Dreieckberechnung
Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen
Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene . Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen .
Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
habe die Seiten
a
=
B
C
{\displaystyle a=BC}
,
b
=
C
A
{\displaystyle b=CA}
und
c
=
A
B
{\displaystyle c=AB}
, die Winkel
α
{\displaystyle \alpha }
,
β
{\displaystyle \beta }
und
γ
{\displaystyle \gamma }
bei den Ecken
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
und
C
{\displaystyle C}
. Ferner seien
r
{\displaystyle r}
der Umkreisradius ,
ρ
{\displaystyle \rho }
der Inkreisradius und
ρ
a
{\displaystyle \rho _{a}}
,
ρ
b
{\displaystyle \rho _{b}}
und
ρ
c
{\displaystyle \rho _{c}}
die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
gegenüberliegen) des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Die Variable
s
{\displaystyle s}
steht für den halben Umfang des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
:
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
. Schließlich wird die Fläche des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
mit
F
{\displaystyle F}
bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.
Winkelsumme
α
+
β
+
γ
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
.
Formel 1:
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
r
=
a
b
c
2
F
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}}
Formel 2:
wenn
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
sin
β
=
b
a
{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{a}}}
sin
γ
=
c
a
{\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{a}}}
wenn
β
=
90
∘
{\displaystyle \beta =90^{\circ }}
sin
α
=
a
b
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{b}}}
sin
γ
=
c
b
{\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}}
wenn
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
sin
α
=
a
c
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}
sin
β
=
b
c
{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}}
Formel 1:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha }
b
2
=
c
2
+
a
2
−
2
c
a
cos
β
{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma }
Formel 2:
wenn
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
cos
β
=
c
a
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {c}{a}}}
cos
γ
=
b
a
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {b}{a}}}
wenn
β
=
90
∘
{\displaystyle \beta =90^{\circ }}
cos
α
=
c
b
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {c}{b}}}
cos
γ
=
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a}{b}}}
wenn
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}
(Satz des Pythagoras )
cos
α
=
b
c
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}
cos
β
=
a
c
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}}
Projektionssatz
a
=
b
cos
γ
+
c
cos
β
{\displaystyle a=b\,\cos \gamma +c\,\cos \beta }
b
=
c
cos
α
+
a
cos
γ
{\displaystyle b=c\,\cos \alpha +a\,\cos \gamma }
c
=
a
cos
β
+
b
cos
α
{\displaystyle c=a\,\cos \beta +b\,\cos \alpha }
b
+
c
a
=
cos
β
−
γ
2
sin
α
2
,
{\displaystyle {\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}},}
c
+
a
b
=
cos
γ
−
α
2
sin
β
2
,
{\displaystyle {\frac {c+a}{b}}={\frac {\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\sin {\frac {\beta }{2}}}},}
a
+
b
c
=
cos
α
−
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}
b
−
c
a
=
sin
β
−
γ
2
cos
α
2
,
{\displaystyle {\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}},}
c
−
a
b
=
sin
γ
−
α
2
cos
β
2
,
{\displaystyle {\frac {c-a}{b}}={\frac {\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\beta }{2}}}},}
a
−
b
c
=
sin
α
−
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}}
Formel 1:
b
+
c
b
−
c
=
tan
β
+
γ
2
tan
β
−
γ
2
=
cot
α
2
tan
β
−
γ
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}
Analoge Formeln gelten für
a
+
b
a
−
b
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}
und
a
+
c
a
−
c
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}}
:
a
+
b
a
−
b
=
tan
α
+
β
2
tan
α
−
β
2
=
cot
γ
2
tan
α
−
β
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}
a
+
c
a
−
c
=
tan
α
+
γ
2
tan
α
−
γ
2
=
cot
β
2
tan
α
−
γ
2
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}}
Formel 2:
wenn
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
tan
β
=
b
c
{\displaystyle \tan \beta ={\frac {b}{c}}}
tan
γ
=
c
b
{\displaystyle \tan \gamma ={\frac {c}{b}}}
wenn
β
=
90
∘
{\displaystyle \beta =90^{\circ }}
tan
α
=
a
c
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{c}}}
tan
γ
=
c
a
{\displaystyle \tan \gamma ={\frac {c}{a}}}
wenn
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
tan
α
=
a
b
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}}
tan
β
=
b
a
{\displaystyle \tan \beta ={\frac {b}{a}}}
Im Folgenden bedeutet
s
{\displaystyle s}
immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
, also
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
.
s
−
a
=
b
+
c
−
a
2
{\displaystyle s-a={\frac {b+c-a}{2}}}
s
−
b
=
c
+
a
−
b
2
{\displaystyle s-b={\frac {c+a-b}{2}}}
s
−
c
=
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle s-c={\frac {a+b-c}{2}}}
(
s
−
b
)
+
(
s
−
c
)
=
a
{\displaystyle \left(s-b\right)+\left(s-c\right)=a}
(
s
−
c
)
+
(
s
−
a
)
=
b
{\displaystyle \left(s-c\right)+\left(s-a\right)=b}
(
s
−
a
)
+
(
s
−
b
)
=
c
{\displaystyle \left(s-a\right)+\left(s-b\right)=c}
(
s
−
a
)
+
(
s
−
b
)
+
(
s
−
c
)
=
s
{\displaystyle \left(s-a\right)+\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=s}
sin
α
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
b
c
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{bc}}}}
sin
β
2
=
(
s
−
c
)
(
s
−
a
)
c
a
{\displaystyle \sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{ca}}}}
sin
γ
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
a
b
{\displaystyle \sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{ab}}}}
cos
α
2
=
s
(
s
−
a
)
b
c
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-a\right)}{bc}}}}
cos
β
2
=
s
(
s
−
b
)
c
a
{\displaystyle \cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)}{ca}}}}
cos
γ
2
=
s
(
s
−
c
)
a
b
{\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-c\right)}{ab}}}}
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
(
s
−
a
)
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s\left(s-a\right)}}}}
tan
β
2
=
(
s
−
c
)
(
s
−
a
)
s
(
s
−
b
)
{\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{s\left(s-b\right)}}}}
tan
γ
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
s
(
s
−
c
)
{\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{s\left(s-c\right)}}}}
s
=
4
r
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle s=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
s
−
a
=
4
r
cos
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle s-a=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}
Flächeninhalt und Umkreisradius
Der Flächeninhalt des Dreiecks
{\displaystyle }
wird hier mit
F
{\displaystyle F}
bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit
A
{\displaystyle A}
, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke
A
{\displaystyle A}
auszuschließen):
Den Umkreisradius des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
bezeichnen wir mit
r
{\displaystyle r}
.
(Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen
r
{\displaystyle r}
,
ρ
{\displaystyle \rho }
,
ρ
a
{\displaystyle \rho _{a}}
,
ρ
b
{\displaystyle \rho _{b}}
,
ρ
c
{\displaystyle \rho _{c}}
für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen
R
{\displaystyle R}
,
r
{\displaystyle r}
,
r
a
{\displaystyle r_{a}}
,
r
b
{\displaystyle r_{b}}
,
r
c
{\displaystyle r_{c}}
genannt werden.)
Heronsche Formel:
F
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle F={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}}
F
=
1
4
2
(
b
2
c
2
+
c
2
a
2
+
a
2
b
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle F={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}}
F
=
1
2
b
c
sin
α
=
1
2
c
a
sin
β
=
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
F
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
, wobei
h
a
{\displaystyle h_{a}}
,
h
b
{\displaystyle h_{b}}
und
h
c
{\displaystyle h_{c}}
die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Höhen des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
sind.
F
=
2
r
2
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle F=2r^{2}\sin \,\alpha \,\sin \,\beta \,\sin \,\gamma }
F
=
a
b
c
4
r
{\displaystyle F={\frac {abc}{4r}}}
F
=
ρ
s
=
ρ
a
(
s
−
a
)
=
ρ
b
(
s
−
b
)
=
ρ
c
(
s
−
c
)
{\displaystyle F=\rho s=\rho _{a}\left(s-a\right)=\rho _{b}\left(s-b\right)=\rho _{c}\left(s-c\right)}
F
=
ρ
ρ
a
ρ
b
ρ
c
{\displaystyle F={\sqrt {\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}}}
F
=
4
ρ
r
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle F=4\rho r\cos \,{\frac {\alpha }{2}}\,\cos \,{\frac {\beta }{2}}\,\cos \,{\frac {\gamma }{2}}}
F
=
s
2
tan
α
2
tan
β
2
tan
γ
2
{\displaystyle F=s^{2}\tan \,{\frac {\alpha }{2}}\,\tan \,{\frac {\beta }{2}}\,\tan \,{\frac {\gamma }{2}}}
Erweiterter Sinussatz:
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
r
=
a
b
c
2
F
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}}
a
=
2
r
sin
α
{\displaystyle a=2r\,\sin \alpha }
b
=
2
r
sin
β
{\displaystyle b=2r\,\sin \beta }
c
=
2
r
sin
γ
{\displaystyle c=2r\,\sin \gamma }
r
=
a
b
c
4
F
{\displaystyle r={\frac {abc}{4F}}}
In- und Ankreisradien
In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius
ρ
{\displaystyle \rho }
und die Ankreisradien
ρ
a
{\displaystyle \rho _{a}}
,
ρ
b
{\displaystyle \rho _{b}}
und
ρ
c
{\displaystyle \rho _{c}}
des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
vorkommen.
ρ
=
(
s
−
a
)
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
tan
β
2
=
(
s
−
c
)
tan
γ
2
{\displaystyle \rho =\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\tan {\frac {\beta }{2}}=\left(s-c\right)\tan {\frac {\gamma }{2}}}
ρ
=
4
r
sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
=
s
tan
α
2
tan
β
2
tan
γ
2
{\displaystyle \rho =4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}
ρ
=
r
(
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
−
1
)
{\displaystyle \rho =r\left(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)}
ρ
=
F
s
=
a
b
c
4
r
s
{\displaystyle \rho ={\frac {F}{s}}={\frac {abc}{4rs}}}
ρ
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
=
1
2
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
a
+
b
+
c
{\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
ρ
=
a
cot
β
2
+
cot
γ
2
=
b
cot
γ
2
+
cot
α
2
=
c
cot
α
2
+
cot
β
2
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {b}{\cot {\frac {\gamma }{2}}+\cot {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {c}{\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}}}}
a
⋅
b
+
b
⋅
c
+
c
⋅
a
=
s
2
+
ρ
2
+
4
⋅
ρ
⋅
r
{\displaystyle a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=s^{2}+\rho ^{2}+4\cdot \rho \cdot r}
[ 1]
Wichtige Ungleichung:
2
ρ
≤
r
{\displaystyle 2\rho \leq r}
; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
gleichseitig ist.
ρ
a
=
s
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
cot
γ
2
=
(
s
−
c
)
cot
β
2
{\displaystyle \rho _{a}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\cot {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-c\right)\cot {\frac {\beta }{2}}}
ρ
a
=
4
r
sin
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
=
(
s
−
a
)
tan
α
2
cot
β
2
cot
γ
2
{\displaystyle \rho _{a}=4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}}
ρ
a
=
r
(
−
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
+
1
)
{\displaystyle \rho _{a}=r\left(-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)}
ρ
a
=
F
s
−
a
=
a
b
c
4
r
(
s
−
a
)
{\displaystyle \rho _{a}={\frac {F}{s-a}}={\frac {abc}{4r\left(s-a\right)}}}
ρ
a
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
b
+
c
−
a
{\displaystyle \rho _{a}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s-a}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{b+c-a}}}}
Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für
ρ
a
{\displaystyle \rho _{a}}
gilt in analoger Form für
ρ
b
{\displaystyle \rho _{b}}
und
ρ
c
{\displaystyle \rho _{c}}
.
