„Kugelschicht“ – Versionsunterschied

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Vollkugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Das Volumen einer Kugelschicht ist

• ${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}+h^{2})}$,

wobei ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ die Radien der Begrenzungskreise (Basis- und Deckkreis) und ${\displaystyle h}$ die Höhe der Schicht ist. Die Mantelfläche (Kugelzone) ist

• ${\displaystyle M=2\pi rh}$

und die Oberfläche (inkl. Boden- und Deckkreis)

• ${\displaystyle O=\pi (2rh+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})}$ .

Kennt man die Daten ${\displaystyle a_{1},a_{2},h}$ der Kugelschicht, so lässt sich mit

• ${\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2}}$

der Radius der Kugel berechnen.

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei ${\displaystyle h_{1}}$ die Höhe von ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ die Höhe von ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$.

Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind ${\displaystyle V_{1}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r-h_{1}),\ V_{2}={\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r-h_{2})}$ (siehe Kugelsegment). Also ist

${\displaystyle V=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}(3(h_{1}^{2}-h_{2}^{2})r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3})}$

${\displaystyle ={\frac {\pi }{3}}(h_{1}-h_{2})(3(h_{1}+h_{2})r-(h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}))}$

Mit den Beziehungen ${\displaystyle 2rh_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2rh_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2},}$ (siehe Kugelsegment) ergibt sich

${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}(h_{1}-h_{2})\left({\frac {3}{2}}(a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}h_{2}-h_{2}^{2}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {\pi }{6}}(h_{1}-h_{2})(3(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})}$.

Da ${\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}$ ist, folgt die obige Formel: ${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}+h^{2})}$.

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

${\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\pi rh_{1}-2\pi rh_{2}=2\pi r(h_{1}-h_{2})=2\pi rh}$.

Für den Beweis der Beziehung zwischen ${\displaystyle r,a_{1},a_{2},h}$ sei ${\displaystyle d}$ der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt ${\displaystyle M}$. Dann gilt

${\displaystyle (1):\ r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2}\quad (2):\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}$.

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach ${\displaystyle d}$ auf, so erhält man ${\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}}$ und mit der Gleichung (1) folgt, du lauch.

${\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2}}$.

• Kugelsegment
• Kugelring
• Kugelausschnitt

• I. Bronstein u.a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
• L. Kusch u.a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

• Eric W. Weisstein: Spherical Segment. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Spherical zone. In: MathWorld (englisch).