1. Satz von Kronecker über Reihenkonvergenz
2. Fixpunktsatz für ganze Funktionen
3. Konvergenzsatz von Blaschke
4. Hadamardsche Lückenreihe
5. Harnacksches Prinzip
6. Satz von Wintner-Wielandt
7. Ungleichung von Beppo Levi
8. Satz von Banach-Stone
9. Satz von Osgood (Funktionalanalysis)
10. Landau-Ramanujan-Konstante
11. Konvergenzkriterium von Pringsheim

1. Basisauswahlsatz
2. Ungleichung von Frobenius
3. Fahnensatz
4. Fahnensatz

1. Egbert Harzheim
2. David Rytz von Brugg
3. Tadahiko Kubota
4. Klaus Wagner (Mathematiker) (Überarbeitung mit wesentlichen Ergänzungen)
5. Tibor Szele
6. István Fáry
7. Ottó Varga
8. János Surányi
9. Leonid Mirsky
10. Mordchaj Wajsberg
11. Eustachio Zanotti
12. Ignazio Calandrelli
13. Charles Étienne Louis Camus
14. Sezawa Katsutada
15. Pedro Ciruelo
16. João Baptista Lavanha
17. Eduard Batschelet
18. Kawaguchi Akitsugu

1. Satz von Dilworth (Vollständige Überarbeitung)
2. Satz von Sperner
3. Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung

[1] liefert einen Bestätigung der dazu von Paul Erdös vorgelegten Vermutung !

Literatur: Lexikon der Mathematik, Bd. 3, S. 212

Graded poset (engl. Wikipedia)

Elemente der Mathematik

In der Geometrie versteht man unter einem Schließungssatz einen Lehrsatz, welcher aufgrund gewisser Annahmen über Inzidenzen oder Parallelitäten das Sich-Schließen einer geometrischen Figur behauptet.

1. Satz von Ceva
2. Satz von Desargues
3. Satz von Gauß über das vollständige Vierseit
4. Satz von Menelaos
5. Satz von Pappos-Pascal
6. Schließungssatz von Poncelet
7. Kreiskettensatz von Steiner

• Hermann Athen - Jörn Bruhn [Hrsg.]: Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4 - S bis Z. Aulis Verlag, Köln 1978, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie. 3., durchgesehene Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim [u.a.] 1978, ISBN 3-411-01549-7. 

....

KK references /LL

XXKategorie:Geometrie]]

Der Satz von Kneser ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den Teilgebieten der Kombinatorik, der Zahlentheorie und der Theorie der abelschen Gruppen liegt. Der Satz geht auf den deutschen Mathematiker Martin Kneser zurück und formuliert eine Ungleichung, mit welcher sich die Mächtigkeit von Summemengen abelscher Gruppen abschätzen lassen.

Der Satz lautet in moderner Formulierung wie folgt:^[1][2]

Gegeben seien eine abelsche Gruppe   ${\displaystyle G\neq \{0\}}$   .

In   ${\displaystyle G\neq \{0\}}$   seien zwei Teilmengen   ${\displaystyle A\neq \emptyset }$   und   ${\displaystyle B\neq \emptyset }$   ; welche der folgenden Zusatzbedingung genügen:

  ${\displaystyle |A|+|B|\leq |G|}$

Sei ferner   ${\displaystyle U=G_{A+B}<G}$   die Stabilisatoruntergruppe von   ${\displaystyle A+B}$   bzgl. der zugrundeliegenden Additionsoperation.

Dann gilt:

  ${\displaystyle |A+B|\geq |A+U|+|B+U|-|U|\geq |A|+|B|-|U|}$   .

• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). Springer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17363-9.  MR2865719
• Martin Kneser: Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen. In: Math. Z. Band 58, 1953, S. 459–484.  MR0056632
• Terence Tao - Van H. Vu: Additive Combinatorics (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 105). Cambridge University Press, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-0-521-13656-3.  MR2573797

Kreferences />

KKKategorie:Kombinatorik]] KKKategorie:Zahlentheorie]] KKKategorie:Gruppentheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kneser, Satz von]]

Unter Voaraussetzung des Auswahlaxioms gilt für Mengen ${\displaystyle X,I,J_{i}(i\in I),A_{ij}\subseteq X(i\in I,j\in J_{i})}$^[3] und bei Setzung von ${\displaystyle \bigcap _{{ij}\in \emptyset }A_{ij}=X}$:

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcup _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\bigcap _{i\in I}{A_{if(i)}}}}$

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\bigcap _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcap _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\bigcup _{i\in I}{A_{if(i)}}}}$

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcup _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\prod _{i\in I}{A_{if(i)}}}}$.