1
ρ
=
1
ρ
a
+
1
ρ
b
+
1
ρ
c
{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}}
Höhen
Die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Höhen des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
werden mit
h
a
{\displaystyle h_{a}}
,
h
b
{\displaystyle h_{b}}
und
h
c
{\displaystyle h_{c}}
bezeichnet.
h
a
=
b
sin
γ
=
c
sin
β
=
2
F
a
=
2
r
sin
β
sin
γ
=
2
r
(
cos
α
+
cos
β
cos
γ
)
{\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ={\frac {2F}{a}}=2r\sin \beta \sin \gamma =2r\left(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma \right)}
h
b
=
c
sin
α
=
a
sin
γ
=
2
F
b
=
2
r
sin
γ
sin
α
=
2
r
(
cos
β
+
cos
α
cos
γ
)
{\displaystyle h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma ={\frac {2F}{b}}=2r\sin \gamma \sin \alpha =2r\left(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma \right)}
h
c
=
a
sin
β
=
b
sin
α
=
2
F
c
=
2
r
sin
α
sin
β
=
2
r
(
cos
γ
+
cos
α
cos
β
)
{\displaystyle h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\frac {2F}{c}}=2r\sin \alpha \sin \beta =2r\left(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \right)}
h
a
=
a
cot
β
+
cot
γ
;
h
b
=
b
cot
γ
+
cot
α
;
h
c
=
c
cot
α
+
cot
β
{\displaystyle h_{a}={\frac {a}{\cot \beta +\cot \gamma }};\;\;\;\;\;h_{b}={\frac {b}{\cot \gamma +\cot \alpha }};\;\;\;\;\;h_{c}={\frac {c}{\cot \alpha +\cot \beta }}}
F
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
=
1
ρ
=
1
ρ
a
+
1
ρ
b
+
1
ρ
c
{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}}
Hat das Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
einen rechten Winkel bei
C
{\displaystyle C}
(ist also
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
), dann gilt
h
c
=
a
b
c
{\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}
h
a
=
b
{\displaystyle h_{a}=b\,}
h
b
=
a
{\displaystyle h_{b}=a\,}
Seitenhalbierende
Die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
werden
s
a
{\displaystyle s_{a}}
,
s
b
{\displaystyle s_{b}}
und
s
c
{\displaystyle s_{c}}
genannt.
s
a
=
1
2
2
b
2
+
2
c
2
−
a
2
=
1
2
b
2
+
c
2
+
2
b
c
cos
α
=
a
2
4
+
b
c
cos
α
{\displaystyle s_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+bc\cos \alpha }}}
s
b
=
1
2
2
c
2
+
2
a
2
−
b
2
=
1
2
c
2
+
a
2
+
2
c
a
cos
β
=
b
2
4
+
c
a
cos
β
{\displaystyle s_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+ca\cos \beta }}}
s
c
=
1
2
2
a
2
+
2
b
2
−
c
2
=
1
2
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
γ
=
c
2
4
+
a
b
cos
γ
{\displaystyle s_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}+ab\cos \gamma }}}
s
a
2
+
s
b
2
+
s
c
2
=
3
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}={\frac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}
Winkelhalbierende
Wir bezeichnen mit
w
α
{\displaystyle w_{\alpha }}
,
w
β
{\displaystyle w_{\beta }}
und
w
γ
{\displaystyle w_{\gamma }}
die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
w
α
=
2
b
c
cos
α
2
b
+
c
=
2
F
a
cos
β
−
γ
2
{\displaystyle w_{\alpha }={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}={\frac {2F}{a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}
w
β
=
2
c
a
cos
β
2
c
+
a
=
2
F
b
cos
γ
−
α
2
{\displaystyle w_{\beta }={\frac {2ca\cos {\frac {\beta }{2}}}{c+a}}={\frac {2F}{b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}}
w
γ
=
2
a
b
cos
γ
2
a
+
b
=
2
F
c
cos
α
−
β
2
{\displaystyle w_{\gamma }={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {2F}{c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}
Allgemeine Trigonometrie in der Ebene
Gegenseitige Darstellung
Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
(„Trigonometrischer Pythagoras “)
1
+
tan
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
{\displaystyle 1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}
1
+
cot
2
x
=
1
sin
2
x
=
csc
2
x
{\displaystyle 1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x}
(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen .)
Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:
sin
x
=
1
−
cos
2
x
{\displaystyle \sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
für
x
∈
[
0
,
π
]
=
[
0
∘
,
180
∘
]
{\displaystyle x\in \left[0,\pi \right]=[0^{\circ },180^{\circ }]}
sin
x
=
−
1
−
cos
2
x
{\displaystyle \sin x=-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
für
x
∈
[
π
,
2
π
]
=
[
180
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle x\in \left[\pi ,2\pi \right]=[180^{\circ },360^{\circ }]}
sin
x
=
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
0
,
π
2
]
∪
[
3
π
2
,
2
π
]
=
[
0
∘
,
90
∘
]
∪
[
270
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]}
sin
x
=
−
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin x=-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
π
2
,
3
π
2
]
=
[
90
∘
,
270
∘
]
{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]}
cos
x
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
für
x
∈
[
0
,
π
2
]
∪
[
3
π
2
,
2
π
]
=
[
0
∘
,
90
∘
]
∪
[
270
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]}
cos
x
=
−
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos x=-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
für
x
∈
[
π
2
,
3
π
2
]
=
[
90
∘
,
270
∘
]
{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]}
cos
x
=
1
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
0
,
π
2
]
∪
[
3
π
2
,
2
π
]
=
[
0
∘
,
90
∘
]
∪
[
270
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]}
cos
x
=
−
1
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
π
2
,
3
π
2
]
=
[
90
∘
,
270
∘
]
{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]}
tan
x
=
1
−
cos
2
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}}
für
x
∈
[
0
,
π
]
=
[
0
∘
,
180
∘
]
{\displaystyle x\in \left[0,\pi \right]=[0^{\circ },180^{\circ }]}
tan
x
=
−
1
−
cos
2
x
cos
x
{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}}
für
x
∈
[
π
,
2
π
]
=
[
180
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle x\in \left[\pi ,2\pi \right]=[180^{\circ },360^{\circ }]}
tan
x
=
sin
x
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
0
,
π
2
]
∪
[
3
π
2
,
2
π
]
=
[
0
∘
,
90
∘
]
∪
[
270
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]}
tan
x
=
−
sin
x
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
π
2
,
3
π
2
]
=
[
90
∘
,
270
∘
]
{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]}
Vorzeichen der Winkelfunktionen
sin
x
>
0
für
x
∈
]
0
∘
,
180
∘
[
{\displaystyle \sin x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },180^{\circ }\right[}
sin
x
<
0
für
x
∈
]
180
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle \sin x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]180^{\circ },360^{\circ }\right[}
cos
x
>
0
für
x
∈
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle \cos x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right]}
cos
x
<
0
für
x
∈
]
90
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle \cos x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },270^{\circ }\right[}
tan
x
>
0
für
x
∈
]
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
180
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle \tan x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]180^{\circ },270^{\circ }\right[}
tan
x
<
0
für
x
∈
]
90
∘
,
180
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle \tan x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },180^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[}
Die Vorzeichen von
cot
{\displaystyle \cot }
,
sec
{\displaystyle \sec }
und
csc
{\displaystyle \csc }
stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen
tan
{\displaystyle \tan }
,
cos
{\displaystyle \cos }
bzw.
sin
{\displaystyle \sin }
.
Wichtige Funktionswerte
α
{\displaystyle \alpha }
(°)
α
{\displaystyle \alpha }
(rad)
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
tan
α
{\displaystyle \tan \alpha }
cot
α
{\displaystyle \cot \alpha }
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle \,0}
0
{\displaystyle \,0}
1
{\displaystyle \,1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
15
∘
{\displaystyle 15^{\circ }}
π
12
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
18
∘
{\displaystyle 18^{\circ }}
π
10
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π
6
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
1
2
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
36
∘
{\displaystyle 36^{\circ }}
π
5
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
1
4
(
1
+
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π
4
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
{\displaystyle 1\,}
1
{\displaystyle 1\,}
54
∘
{\displaystyle 54^{\circ }}
3
π
10
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}
1
4
(
1
+
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π
3
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}
1
2
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
72
∘
{\displaystyle 72^{\circ }}
2
π
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
75
∘
{\displaystyle 75^{\circ }}
5
π
12
{\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
1
{\displaystyle \,1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
0
{\displaystyle \,0}
108
∘
{\displaystyle 108^{\circ }}
3
π
5
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{5}}}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
1
4
(
1
−
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}
−
5
+
2
5
{\displaystyle -{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
−
1
5
25
−
10
5
{\displaystyle -{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
120
∘
{\displaystyle 120^{\circ }}
2
π
3
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}
1
2
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
−
1
3
3
{\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
135
∘
{\displaystyle 135^{\circ }}
3
π
4
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{4}}}
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
−
1
2
2
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
−
1
{\displaystyle -1\,}
−
1
{\displaystyle -1\,}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
π
{\displaystyle \pi \,}
0
{\displaystyle \,0}
−
1
{\displaystyle \,-1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
270
∘
{\displaystyle 270^{\circ }}
3
π
2
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}
−
1
{\displaystyle \,-1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
0
{\displaystyle \,0}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
0
{\displaystyle \,0}
1
{\displaystyle \,1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Weblink: weitere Werte
Symmetrien
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x\;}
cos
(
−
x
)
=
+
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)=+\cos x\;}
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan x\;}
cot
(
−
x
)
=
−
cot
x
{\displaystyle \cot(-x)=-\cot x\;}
sec
(
−
x
)
=
+
sec
x
{\displaystyle \sec(-x)=+\sec x\;}
csc
(
−
x
)
=
−
csc
x
{\displaystyle \csc(-x)=-\csc x\;}
Phasenverschiebungen
sin
(
x
+
π
2
)
=
cos
x
bzw.
sin
(
x
+
90
∘
)
=
cos
x
{\displaystyle \sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \sin \left(x+90^{\circ }\right)=\cos x\;}
cos
(
x
+
π
2
)
=
−
sin
x
bzw.
cos
(
x
+
90
∘
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cos \left(x+90^{\circ }\right)=-\sin x\;}
tan
(
x
+
π
2
)
=
−
cot
x
bzw.
tan
(
x
+
90
∘
)
=
−
cot
x
{\displaystyle \tan \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cot x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \tan \left(x+90^{\circ }\right)=-\cot x\;}
cot
(
x
+
π
2
)
=
−
tan
x
bzw.
cot
(
x
+
90
∘
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \cot \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cot \left(x+90^{\circ }\right)=-\tan x\;}
Rückführung auf spitze Winkel
sin
x
=
sin
(
π
−
x
)
bzw.
sin
x
=
sin
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \sin x\ \;=\;\;\;\sin \left(\pi -x\right)\,\quad {\text{bzw.}}\quad \sin x\ =\;\;\;\sin \left(180^{\circ }-x\right)}
cos
x
=
−
cos
(
π
−
x
)
bzw.
cos
x
=
−
cos
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \cos x\ \,=-\cos \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \cos x\ =-\cos \left(180^{\circ }-x\right)}
tan
x
=
−
tan
(
π
−
x
)
bzw.
tan
x
=
−
tan
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \tan x\ =-\tan \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \tan x\ =-\tan \left(180^{\circ }-x\right)}
Darstellung durch den Tangens des halben Winkels
Mit der Bezeichnung
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}
gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges
x
{\displaystyle x}
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
,
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},}
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
{\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}
tan
x
=
2
t
1
−
t
2
,
{\displaystyle \tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}},}
cot
x
=
1
−
t
2
2
t
,
{\displaystyle \cot x={\frac {1-t^{2}}{2t}},}
sec
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
{\displaystyle \sec x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}
csc
x
=
1
+
t
2
2
t
.
