„Mathematische Modellierung der Epidemiologie“ – Versionsunterschied

Die meisten Infektionskrankheiten können mathematisch modelliert werden, um ihr epidemiologisches Verhalten zu untersuchen oder zu prognostizieren. Mittels einiger Grundannahmen lassen sich Parameter für verschiedene Infektionskrankheiten finden, mit denen sich beispielsweise Kalkulationen über die Auswirkung von Impfprogrammen aufstellen lassen.

Die Basisreproduktionszahl ${\displaystyle R_{0}}$ ist die Anzahl der Sekundärfälle, die ein Infizierter während der Generationszeit in einer homogen durchmischten Population durchschnittlich ansteckt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass in der Population noch keine Immunität existiert. Sobald ein Teil der Bevölkerung entweder durch überstandener Krankheit oder durch Impfung immun ist, gilt die effektive Reproduktionszahl R.

Der Umfang der Bevölkerung wird durch das Symbol ${\displaystyle N}$ erfasst. Die Zahl ${\displaystyle S}$, von englisch susceptibles, beziffert die Anzahl der Anfälligen, womit die nicht-immune Bevölkerung gemeint ist. Entsprechend ist ${\displaystyle s}$ der Anteil relativ zur Gesamtbevölkerung, so dass ${\displaystyle s=S/N}$ ist. Dies ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Vom Robert Koch-Institut wird während der Corona-Pandemie täglich die Zahl der neu und der insgesamt Infizierten in Deutschland mitgeteilt. Dabei handelt es sich, genauer gesagt, um die positiv Getesteten. Davon ist die Zahl der Infektiösen, auch als aktive Infizierte bezeichnet, zu unterscheiden, die in den mathematischen Modellen beispielsweise durch das Symbol ${\displaystyle I}$ dargestellt wird. Das ist der Teil der Infizierten, die ansteckend sind englisch (infectious hosts, invectives). Teil man diese Zahl durch ${\displaystyle N}$, so erhält man den Anteil der Infektiösen an der Gesamtbevölkerung: ${\displaystyle i=I/N}$.

Da der Effizienz-Faktor E von Impfungen nie 1 ist, Impfungen also nicht in jedem Fall zu Immunität führen und/oder die Immunisierung mit der Zeit abnehmen kann, ist in einer Population die Quote der nicht Immunisierten stets höher als die Quote der nicht Geimpften.

${\displaystyle A}$ kennzeichnet das durchschnittliche Alter, in dem eine Population von der Krankheit betroffen wird.

${\displaystyle L}$ (von englisch Life expectancy) kennzeichnet die durchschnittliche Lebenserwartung in der Bevölkerung.

• Es wird von einer rechteckigen Alterspyramide ausgegangen, wie sie typischerweise in entwickelten Ländern mit geringer Kindersterblichkeit und häufigem Erreichen der Lebenserwartung zu finden ist.
• Es wird eine homogene Mischung der Bevölkerung vorausgesetzt. Das heißt, dass die untersuchten Individuen Kontakte zufällig knüpfen und sich nicht überwiegend auf eine kleinere Gruppe beschränken. Diese Voraussetzung ist selten gerechtfertigt, sie ist jedoch zur Vereinfachung der Mathematik notwendig.

Eine Infektionskrankheit ist endemisch, wenn sie fortwährend ohne externe Einflüsse innerhalb einer Population existiert. Das bedeutet, dass im Mittel jede erkrankte Person genau eine weitere infiziert. Wäre dieser Wert geringer, würde die Krankheit aussterben, wäre er größer, würde sie sich aufgrund exponentiellen Wachstums zu einer Epidemie entwickeln. Mathematisch betrachtet heißt das:

${\displaystyle R_{0}\cdot s=1}$

Damit eine Krankheit mit hoher Basisreproduktionszahl (unter Annahme nicht vorhandener Immunität) endemisch bleibt, muss daher zwangsläufig die Anzahl der tatsächlich Anfälligen gering sein.

Mit der oben getroffenen Voraussetzung über die Alterspyramide lässt sich annehmen, dass jedes Individuum der Population exakt die Lebenserwartung ${\displaystyle L}$ erreicht und dann stirbt. Wenn das durchschnittliche Alter der Infektion ${\displaystyle A}$ ist, sind im Mittel jüngere Individuen anfällig, während ältere Individuen bereits durch vorherige Infektion immunisiert wurden (oder noch immer infektiös sind). Folglich ist der Anteil der für die Krankheit Anfälligen:

${\displaystyle s={\frac {A}{L}}}$

Im endemischen Fall gilt jedoch auch:

${\displaystyle s={\frac {1}{R_{0}}}}$

Damit gilt

${\displaystyle {\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\;\iff \;R_{0}={\frac {L}{A}}}$,

was eine Abschätzung der Basisreproduktionszahl durch leicht ermittelbare Daten ermöglicht.

Für eine Bevölkerung mit exponentieller Alterspyramide zeigt sich, dass

${\displaystyle R_{0}=1+{\frac {L}{A}}}$.

Die hierbei verwendete Mathematik ist komplexer und somit außerhalb des Rahmens dieser Betrachtung.

Wenn der immunisierte Anteil der Bevölkerung oberhalb des für Herdenimmunität notwendigen Grades liegt, kann eine Krankheit nicht in endemischem Zustand innerhalb dieser Population verbleiben. Ein Beispiel für einen weltweiten Erfolg auf diesem Wege ist die Ausrottung der Pocken, deren letzter Fall 1977 in Somalia dokumentiert wurde. Derzeit betreibt die WHO eine ähnliche Impfstrategie zur Ausrottung von Polio.