• Robert L. Vaught: Set Theory. An Introduction. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Boston [u.a.] 1995, ISBN 0-8176-3697-8. 

.... In modularen Verbänden Eindeutigkeit der Darstellung der 1 (=MAXIMUM) als Vereinigung vereinigungsirreduzibler Elemente inkl. Austauscheigenschaft).... ^[4]

.... nach Kurosch und Oystein Ore

Verwandt: Duales Theorem vom Emmy Noether.

...

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1213-1. 

Sind (P, ≤) und (Q, ≤) lokal-endliche Halbordnungen und sind die zugehörigen Inzidenzalgebren über einem Körper K isomorphe Algebren , so sind (P, ≤) und (Q, ≤) als Halbordnungen isomorph.

• [2]

Der Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme ist ein Lehrsatz aus dem Gebiet der Universelle Algebra, welcher auf den deutschen Mathematiker Jürgen Schmidt (1918–1980) zurückgeht^[5][6][7]. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Umständen ein Hüllensystem algebraisch ist, und formuliert unter Voraussetzung des Auswahlaxioms eine gleichwertige Bedingung.

Für ein Hüllensystem   ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)}$   über einer Grundmenge   ${\displaystyle S}$   ist der zugehörige Hüllenoperator   ${\displaystyle C_{\mathcal {H}}}$   auf   ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$   gegeben durch ^[8]:

${\displaystyle C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcap \{H\in {\mathcal {H}}|H\supseteq A\}}$   (${\displaystyle A\subseteq S}$).

Das Hüllensystem   ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$   und der Hüllenoperator   ${\displaystyle C_{\mathcal {H}}}$   werden algebraisch genannt, wenn folgende Endlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Ist   ${\displaystyle A\subseteq S}$   und   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(A)}$  , so existiert schon eine endliche Teilmenge   ${\displaystyle F\subseteq A}$   derart, dass   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(F)}$   .

Das bedeutet:

Es ist stets

${\displaystyle C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcup \{C_{\mathcal {H}}(F):F\subseteq A\land |F|<\infty \}}$   (${\displaystyle A\subseteq S}$).

Die Algebraizität eines Hüllensystems lässt sich gleichwertig auch wie folgt charakerisieren^[9]:

Das Hüllensystems   ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)}$   ist algebraisch dann und nur dann, wenn für jedes nichtleere, bzgl. der die Inklusionsrelation ${\displaystyle \subseteq }$ nach oben gerichtete Teilsystem   ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {H}}}$   die Vereinigungsmenge   ${\displaystyle \bigcup {G}}$   stets zu   ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$   gehört.

Ein nichtleeres Teilsystem   ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)}$  der Potenzmenge   ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$  wird induktiv genannt, wenn folgendes erfüllt ist:

Für jedes durch die Inklusionsrelation ${\displaystyle \subseteq }$ linear geordnete Teilsystem   ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {T}}}$   gehört die Vereinigungsmenge   ${\displaystyle \bigcup {K}}$   zu   ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  .

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

(1) Ein algebraisches Hüllensystem   ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$   ist stets induktiv.^[10]

(2) Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms gilt sogar, dass ein Hüllensystem   ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$   dann und nur dann algebraisch ist , wenn es induktiv ist.^[11]

Der Teil 1 des Satzes ist wegen alternativen Charakterisierung der Algebraizität unmittelbar einsichtig, da jedes durch die Inklusionsrelation linear geordnete Mengensystem stets auch nach oben gerichtet ist.