{\displaystyle \csc x={\frac {1+t^{2}}{2t}}.}
Additionstheoreme
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\;\cos y\pm \cos x\;\sin y}
[ 2]
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y}
[ 2]
tan
(
x
±
y
)
=
tan
x
±
tan
y
1
∓
tan
x
tan
y
=
sin
(
x
±
y
)
cos
(
x
±
y
)
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\;\tan y}}={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}}}
cot
(
x
±
y
)
=
cot
x
cot
y
∓
1
cot
y
±
cot
x
=
cos
(
x
±
y
)
sin
(
x
±
y
)
{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}={\frac {\cos(x\pm y)}{\sin(x\pm y)}}}
Für
x
=
y
{\displaystyle x=y}
folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen , für
y
=
π
/
2
{\displaystyle y=\pi /2}
die Phasenverschiebungen .
sin
(
x
+
y
)
⋅
sin
(
x
−
y
)
=
cos
2
y
−
cos
2
x
=
sin
2
x
−
sin
2
y
{\displaystyle \sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x-\sin ^{2}y}
cos
(
x
+
y
)
⋅
cos
(
x
−
y
)
=
cos
2
y
−
sin
2
x
=
cos
2
y
+
cos
2
x
−
1
=
1
−
sin
2
x
−
sin
2
y
{\displaystyle \cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x=\cos ^{2}y+\cos ^{2}x-1=1-\sin ^{2}x-\sin ^{2}y}
Additionstheoreme für Arkusfunktionen
Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme[ 3]
Summanden
Summenformel
Gültigkeitsbereich
arcsin
x
+
arcsin
y
=
{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=}
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
y
≤
0
{\displaystyle xy\leq 0}
oder
x
2
+
y
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
π
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
y
>
0
{\displaystyle y>0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
−
π
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle -\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
y
<
0
{\displaystyle y<0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
arcsin
x
−
arcsin
y
=
{\displaystyle \arcsin x-\arcsin y=}
arcsin
(
x
1
−
y
2
−
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
y
≥
0
{\displaystyle xy\geq 0}
oder
x
2
+
y
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
π
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
−
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
y
<
0
{\displaystyle y<0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
−
π
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
−
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle -\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
y
>
0
{\displaystyle y>0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
arccos
x
+
arccos
y
=
{\displaystyle \arccos x+\arccos y=}
arccos
(
x
y
−
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle \arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
+
y
≥
0
{\displaystyle x+y\geq 0}
2
π
−
arccos
(
x
y
−
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle 2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
+
y
<
0
{\displaystyle x+y<0}
arccos
x
−
arccos
y
=
{\displaystyle \arccos x-\arccos y=}
−
arccos
(
x
y
+
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle -\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
+
y
≥
0
{\displaystyle x+y\geq 0}
arccos
(
x
y
+
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle \arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
+
y
<
0
{\displaystyle x+y<0}
arctan
x
+
arctan
y
=
{\displaystyle \arctan x+\arctan y=}
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
x
y
<
1
{\displaystyle xy<1}
π
+
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
x
y
>
1
{\displaystyle xy>1}
−
π
+
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle -\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
x
y
>
1
{\displaystyle xy>1}
arctan
x
−
arctan
y
=
{\displaystyle \arctan x-\arctan y=}
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle \arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}
x
y
>
−
1
{\displaystyle xy>-1}
π
+
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
x
y
<
−
1
{\displaystyle xy<-1}
−
π
+
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle -\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
x
y
<
−
1
{\displaystyle xy<-1}
Doppelwinkelfunktionen
sin
(
2
x
)
=
2
sin
x
cos
x
=
2
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin(2x)=2\sin x\;\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}}
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
1
−
2
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
tan
2
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}}
cos
(
2
x
)
cos
(
x
)
+
sin
(
2
x
)
sin
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(2x)\cos(x)+\sin(2x)\sin(x)=\cos(x)}
tan
(
2
x
)
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
=
2
cot
x
−
tan
x
{\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}}
cot
(
2
x
)
=
cot
2
x
−
1
2
cot
x
=
cot
x
−
tan
x
2
{\displaystyle \cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}={\frac {\cot x-\tan x}{2}}}
Winkelfunktionen für weitere Vielfache
Die Formel für
cos
(
n
x
)
{\displaystyle \cos(nx)}
steht über
T
n
(
cos
x
)
=
cos
(
n
x
)
{\displaystyle T_{n}(\cos x)=\cos(nx)}
[ 4] mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.
