„Kugelschicht“ – Versionsunterschied
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Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach <math>d</math> auf, so erhält man <math> d=\frac{a_1^2-a_2^2-h^2}{2h}</math> |
Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach <math>d</math> auf, so erhält man <math> d=\frac{a_1^2-a_2^2-h^2}{2h}</math> |
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:<math>r^2=a_1^2+\left (\frac{a_1^2-a_2^2-h^2}{2h}\right )^2</math>. |
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Version vom 20. Oktober 2015, 11:52 Uhr
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Kugel-zone.png/450px-Kugel-zone.png)
Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Vollkugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.
Das Volumen einer Kugelschicht ist
- ,
wobei die Radien der Begrenzungskreise (Basis- und Deckkreis) und die Höhe der Schicht ist. Die Mantelfläche (Kugelzone) ist
und die Oberfläche (inkl. Boden- und Deckkreis)
- .
Kennt man die Daten der Kugelschicht, so lässt sich mit
der Radius der Kugel berechnen.
Herleitung der Formeln
Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei die Höhe von und die Höhe von .
Volumen
Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind (siehe Kugelsegment). Also ist
Mit den Beziehungen (siehe Kugelsegment) ergibt sich
-
- .
Da ist, folgt die obige Formel: .
Mantelfläche
Für die Mantelfläche ergibt sich analog
- .
Beziehung der Parameter
Für den Beweis der Beziehung zwischen sei der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt . Dann gilt
- .
Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach auf, so erhält man und mit der Gleichung (1) folgt, du lauch.
- .
Siehe auch
Literatur
- I. Bronstein u.a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
- Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
- L. Kusch u.a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Spherical Segment. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Spherical zone. In: MathWorld (englisch).