„Biegemoment“ – Versionsunterschied
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[[File:Poutre moment flechissant et courbure.svg|mini|Bild 1: Biegung eines durch ein Biegemoment belasteten Balkens<br /> |
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[[File:Poutre moment flechissant et courbure.svg|mini|Biegung eines durch ein Biegemoment belasteten Balkenstücks<br />links: Biegung um y-Achse<br />rechts: Biegung um z-Achse]] |
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Ein [[Drehmoment]] wird als '''Biegemoment''' bezeichnet, wenn |
Ein [[Drehmoment]] wird als '''Biegemoment''' bezeichnet, wenn sich ein damit belasteter Körper [[Biegung (Mechanik)|verbiegt]]. Die im Körper auftretenden [[Mechanische Spannung|mechanischen Spannung]]en, die dem Biegemoment das Gleichgewicht halten, werden [[Biegespannung]]en genannt. |
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== Biegemoment in der Balkentheorie == |
== Biegemoment in der Balkentheorie == |
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[[Datei:Kragtraeger.png|mini|Bild 2: Zug- und Druckspannung auf Grund der Belastung eines Kragbalkens nach der Balkentheorie]] |
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In der [[Festigkeitslehre]] wird das Model der [[Balkentheorie]] zur Berechnung der Kräfte, Beschreibung des Verhalten eines Balken unter Belastung, wie seine Durchbiegung oder [[Knickung]] auf Grund der auftretenden Zug- und Druckbelastungen, verwendet. |
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Mit Hilfe der [[Balkentheorie]] wird das Verhalten eines Balken unter Belastung, vorwiegend unter der Belastung eines Biegemomentes beschrieben. |
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Jeder Bauwerk ist zu jedem Zeitpunkt in einem dynamischen Gleichgewicht, selbst im Versagensfall. |
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In der [[elastischen]] [[Biegetheorie]] wird zur Vereinfachtung der Berechnung des Gleichgewichts vollkommene Elastizität angenommen, was bedeutet das bleibende Verformungen oder ein Versagensfall im Model nicht möglich sind. |
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Bleibende Verformungen und [[Knickung]]en kommen im in der Plastizitätstheorie für Stabförmige Bauteile bzw. in der Balkentheorie II. Ordnung vor, aufgrund von duktilen Verhalten führt das nicht zwangsläufig zum Versagen. |
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== Biegemoment-Verlauf == |
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Die für [[Festigkeit]]sbetrachtungen erforderliche maximale [[Biegespannung]] in einem beliebigen Balkenquerschnitt kann durch die Gleichgewichtsannahme aus dem gegebenen Biegemoment und dem (ev. plastischen) [[Widerstandsmoment]] der Querschnittsfläche ermittelt werden. |
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[[Datei:Biegemoment Balken Mittenlast.svg|mini|Biegemomentverlauf M(x) über Balken auf zwei Lagern, Einzelkraft F: <br />max. Biegemoment an der Stelle von F]] |
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Bei der Ermittlung der Auswirkungen der Biegebeanspruchung wird vom Verlauf des Biegemoments über die Balkenlängsrichtung ausgegangen. Im Einzelnen werden die Verformung ([[Biegelinie]]) des Balkens und die dabei bestehenden mechanischen Spannungen ([[Biegespannung]]en zum Vergleich mit den zulässigen Spannungen des Balkenmaterials ermittelt. |
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== Biegemoment bei einseitig eingespannten Balken == |
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[[Datei:Beam Cantilevered Load end.png|mini|Eingespannter Balken ([[Kragbalken]]) mit einer Kraft F als [[Punktlast]] P im Abstand L]] |
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Wird durch eine [[Kraft]]einwirkung ein einseitig eingespannter Träger mittels einer '''P'''unkt- oder Streckenlast in einem bestimmten Abstand '''L''' von einem Lager in einer Ebene auf Biegung belastet, so tritt ein Biegemoment in dem Balken auf. Das Biegemoment kann mit der Formel <math>M = F\cdot L</math> berechnet werden. |
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=== an den Enden abgestützter Balken, mittige Belastung durch Einzelkraft === |
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== Biegemoment bei Trägern == |
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Das Biegement ist an den Lagerstellen Null. Bis zur Einleitungsstelle der Kraft steigt es linear auf seinen maximalen Wert an. <br /> |
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Ein Biegemoment tritt auch bei einem Träger mit zwei und mehr Lagern auf. |
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Mit Kraft = F<sub>L</SUB> = F<sub>R</SUB> = F/2 und Hebelarm = l/2 ist: |
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:<math>M_\text{max} = \text{Kraft} \cdot \text{Hebelarm} = F\cdot l/4</math>. |
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=== [[Kragträger]]: an einem Ende eingespannter Balken, Einzelkraft am freien Ende === |
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[[Datei:Beam bending.png|mini|Bild 3: Belasteter Balken mit einer Kraft F]] |
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Das Biegement ist an der Einleitungsstelle der Kraft gleich Null. Bis zur Einspannstelle steigt es linear auf seinen maximalen Wert an. Die graphische Darstellung entspricht z.B. der rechten Hälfte nebenstehender Darstellung des Verlaufs über den doppelt abgestützten Balken (rechts: nach oben wirkende Kraft F; links: Einspannstelle; Trägerlänge l).<br /> |