Der Grad der Kollektivimmunität wird als ${\displaystyle q}$ bezeichnet. Da für einen endemischen Zustand

${\displaystyle R_{0}\cdot s=1}$

erfüllt sein muss, ist ${\displaystyle s=1-q}$, denn ${\displaystyle q}$ ist der immune Anteil der Bevölkerung und ${\displaystyle q+s=1}$ (da in diesem vereinfachten Modell jedes Individuum entweder anfällig oder immun ist). Dann gilt:

${\displaystyle R_{0}\cdot (1-q)=1\;\iff \;1-q={\frac {1}{R_{0}}}\;\iff \;q=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

Dies ist der Schwellenwert der Kollektivimmunität; dieser muss übertroffen werden, damit die Krankheit ausstirbt. Der hier kalkulierte Wert ist die kritische Immunisierungsschwelle ${\displaystyle q_{\text{c}}}$. Es ist der minimale Anteil der Bevölkerung, der zur Geburt (oder kurz danach) durch Impfung immunisiert werden muss, damit die Krankheit in der gegebenen Population ausstirbt. Da Impfungen nicht in jedem Fall zu Immunität führen und/oder die Immunisierung mit der Zeit abnehmen kann, muss in einer Population ein größerer Anteil geimpft werden („Durchimpfung“), als der erstrebte Anteil der Immunität beträgt.

Sind verwendete Seren nicht hinreichend effektiv oder können nicht auf hinreichend breiter Front angewendet werden, beispielsweise aufgrund gesellschaftlichen Widerstands (siehe beispielsweise MMR-Impfstoff), so ist das Impfprogramm nicht in der Lage, ${\displaystyle q_{\text{c}}}$ zu übertreffen. Dennoch kann ein solches Programm die Infektionsbalance stören und dabei unvorhergesehene Probleme verursachen.

Angenommen, der bei Geburt immunisierte Anteil der Bevölkerung betrage ${\displaystyle q}$ (wobei ${\displaystyle q<q_{\text{c}}}$) und die Krankheit habe die Basisreproduktionszahl ${\displaystyle R_{0}>1}$. Dann verändert das Impfprogramm ${\displaystyle R_{0}}$ zu ${\displaystyle R_{q}}$, wobei

${\displaystyle R_{q}:=R_{0}\cdot (1-q)}$.

Diese Änderung findet aufgrund der gesunkenen Anzahl an potentiell Anfälligen statt. ${\displaystyle R_{q}}$ ist nichts Anderes als ${\displaystyle R_{0}}$ ohne diejenigen Individuen, welche unter normalen Umständen infiziert würden, aber aufgrund der Impfung nicht werden.

Aufgrund dieser gesunkenen Basisreproduktionszahl verändert sich auch das durchschnittliche Alter ${\displaystyle A}$, unter den nicht Geimpften, auf einen Wert ${\displaystyle A_{q}}$.

Nach obiger Relation, welche ${\displaystyle R_{0}}$, ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle L}$ verband, gilt (unter Annahme gleichbleibender Lebenserwartung):

${\displaystyle R_{q}={\frac {L}{A_{q}}}\;\iff \;A_{q}={\frac {L}{R_{q}}}={\frac {L}{R_{0}\cdot (1-q)}}}$

Allerdings gilt ${\displaystyle R_{0}={\tfrac {L}{A}}}$, folglich:

${\displaystyle A_{q}={\frac {L}{{\frac {L}{A}}\cdot (1-q)}}={\frac {A\cdot L}{L\cdot (1-q)}}={\frac {A}{1-q}}}$

Somit erhöht das Impfprogramm das mittlere Infektionsalter. Ungeimpfte Individuen unterliegen nun durch Anwesenheit der geimpften Gruppe einer reduzierten Infektionsrate.

Dieser Effekt ist jedoch bei Krankheiten nachteilig, deren Verlauf mit steigendem Alter schwerwiegender wird. Bei einer hohen Wahrscheinlichkeit für tödliche Verläufe kann ein ${\displaystyle q_{\text{c}}}$ nicht übertreffendes Impfprogramm im Extremfall mehr Opfer unter den Ungeimpften fordern, als es ohne Impfprogramm gegeben hätte.

Überschreitet ein Impfprogramm die kritische Immunisierungsschwelle einer Population für eine signifikante Dauer, wird die Krankheit innerhalb dieser Bevölkerung gestoppt. Wird diese Eliminierung weltweit durchgeführt, führt sie ultimativ zur Ausrottung der Krankheit, wie im Beispiel der Pocken. Simulationen zeigen, dass es trotz Überschreiten der (mittleren) kritischen Immunisierungsschwelle zu weiteren Ausbrüchen kommen kann, wenn sich nicht immunisierte Personen in einem Personenkreis häufen^[1].

• SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)
• SIS-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung)
• SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
• SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
• Basisreproduktionszahl
• Dynamisches System (mathematischer Oberbegriff)

• If Smallpox Strikes Portland ..., Scientific American, März 2005 (Artikel über Simulationen zu Epidemieausbreitungen) (englisch)
• Institute for Emerging Infections der James Martin 21st Century School an der University of Oxford (englisch)
• Center for Infectious Disease Dynamics der Pennsylvania State University (englisch)

1. ↑ Emma S. McBryde: Network Structure Can Play a Role in Vaccination Thresholds and Herd Immunity: A Simulation Using a Network Mathematical Model. In: Clinical Infectious Diseases. Band 48, Nr. 5, 1. März 2009, ISSN 1058-4838, S. 685–686, doi:10.1086/597012 (oup.com [abgerufen am 3. September 2020]).