sin
(
3
x
)
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x\,}
[ 5]
=
sin
x
(
4
cos
2
x
−
1
)
{\displaystyle =\;\sin x\left(4\cos ^{2}x-1\right)}
sin
(
4
x
)
=
8
sin
x
cos
3
x
−
4
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin(4x)=8\sin x\;\cos ^{3}x-4\sin x\;\cos x}
[ 6]
=
sin
x
(
8
cos
3
x
−
4
cos
x
)
{\displaystyle =\;\sin x\left(8\cos ^{3}x-4\cos x\right)}
sin
(
5
x
)
=
5
sin
x
−
20
sin
3
x
+
16
sin
5
x
{\displaystyle \sin(5x)=5\sin x-20\sin ^{3}x+16\sin ^{5}x\;}
[ 7]
=
sin
x
(
16
cos
4
x
−
12
cos
2
x
+
1
)
{\displaystyle =\;\sin x\left(16\cos ^{4}x-12\cos ^{2}x+1\right)}
sin
(
n
x
)
=
n
sin
x
cos
n
−
1
x
−
(
n
3
)
sin
3
x
cos
n
−
3
x
+
(
n
5
)
sin
5
x
cos
n
−
5
x
−
+
…
{\displaystyle \sin(nx)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\;+\;\dots }
[ 8] [ 9]
=
∑
j
=
0
⌊
n
−
1
2
⌋
(
−
1
)
j
(
n
2
j
+
1
)
sin
2
j
+
1
x
cos
n
−
2
j
−
1
x
{\displaystyle =\;\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j+1}\sin ^{2j+1}x\;\cos ^{n-2j-1}x}
=
sin
x
∑
k
=
0
⌊
n
−
1
2
⌋
(
−
1
)
k
(
n
−
k
−
1
k
)
2
n
−
2
k
−
1
cos
n
−
2
k
−
1
x
{\displaystyle =\;\sin x\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{n-k-1 \choose k}2^{n-2k-1}\cos ^{n-2k-1}x}
cos
(
3
x
)
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
{\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x\,}
[ 10]
cos
(
4
x
)
=
8
cos
4
x
−
8
cos
2
x
+
1
{\displaystyle \cos(4x)=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1\,}
[ 11]
cos
(
5
x
)
=
16
cos
5
x
−
20
cos
3
x
+
5
cos
x
{\displaystyle \cos(5x)=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\,}
[ 12]
cos
(
6
x
)
=
32
cos
6
x
−
48
cos
4
x
+
18
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos(6x)=32\cos ^{6}x-48\cos ^{4}x+18\cos ^{2}x-1\,}
[ 13]
cos
(
n
x
)
=
cos
n
x
−
(
n
2
)
sin
2
x
cos
n
−
2
x
+
(
n
4
)
sin
4
x
cos
n
−
4
x
−
+
…
{\displaystyle \cos(nx)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\;+\;\dots }
[ 9] [ 14]
=
∑
j
=
0
⌊
n
2
⌋
(
−
1
)
j
(
n
2
j
)
sin
2
j
x
cos
n
−
2
j
x
{\displaystyle =\;\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j}\sin ^{2j}x\;\cos ^{n-2j}x}
tan
(
3
x
)
=
3
tan
x
−
tan
3
x
1
−
3
tan
2
x
{\displaystyle \tan(3x)={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}}
[ 9]
tan
(
4
x
)
=
4
tan
x
−
4
tan
3
x
1
−
6
tan
2
x
+
tan
4
x
{\displaystyle \tan(4x)={\frac {4\tan x-4\tan ^{3}x}{1-6\tan ^{2}x+\tan ^{4}x}}}
[ 9]
cot
(
3
x
)
=
cot
3
x
−
3
cot
x
3
cot
2
x
−
1
{\displaystyle \cot(3x)={\frac {\cot ^{3}x-3\cot x}{3\cot ^{2}x-1}}}
[ 9]
cot
(
4
x
)
=
cot
4
x
−
6
cot
2
x
+
1
4
cot
3
x
−
4
cot
x
{\displaystyle \cot(4x)={\frac {\cot ^{4}x-6\cot ^{2}x+1}{4\cot ^{3}x-4\cot x}}}
[ 9]
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln [ 9] . Das Vorzeichen wechselt alle 360° (
sin
{\displaystyle \sin }
und
cos
{\displaystyle \cos }
) bzw. alle 180 ° für
tan
{\displaystyle \tan }
und
cot
{\displaystyle \cot }
.
sin
x
2
=
±
1
−
cos
x
2
{\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}}
cos
x
2
=
±
1
+
cos
x
2
{\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}
tan
x
2
=
±
1
−
cos
x
1
+
cos
x
=
1
−
cos
x
sin
x
=
sin
x
1
+
cos
x
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}}
cot
x
2
=
±
1
+
cos
x
1
−
cos
x
=
1
+
cos
x
sin
x
=
sin
x
1
−
cos
x
{\displaystyle \cot {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}}
Außerdem gilt für einen beschränkten Bereich von x:
tan
x
2
=
tan
x
1
+
1
+
tan
2
x
für
x
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[}
Siehe auch: Halbwinkelsatz
Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)
Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:[ 9]
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
sin
x
−
sin
y
=
2
cos
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}
tan
x
+
tan
y
=
sin
(
x
+
y
)
cos
x
cos
y
tan
x
−
tan
y
=
sin
(
x
−
y
)
cos
x
cos
y
}
⇒
tan
x
±
tan
y
=
sin
(
x
±
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\tan x+\tan y={\dfrac {\sin(x+y)}{\cos x\cos y}}\\[1em]\tan x-\tan y={\dfrac {\sin(x-y)}{\cos x\cos y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \tan x\pm \tan y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}}
cot
x
+
cot
y
=
sin
(
y
+
x
)
sin
x
sin
y
cot
x
−
cot
y
=
sin
(
y
−
x
)
sin
x
sin
y
}
⇒
cot
x
±
cot
y
=
sin
(
y
±
x
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\cot x+\cot y={\dfrac {\sin(y+x)}{\sin x\sin y}}\\[1em]\cot x-\cot y={\dfrac {\sin(y-x)}{\sin x\sin y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \cot x\pm \cot y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}}
Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:
cos
x
+
sin
x
=
2
⋅
sin
(
x
+
π
4
)
=
2
⋅
cos
(
x
−
π
4
)
{\displaystyle \cos x+\sin x={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)}
cos
x
−
sin
x
=
2
⋅
cos
(
x
+
π
4
)
=
−
2
⋅
sin
(
x
−
π
4
)
{\displaystyle \cos x-\sin x={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)}
Produkte der Winkelfunktionen
Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:[ 9]
sin
x
sin
y
=
1
2
(
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle \sin x\;\sin y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)-\cos(x+y){\Big )}}
cos
x
cos
y
=
1
2
(
cos
(
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle \cos x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)+\cos(x+y){\Big )}}
sin
x
cos
y
=
1
2
(
sin
(
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle \sin x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\sin(x-y)+\sin(x+y){\Big )}}
tan
x
tan
y
=
tan
x
+
tan