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Mit Kraft = F und Hebelarm = l ist: |
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Für einen mit einer Kraft F belasteten Balken auf zwei Stützen ist bei der Krafteinleitung in dessen Mitte (l/2) der Betrag des Biegemoments am größten. |
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:<math>M_\text{max} = \text{Kraft} \cdot \text{Hebelarm} = F\cdot l</math>. |
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[[Datei:Biegemoment Balken Mittenlast.svg|mini|Balken mit Mittenlast]] |
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Es beträgt maximal <math>M = F\cdot l/4</math>. Das Biegemoment im Balkenquerschnitt ist an den beiden Enden des Trägers x=0 und x=l jeweils gleich Null. |
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Zur Berechnung der inneren Momente wird das Bauteil an der interessierenden Stelle gedanklich durchgeschnitten und es werden diejenigen Momente betrachtet, die an einem Teilstück [[Schnittreaktion|in Bezug auf die Schnittstelle]] wirken. Das Biegemoment an einer Stelle <math>x</math> ist damit die Summe aller Drehmomente, die von Kräften auf ''einer'' Seite der Schnittstelle <math>x</math> verursacht werden.<ref name="Boege" /> |
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Man kann diese Untersuchung an einem beliebigen der beiden Teilstücke durchführen, da sich aus Gleichgewichtsgründen für beide Seiten entgegengesetzt gleiche Werte ergeben. |
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== Biegemoment an einem an seinen Enden gelagerten Balken == |
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Im an seinen Enden gelagerten Balken mit mittiger Einzellast (nebenstehende Zeichnung) unterliegt das linke Teilstück einem rechtsdrehenden Drehmoment (in der technischen Mechanik kurz ''Moment'' genannt), welches mit Hilfe der Auflagekraft F<sub>L</sub>=F/2 am linken [[Lager (Statik)|Lager]] beschreibbar ist. Das Moment wächst von Null am Auflager [[Linearität|linear]] bis zum Maximalwert in der Mitte. Rechts der Mitte kommt aus der belastenden Kraft F ein vom Wert Null bis zum gleichen Maximalwert am rechten Auflager linear ansteigendes, linksdrehendes Moment hinzu, so dass die Momenten-Summe vom Maximalwert in der Mitte bis Null am rechten Ende linear abnimmt.<ref>Rechts der Mitte führt die spiegelbildliche Betrachtung mit Hilfe der rechten Auflagerkraft F<sub>R</sub> über ein linksdrehendes Moment zum gleichen Ergebnis.</ref> |
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:<math> |
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M(x)=\begin{cases} |
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F/2 \cdot x & \text{(links der Mitte)} \\ |
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F/2 \cdot (l-x) & \text{(rechts der Mitte)} |
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\end{cases} |
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</math> |
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In der Mitte des Balkens (<math>x=l/2</math>) ist das Biegemoment maximal und hat den Wert: |
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: <math>M_\mathrm{max} = \frac{F \cdot l}{4}</math> |
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== Biegemoment und Biegelinie == |
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[[Datei:SimpSuppBeamPointLoad.svg|mini|120px|Bild 4: Verlauf eines Biegemoments an einem Balken mit mittiger Kraft F hier als [[Punktlast]] P dargestellt, mit dem maximalen Biegemoment M bei l/2 einschließlich des Querkraftverlauf Q und der Biegeline w]] |
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{{Hauptartikel|Biegelinie}} |
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Die Form beziehungsweise die [[Biegelinie]] <math>w(x)</math> eines [[Elastizität (Physik)|elastisch]] verbogenen Bauteiles (Balken) mit konstantem [[Querschnitt (Mechanik)|Querschnitt]], das einem Biegemoment <math>M_y(x)</math> (Index y: Biegung um die y-Achse)unterworfen ist, kann mit folgender Näherungs-Formel beschrieben werden: |
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:<math>w''(x) = -{M_y(x) \over E \cdot I_y}</math> (<math>w''</math> ist die [[Krümmung]] der Biegelinie, die in der <math>xz</math> -Ebene (Bildebene) liegt.) |
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Der [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math> ist eine Materialeigenschaft, <math>I_y</math> ist das [[Flächenträgheitsmoment#axiales Flächenträgheitsmoment|axiale Flächenträgheitsmoment]] (eine rein geometrische Größe) des Balken-Querschnitts, von dem sein Verhalten bei Biegung um die <math>y</math> -Achse abhängt. |
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Die Krümmung <math>w''</math> ist proportional zum Biegemoment <math>M_y</math>. |
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Im an seinen Enden gelagerten Balken mit mittiger Einzellast (obige Zeichnung) sind beide in der Mitte <math>(x=l/2)</math> am größten. |
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:<math>w''(x=l/2) = -{F \cdot l \over 4 \cdot E \cdot I_y}</math> |
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== Biegemoment und Biegespannung == |
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{{Hauptartikel|Biegespannung}} |
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Die durch das Biegemoment verursachte Biegespannung in einem Querschnitt eines Balkens kann wie folgt ermittelt werden: |
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: <math>\sigma_B(z) = \frac{M_y(x)}{I_y} z</math> (zusätzlich variabel in <math>z</math>-Koordinate, die im Beispiel vertikal verläuft) |
