Ansatz z. B. über den Drallsatz wäre man zum selben Ergebnis gelangt. Bei großen Mehrkörpersystemen ist dies nicht so leicht möglich. Da aber nur Skalarprodukte ausgewertet werden müssen, kann dies bei solchen Systemen automatisiert werden und numerisch im Rechner durchgeführt werden. Dies erleichtert die Aufstellung von Bewegungsgleichungen wesentlich.

Wenn die Drehachse fest bleibt und somit keine Reaktionen an der Achse auftreten, so wirkt auf einen starren ausgedehnten Körper das Drehmoment der Größe

${\displaystyle {\vec {M}}=I\ {\dot {\vec {\omega }}}=\int {\vec {r}}_{\perp }^{2}dm\,\cdot {\dot {\vec {\omega }}}}$    (Grundgleichung der Drehbewegung).

Hierbei ist ${\displaystyle {\vec {\dot {\omega }}}}$ die Winkelbeschleunigung des starren Körpers durch die Kraftwirkung und ${\displaystyle I=\int {\vec {r}}_{\perp }\!^{2}\ dm}$ das Massenträgheitsmoment des Körpers und ${\displaystyle {\vec {r}}_{\perp }}$ der zur Rotationsachse ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Anteil von ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (siehe auch nebenstehende Abbildung). Da wir zur weiteren Vereinfachung nur die x-y-Ebene des Körpers betrachten und den Ursprung O in die Drehachse legen, fällt ${\displaystyle {\vec {r}}_{\perp }}$ hierbei mit ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zusammen (d. h. ${\displaystyle {\vec {r}}\perp {\vec {\omega }}}$).

Herleitung der Grundgleichung aus dem d’Alembertschen Prinzip:

Man greife zunächst ein beliebiges Massenelement dm des Körpers heraus, auf das die eingeprägte Kraft ${\displaystyle d{\vec {F}}^{e}}$ einwirke und die Rotation um die Achse verursacht. Die Zwangskraft ${\displaystyle d{\vec {F}}_{r}}$ hält das Massenelement auf der Kreisbahn. Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet:

${\displaystyle dm\cdot {\ddot {\vec {r}}}=d{\vec {F}}^{e}+d{\vec {F}}_{r}}$.

Umgestellt nach der Zwangskraft:

${\displaystyle d{\vec {F}}_{r}=dm\cdot {\ddot {\vec {r}}}-d{\vec {F}}^{e}}$.

Die Zwangskraft verrichtet keine virtuelle Arbeit: ${\displaystyle d{\vec {F}}_{r}\cdot \delta {\vec {r}}=0}$. Sie steht senkrecht zu der mit den Zwangsbedingungen verträglichen virtuellen Verschiebung: ${\displaystyle d{\vec {F}}_{r}\perp \delta {\vec {r}}}$.

Äquivalent dazu bildet man also den Ausdruck

${\displaystyle {\left(dm\cdot {\ddot {\vec {r}}}-d{\vec {F}}^{e}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}}$,

mit ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=r\,{\dot {\omega }}\cdot {\vec {t}}-\omega ^{2}\cdot {\vec {r}}}$. Dabei ist ${\displaystyle {\vec {t}}}$ der Einheitsvektor in tangentialer Richtung. Der Term ${\displaystyle -\omega ^{2}\cdot {\vec {r}}}$ steht senkrecht zu den virtuellen Verschiebungen. Als Gleichung folgt daraus, aufintegriert für alle (infinitesimal kleinen) Massenelemente des starren Körpers:

${\displaystyle {\int \left(dm\,(r\,{\dot {\omega }}{\vec {t}}-\omega ^{2}\cdot {\vec {r}})-d{\vec {F}}^{e}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}}$.

Wegen der rein geometrischen Beziehungen ${\displaystyle \delta {\vec {r}}=r\,\delta \phi \,{\vec {t}}}$ folgt:

${\displaystyle {\int \left(dm\,r^{2}\,{\dot {\omega }}-d{\vec {F}}^{e}\cdot {\vec {t}}r\,\right)\cdot \delta \phi =0}}$.