Zum Beweis von Teil 2 des Satzes ist zu zeigen, dass bei Voraussetzung des Auswahlaxioms auch die Umkehrung von Teil 1 Bestand hat. Dazu geht Jürgen Schmidt von dem folgende Hilfssatz 1 aus (zu dessen Beweis man das Auswahlaxiom benötigt):

Jede unendliche Menge ${\displaystyle A}$ ist darstellbar als Vereinigungsmenge eines durch die Inklusionsrelation ${\displaystyle \subseteq }$ linear geordneten Mengensystems von Teilmengen ${\displaystyle A^{*}\subseteq A}$ derart , dass deren Mächtigkeiten ${\displaystyle |A^{*}|}$ stets echt kleiner sind als die Mächtigkeit ${\displaystyle |A|}$ .

Nun ist für ein Teilsystem   ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)}$  stets folgende Identität richtig:

${\displaystyle C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{T\in {\mathcal {T}}}C_{\mathcal {H}}(T))=C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{T\in {\mathcal {T}}}T)}$  

Wird nun Induktivität vorausgesetzt und ist   ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)}$  ein durch die Inklusionsrelation ${\displaystyle \subseteq }$ linear geordnete Teilsystem   von  ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$  , so gilt sogar:

${\displaystyle \bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}C_{\mathcal {H}}(K)=C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}K)}$  

Ist nun also ein unendliches ${\displaystyle A\subseteq S}$ und ein   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(A)}$ gegeben, so ergibt sich in Verbindung mit Hilffsatz 1 dann sogleich der folgende Hilfssatz 2:

Für unendliches ${\displaystyle A\subseteq S}$ und   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(A)}$   existiert stets eine Teilmenge ${\displaystyle A^{*}\subseteq A}$ so, dass deren Mächtigkeit   ${\displaystyle |A^{*}|}$   echt kleiner als   ${\displaystyle |A|}$   und   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(A^{*})}$   ist.

Indem man Hilfssatz 2 iteriert anwendet - in der Durchführung kommt wieder das Auswahlaxiom zum Einsatz - und beachtet, dass jede echt fallende Folge von Mächtigkeiten nach endlich vielen Schritten abbricht, erhält man:

Ist   ${\displaystyle A\subseteq S}$   und   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(A)}$  , so existiert schon eine endliche Teilmenge   ${\displaystyle F\subseteq A}$   derart, dass   ${\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(F)}$   .

Also impliziert die Induktivität die Algebraizität, sofern dass Auswahlaxiom als gegeben vorausgesetzt werden kann.

• Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. In: Math. Nachr. Band 7, 1952, S. 165–182.  MR0047628
• Jürgen Schmidt: Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. In: Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin, Januar 1953. Band 75. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, S. 21–48. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Parameterfehler; Band= ohne Sammelwerk=

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1213-1. 
• Th. Ihringer: Allgemeine Algebra (= Teubner Studienbuch). Teubner Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02083-1. 

Heine Schopenhauer

WHO-Link

<references>

1. ↑ Jukna: S. 356 ff. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
2. ↑ Tao-Vu: S. 200 ff. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
3. ↑ Vaught: S. 21 - 22. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
4. ↑ Cohn: S. 76. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
5. ↑ Schmidt: In: Math. Nachr. Band 7, S. 172. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Kein 'Titel'
6. ↑ Schmidt: in: Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin, Januar 1953. S. 25. 
7. ↑ Cohn: S. 45, 397. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
8. ↑ Zur Begrifflichkeit vgl. auch hier
9. ↑ Ihringer: S. 37. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
10. ↑ Schmidt: In: Math. Nachr. Band 7, S. 172. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Kein 'Titel'
11. ↑ Schmidt: In: Math. Nachr. Band 7, S. 175. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Kein 'Titel'
12. ↑ Schmidt: In: Math. Nachr. Band 7, S. 174 - 175. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Kein 'Titel'
13. ↑ Johannes John: Reclams Zitaten-Lexikon. Reclam, Stuttgart 1992, ISBN 3-15-028839-8, S. 532. 
14. ↑ ^{a b} Gerhard Hellwig: Das Buch der Zitate. 15000 gefluegelte Worte von A-Z. Mosaik Verlag, München 1981, ISBN 3-570-01309-X, S. 505. 
15. ↑ Lothar Schmidt: Aphorismen von A-Z. Das große Handbuch geflügelter Definitionen. Drei Lilien Verlag, Wiesbaden 1980, S. 525.