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Die Biegespannung <math>\sigma_B</math> ist gleich wie die Krümmung des schlanken Bauteils proportional zum Biegemoment <math>M_y</math>. Im Beispiel ist sie folglich auch in Balkenmitte <math>(x=l/2)</math> am größten. |
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: <math>\sigma_B(z) = \frac{M_y(x=l/2)}{I_y} z</math> |
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Die Höhe der Biegespannung spielt eine Rolle, wenn zu untersuchen ist, ob der Balken die Beanspruchung aushält, sich nicht bleibend verformt oder gar bricht. Sie ist im Balkenquerschnitt proportional zur Entfernung <math>z</math> von der [[neutrale Faser|neutralen Faser]] (in der Regel durch den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] des Querschnitts gehend). Beim maximalen <math>z_r</math>, das heißt in der oberen Randfaser (Bogeninnenseite) entsteht die größte Druck-[[Spannung (Mechanik)|Spannung]], in der untersten Randfaser (Bogenaußenseite) die größte Zug-Spannung. |
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Weil bei konstantem Balkenquerschnitt das Flächenträgheitsmoment konstant ist, lässt sich sein Quotient mit dem Abstand der Randfaser <math>z_r</math> zum konstanten [[Widerstandsmoment]] |
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:<math>W_y = I_y/z_r</math> (Index <math>y</math> kennzeichnet, dass das Widerstandsmoment für Biegung um <math>y</math>-Achse gilt) |
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zusammen fassen. Für die in der Randfaser auftretende Biegespannung gilt damit die Formel: |
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: <math>\sigma_B(z=z_r) = \frac{M_y(x)}{W_y}</math> |
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Im an seinen Enden gelagerten Balken mit mittiger Einzellast (obige Zeichnung) entsteht mit den Werten <math>x=l/2</math> und <math>M_y= F \cdot l/4</math> |
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folgende Grenz-Gleichung gegen [[Biegefestigkeit|Biege-Versagen]]: |
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: <math>\sigma_B(x=l/2)(z=z_r) = \frac{F\cdot l}{4\cdot W_y}</math> |
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== Siehe auch == |
== Siehe auch == |
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* [[Statische Berechnung]] |
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* [[Torsionsmoment]] |
* [[Torsionsmoment]] |
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== Einzelnachweise == |
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<references> |
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<ref name="Boege"> |
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{{Literatur |
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| Herausgeber= Alfred Böge |
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| Titel = Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik |
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| Verlag = Springer DE |
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| Jahr = 2011 |
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| Auflage= 20 |
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| Online = |
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{{Google Buch |
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| BuchID = sz1gGSFvZDIC |
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| Seite = SL4-PA21 |
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| Hervorhebung = "innere Biegemoment" |
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}} |
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}} |
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</ref> |
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</references> |
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[[Kategorie:Technische Mechanik]] |
[[Kategorie:Technische Mechanik]] |
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Version vom 7. März 2016, 23:23 Uhr
links: Biegung um y-Achse
rechts: Biegung um z-Achse
Ein Drehmoment wird als Biegemoment bezeichnet, wenn sich ein damit belasteter Körper verbiegt. Die im Körper auftretenden mechanischen Spannungen, die dem Biegemoment das Gleichgewicht halten, werden Biegespannungen genannt.
Biegemoment in der Balkentheorie
Mit Hilfe der Balkentheorie wird das Verhalten eines Balken unter Belastung, vorwiegend unter der Belastung eines Biegemomentes beschrieben.
Biegemoment-Verlauf
max. Biegemoment an der Stelle von F
Bei der Ermittlung der Auswirkungen der Biegebeanspruchung wird vom Verlauf des Biegemoments über die Balkenlängsrichtung ausgegangen. Im Einzelnen werden die Verformung (Biegelinie) des Balkens und die dabei bestehenden mechanischen Spannungen (Biegespannungen zum Vergleich mit den zulässigen Spannungen des Balkenmaterials ermittelt.
an den Enden abgestützter Balken, mittige Belastung durch Einzelkraft
Das Biegement ist an den Lagerstellen Null. Bis zur Einleitungsstelle der Kraft steigt es linear auf seinen maximalen Wert an.
Mit Kraft = FL = FR = F/2 und Hebelarm = l/2 ist:
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Kragträger: an einem Ende eingespannter Balken, Einzelkraft am freien Ende
Das Biegement ist an der Einleitungsstelle der Kraft gleich Null. Bis zur Einspannstelle steigt es linear auf seinen maximalen Wert an. Die graphische Darstellung entspricht z.B. der rechten Hälfte nebenstehender Darstellung des Verlaufs über den doppelt abgestützten Balken (rechts: nach oben wirkende Kraft F; links: Einspannstelle; Trägerlänge l).
Mit Kraft = F und Hebelarm = l ist:
- .