y
cot
x
+
cot
y
=
−
tan
x
−
tan
y
cot
x
−
cot
y
{\displaystyle \tan x\;\tan y={\frac {\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}}=-{\frac {\tan x-\tan y}{\cot x-\cot y}}}
cot
x
cot
y
=
cot
x
+
cot
y
tan
x
+
tan
y
=
−
cot
x
−
cot
y
tan
x
−
tan
y
{\displaystyle \cot x\;\cot y={\frac {\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}}=-{\frac {\cot x-\cot y}{\tan x-\tan y}}}
tan
x
cot
y
=
tan
x
+
cot
y
cot
x
+
tan
y
=
−
tan
x
−
cot
y
cot
x
−
tan
y
{\displaystyle \tan x\;\cot y={\frac {\tan x+\cot y}{\cot x+\tan y}}=-{\frac {\tan x-\cot y}{\cot x-\tan y}}}
sin
x
sin
y
sin
z
=
1
4
(
sin
(
x
+
y
−
z
)
+
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
−
sin
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\sin z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z){\Big )}}
cos
x
cos
y
cos
z
=
1
4
(
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \cos x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z){\Big )}}
sin
x
sin
y
cos
z
=
1
4
(
−
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z){\Big )}}
sin
x
cos
y
cos
z
=
1
4
(
sin
(
x
+
y
−
z
)
−
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \sin x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z){\Big )}}
Aus der Doppelwinkelfunktion für
sin
(
2
x
)
{\displaystyle \sin(2x)}
folgt außerdem:
sin
x
cos
x
=
1
2
sin
(
2
x
)
{\displaystyle \sin x\;\cos x={\frac {1}{2}}\sin(2x)}
Potenzen der Winkelfunktionen
Sinus
sin
2
x
=
1
2
(
1
−
cos
(
2
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1-\cos(2x){\Big )}}
[ 9] [ 15]
sin
3
x
=
1
4
(
3
sin
x
−
sin
(
3
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\sin x-\sin(3x){\Big )}}
[ 9] [ 16]
sin
4
x
=
1
8
(
cos
(
4
x
)
−
4
cos
(
2
x
)
+
3
)
{\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}\cos(4x)-4\cos(2x)+3{\Big )}}
[ 9] [ 17]
sin
5
x
=
1
16
(
10
sin
x
−
5
sin
(
3
x
)
+
sin
(
5
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\sin x-5\sin(3x)+\sin(5x){\Big )}}
[ 18]
sin
6
x
=
1
32
(
10
−
15
cos
(
2
x
)
+
6
cos
(
4
x
)
−
cos
(
6
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10-15\,\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x){\Big )}}
[ 19]
sin
n
x
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
(
x
−
π
2
)
)
;
n
∈
N
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\ \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cos {\Big (}(n-2k)(x-{\frac {\pi }{2}}\ ){\Big )}\ ;\quad n\in \mathbb {N} }
sin
n
x
=
1
2
n
(
n
n
2
)
+
2
2
n
∑
k
=
0
n
2
−
1
(
−
1
)
(
n
2
−
k
)
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
gerade
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{({\frac {n}{2}}-k)}{n \choose k}\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}}
sin
n
x
=
2
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
2
(
−
1
)
(
n
−
1
2
−
k
)
(
n
k
)
sin
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
ungerade
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{({\frac {n-1}{2}}-k)}{n \choose k}\sin {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}}
Kosinus
cos
2
x
=
1
2
(
1
+
cos
(
2
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1+\cos(2x){\Big )}}
[ 9] [ 20]
cos
3
x
=
1
4
(
3
cos
x
+
cos
(
3
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\cos x+\cos(3x){\Big )}}
[ 9] [ 21]
cos
4
x
=
1
8
(
3
+
4
cos
(
2
x
)
+
cos
(
4
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3+4\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}}
[ 9] [ 22]
cos
5
x
=
1
16
(
10
cos
x
+
5
cos
(
3
x
)
+
cos
(
5
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\cos x+5\cos(3x)+\cos(5x){\Big )}}
[ 23]
cos
6
x
=
1
32
(
10
+
15
cos
(
2
x
)
+
6
cos
(
4
x
)
+
cos
(
6
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10+15\cos(2x)+6\cos(4x)+\cos(6x){\Big )}}
[ 24]
cos
n
x
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\ \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cos((n-2k)x);\quad n\in \mathbb {N} }
cos
n
x
=
1
2
n
(
n
n
2
)
+
2
2
n
∑
k
=
0
n
2
−
1
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
gerade
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{n \choose k}\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}}
cos
n
x
=
2
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
2
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
ungerade
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{n \choose k}\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}}
Tangens
tan
2
x
=
1
−
cos
(
2
x
)
1
+
cos
(
2
x
)
{\displaystyle \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}}
Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen
sin
(
arccos
x
)
=
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
sin
(
arctan
x
)
=
cos
(
arccot
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan x)=\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
sin
(
arccot
x
)
=
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\operatorname {arccot} x)=\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arcsin
x
)
=
cot
(
arccos
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)=\cot(\arccos x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
(
arccos
x
)
=
cot
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos x)=\cot(\arcsin x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
tan
(
arccot
x
)
=
cot
(
arctan
x
)
=
1
x
{\displaystyle \tan(\operatorname {arccot} x)=\cot(\arctan x)={\frac {1}{x}}}
Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus
α
+
β
+
γ
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).