Mit ${\displaystyle dM=d{\vec {F}}^{e}\cdot {\vec {t}}\cdot r}$ folgt

${\displaystyle {\left({\dot {\omega }}\int \,r^{2}\,dm-M\right)\cdot \delta \phi =\left(I\,{\dot {\omega }}-M\right)\cdot \delta \phi =0}}$.

Und da ${\displaystyle \delta \phi }$ beliebig ist, folgt die Grundgleichung der Drehbewegung ${\displaystyle I\cdot {\dot {\omega }}=M}$.

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. VCH. 3. Auflage, Weinheim 2006.
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. VCH, 5. Auflage 1997, ISBN 3-527-29269-1.
• Georg Hamel: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Heidelberg, Berlin, New York 1967.
• Werner Schiehlen: Technische Dynamik. Teubner Studienbücher, Stuttgart, 1986.
• Craig Fraser: D’Alembert’s Principle: The Original Formulation and Application in Jean D'Alembert's Traité de Dynamique (1743). Teil 1,2, Centaurus, Band 28, 1985, S. 31–61, 145–159.
• István Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. 5. Auflage. Berlin, Göttingen, Heidelberg 1961.

1. ↑ Infinitesimale Verschiebungen heißen virtuell, wenn sie mit den Zwangsbedingungen verträglich sind. Außerdem sollen sie unmittelbar (oder instantan, zu einer festen Zeit) erfolgen.

1. ↑ ^{a b c} Werner Schiehlen: Technische Dynamik: Eine Einführung in die analytische Mechanik und ihre technischen Anwendungen. Teubner, 1986, S. 87–88 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Bemerkenswert, aber häufig übersehen, ist die Tatsache, dass im D'Alembertschen Prinzip die eingeprägten und nicht die äußeren Kräfte erscheinen. Das D'Alembertsche Prinzip erlaubt deshalb - entsprechend dem Prinzip der virtuellen Arbeit - die Aufstellung von Bewegungsgleichungen ohne direkte Berücksichtigung der Reaktionskräfte.“ 
2. ↑ ^{a b} Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik: Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 7. Auflage. Springer Vieweg, 2013, ISBN 978-3-8348-2235-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
3. ↑ Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. Hanser 2007, S. 34.
4. ↑ Istvan Szabo: Geschichte der Mechanischen Prinzipien. Springer-Verlag, 1987, S. 40. Die geistige Tat eines bedeutenden Mannes wird zu einer Gleichungsumstellung degradiert. (Fußnote). Mit derselben Berechtigung könnte man sagen: sin(alpha)/sin(beta)=a/b ist in der Form sin(alpha)/sin(beta)-a/b=0 ein neuer geometrischer Satz!
5. ↑ Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik. 10. Auflage. Band 3 Kinetik. Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, S. 191 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Wir schreiben nun ${\displaystyle F-ma=0}$ und fassen das negative Produkt aus der Masse ${\displaystyle m}$ und der Beschleunigung ${\displaystyle a}$ formal als eine Kraft auf, die wir […] D'Alembertsche Trägheitskraft ${\displaystyle F_{T}}$ nennen: ${\displaystyle F_{T}=-ma}$. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“ 
6. ↑ Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7, S. 88–110 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „The addition of the force of inertia I to the acting force F changes the problem of motion to problem of equilibrium.“ 
7. ↑ Hamel Theoretische Mechanik, Springer 1967, S. 220.
8. ↑ Armin Wachter, Henning Hoeber: Repetitorium Theoretische Physik. Springer, 2013, ISBN 978-3-540-62989-4, S. 31 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Im Allgemeinen folgt das d'Alembertsche Prinzip nicht aus den Newtonschen Gesetzen, sondern kann als weiteres Axiom der klassischen Mechanik angesehen werden. Auf ihm baut der Lagrangesche Formalismus auf.“ 
9. ↑ Kurt Magnus, H. H. Müller-Slany: Grundlagen der Technischen Mechanik. 7. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 3-8351-0007-6, S. 258 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
10. ↑ Georg Hamel: Elementare Mechanik. Leipzig, Berlin 1912, Kap. VII, §37, S. 301–302 (Hamel verwendet das dynamische Gleichgewicht. „Diese Gleichung, die eigentlich keine andere als die Newtonsche Grundgleichung ist, heiße in dieser Form der D'Alembertsche Ansatz.“Textarchiv – Internet Archive).