tan
α
+
tan
β
+
tan
γ
=
tan
α
⋅
tan
β
⋅
tan
γ
{\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,}
cot
β
⋅
cot
γ
+
cot
γ
⋅
cot
α
+
cot
α
⋅
cot
β
=
1
{\displaystyle \cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1}
cot
α
2
+
cot
β
2
+
cot
γ
2
=
cot
α
2
⋅
cot
β
2
⋅
cot
γ
2
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
tan
β
2
tan
γ
2
+
tan
γ
2
tan
α
2
+
tan
α
2
tan
β
2
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1}
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
−
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle -\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
+
1
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1}
−
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
−
1
{\displaystyle -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}
sin
(
2
α
)
+
sin
(
2
β
)
+
sin
(
2
γ
)
=
4
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}
−
sin
(
2
α
)
+
sin
(
2
β
)
+
sin
(
2
γ
)
=
4
sin
α
cos
β
cos
γ
{\displaystyle -\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,}
cos
(
2
α
)
+
cos
(
2
β
)
+
cos
(
2
γ
)
=
−
4
cos
α
cos
β
cos
γ
−
1
{\displaystyle \cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,}
−
cos
(
2
α
)
+
cos
(
2
β
)
+
cos
(
2
γ
)
=
−
4
cos
α
sin
β
sin
γ
+
1
{\displaystyle -\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
2
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,}
−
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,}
−
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
sin
β
sin
γ
+
1
{\displaystyle -\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}
−
sin
2
(
2
α
)
+
sin
2
(
2
β
)
+
sin
2
(
2
γ
)
=
−
2
cos
(
2
α
)
sin
(
2
β
)
sin
(
2
γ
)
{\displaystyle -\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )}
−
cos
2
(
2
α
)
+
cos
2
(
2
β
)
+
cos
2
(
2
γ
)
=
2
cos
(
2
α
)
sin
(
2
β
)
sin
(
2
γ
)
+
1
{\displaystyle -\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1}
sin
2
(
α
2
)
+
sin
2
(
β
2
)
+
sin
2
(
γ
2
)
+
2
sin
(
α
2
)
sin
(
β
2
)
sin
(
γ
2
)
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=1}
Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase
a
sin
α
+
b
cos
α
=
{
a
2
+
b
2
sin
(
α
+
arctan
(
b
a
)
)
, für alle
a
>
0
a
2
+
b
2
cos
(
α
−
arctan
(
a
b
)
)
, für alle
b
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a\sin \alpha +b\cos \alpha =&{\begin{cases}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\alpha +\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)\right)&{\text{, für alle }}a>0\\{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha -\arctan \left({\tfrac {a}{b}}\right)\right)&{\text{, für alle }}b>0\end{cases}}\end{aligned}}}
a
sin
(
x
+
α
)
+
b
sin
(
x
+
β
)
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
(
α
−
β
)
⋅
sin
(
x
+
δ
)
,
{\displaystyle a\sin(x+\alpha )+b\sin(x+\beta )={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha -\beta )}}\cdot \sin(x+\delta ),}
wobei
δ
=
atan2
(
a
sin
α
+
b
sin
β
,
a
cos
α
+
b
cos
β
)
.
{\displaystyle \delta =\operatorname {atan2} (a\sin \alpha +b\sin \beta ,a\cos \alpha +b\cos \beta ).}
Allgemeiner ist
∑
i
a
i
sin
(
x
+
δ
i
)
=
a
sin
(
x
+
δ
)
,
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),}
wobei
a
2
=
∑
i
,
j
a
i
a
j
cos
(
δ
i
−
δ
j
)
{\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j})}
und
δ
=
atan2
(
∑
i
a
i
sin
δ
i
,
∑
i
a
i
cos
δ
i
)
.
{\displaystyle \delta =\operatorname {atan2} \left(\sum _{i}a_{i}\sin \delta _{i},\sum _{i}a_{i}\cos \delta _{i}\right).}
Reihenentwicklung
Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)
Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.
Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt
x
=
0
{\displaystyle x=0}
) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle
x
{\displaystyle x}
aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert (
B
n
{\displaystyle B_{n}}
bzw.
β
n
{\displaystyle \beta _{n}}
bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen ):
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
±
⋯
,
|
x
|
<
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
±
⋯
,
|
x
|
<
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
(
1
−
2
2
n
)
β
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
⋯
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}(1-2^{2n})\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\,\cdots \qquad |x|<{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
[ 25]
cot
x
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
β
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
1
4725
x
7
−
⋯
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\,\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}}
[ 26]
Produktentwicklung
sin
x
=
x
∏
k
=
1
∞
(
1
−
x
2
k
2
π
2
)
{\displaystyle \sin x=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)}
cos
x
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
4
x
2
(
2
k
−
1
)
2
π
2
)
{\displaystyle \cos x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)}
Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion
Ferner besteht zwischen den Funktionen
sin
x
{\displaystyle \sin x}
,
cos
x
{\displaystyle \cos x}
und der komplexen Exponentialfunktion
exp
(
i
x
)
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} x)}
folgender Zusammenhang:
exp
(
i
x
)
=
cos
x
+
i
sin
x
=
e
i
x
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} x)=\cos x+\mathrm {i} \sin x=e^{\mathrm {i} x}\;}
(Eulersche Formel )
Weiterhin wird
cos
x
+
i
sin
x
=:
cis
(
x
)
{\displaystyle \cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}=:\operatorname {cis} (x)\;}
geschrieben.[ 27]
Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:
cos
x
=
exp
(
i
x
)
+
exp
(
−
i
x
)
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)+\exp(-\mathrm {i} x)}{2}}}
sin
x
=
exp
(
i
x
)
−
exp
(
−
i
x
)
2
i
{\displaystyle \sin x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)-\exp(-\mathrm {i} x)}{2\mathrm {i} }}}
Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.
Sphärische Trigonometrie
Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.
Literatur, Weblinks
Einzelnachweise
↑ Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
↑ a b Otto Forster Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen vieweg 1983 Seite 87
↑ I.N.Bronstein, K.A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S 237
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik , Table of Integrals, Series, and Products , Academic Press, 5th edition (1994). ISBN 0-12-294755-X 1.333.4
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3 (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)
↑ a b c d e f g h i j k l m n o I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik , B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. 2.5.2.1.3
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.28 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.30 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.4
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.5
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.1
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.2
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.3
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.4
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.5
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.1
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.2
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.3
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.4
↑ I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.5
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.67 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.70 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3. Auflage, S. 292 und 298