Diese Gleichung zeigt, dass das Skalarprodukt des elektrischen Feldes ''E'' plus dem Kreuzprodukt des magnetischen Feldes ''B'' auf der einen Seite, sowie der [[Stromdichte]] ''J'' plus der Frequenz der [[Ladungsdichte]] ''ρ'' auf der anderen Seite, gleich ist. Dies bedeutet, dass die Ladung bei der Umformung erhalten bleibt.
Diese Gleichung zeigt, dass das Skalarprodukt des elektrischen Feldes ''E'' plus dem Kreuzprodukt des magnetischen Feldes ''B'' auf der einen Seite, sowie der [[Stromdichte]] ''J'' plus der Frequenz der [[Ladungsdichte]] ''ρ'' auf der anderen Seite, gleich ist. Dies bedeutet, dass die Ladung bei der Umformung erhalten bleibt.
[[Poynting]]s [[Energieerhaltungssatz]] wird in auf die selbe Weise abgeleitet, mit dem Unterschied, dass statt dem Differenzial das konjungierte elektrische Feld <math>\vec E</math> verwendet wird.
umformen, welches der [[Poynting-Gleichung]] entspricht. Der Ausdruck <math>\vec{E}\times\vec{B}</math> entspricht hierbei dem [[Poynting-Vektor]].
== Verwandte Themen ==
== Verwandte Themen ==
Version vom 2. Juni 2006, 15:25 Uhr
Dieser Artikel behandelt die Quaternionen als mathematisches Objekt. Für das Ordnungsschema zur Verfassung des Heiligen Römischen Reichs siehe den Artikel Quaternionen der Reichsverfassung.
Hamilton
Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Erdacht wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Die Menge der Quaternionen wird meist mit bezeichnet. (Man beachte jedoch, dass dieses Symbol je nach Kontext aber auch eine andere Bedeutung haben kann, sieheobere Halbebene und hyperbolischer Raum.)
Quaternionen sind eine vierdimensionaleDivisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativenMultiplikation.
Als vierdimensionale reelle Algebra sind die Quaternionen ein vierdimensionaler reeller Vektorraum.
Daher ist jedes Quaternion durch vier reelle Komponenten eindeutig bestimmt.
Als Basiselemente dieses Vektorraums werden vier Elemente mit der Länge gewählt, die senkrecht aufeinander stehen; sie werden mit bezeichnet.
Die Linearkombination der vier Komponenten mit den vier Basiselementen lautet also
Dabei ist eingebettet als Elemente der Form , also mit . Die Menge der komplexen Zahlen kann auf verschiedene Weisen in die Quaternionen eingebettet werden; die Quaternionen sind jedoch keine -Algebra.
Überträgt man die aus den Körpern (reelle Zahlenebene) und (komplexe Zahlenebene) bekannten Operationen (Addition) und (Multiplikation) auf , erhält man einen Schiefkörper.
Die Addition ist dabei identisch mit der Addition des Vektorraums und die Skalarmultiplikation des Vektorraums wird für die Multiplikation übernommen.
Dadurch ist zur Definition der Multiplikation nur noch das Produkt von Basiselementen des Vektorraums anzugeben (siehe Multiplikation).
Die besondere Stellung der Komponente x0 bezeichnet man analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil oder Skalarteil, während die Komponenten x1, x2 und x3Imaginärteil oder Vektorteil genannt werden. Ein Quaternion, dessen Realteil 0 ist, nennt man reines Quaternion.
Darstellung als Matrix
Die Quaternionen können auch als Unterring des Rings der komplexen-Matrizen (alternativ auch als Unterring des Rings der reellen -Matrizen) aufgefasst werden. Dabei setzt man
Als Ergebnis erhält man eine der folgenden Matrixdarstellungen:
Quaternion als Matrix
2x2 komplex
4x4 reell
Hamilton-Regeln
Für Quaternionen gelten die folgenden Hamilton-Regeln:
Zusätzlich folgt aus den Verknüpfungsregeln und .
Daraus ergibt sich die folgende Multiplikationstabelle:
Multiplikations- tabelle
·
1
i
j
k
1
1
i
j
k
i
i
−1
k
−j
j
j
−k
−1
i
k
k
j
−i
−1
Addition
Die Addition ist die einfachste Rechenregel für Quaternionen. Man braucht lediglich die Komponenten einzeln zu addieren:
Subtraktion
Da die Addition der Quaternionen kommutativ ist, geht man bei der Subtraktion analog zur Addition vor und subtrahiert die einzelnen Komponenten:
Multiplikation
Für Quaternionen sind verschiedene Arten der Multiplikation definiert. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen der Multiplikation nach Grassman und der Multiplikation nach Euklid, sowie dem Produkt, dem Geradenprodukt und dem Ungeradenprodukt.
Hierbei sind die Geraden definiert duch die Gleichung:
und die Ungeraden durch:
Grassman-Produkt
Die gewöhnliche Multiplikation der Quaternionen, auch als Grassman-Produkt bekannt, leitet sich aus der Multiplikation der komplexen Zahlen ab.
In der Matrixdarstellung sieht dies folgendermaßen aus:
Im Fall der Quaternionen wird als b und d ein dreidimensionaler Vektor verwendet (; ) und das Kreuzprodukt dieser Vektoren addiert.
Und in der Darstellung als Matrix:
Merke:(erste minus letzte, außen plus innen plus kreuz)
Es entsteht also bei der Multiplikation reiner Quaternionen und ein Quaternion , dessen Skalarteil bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt der beiden Vektorteile entspricht, während der Vektorteil , das Vektorprodukt der Vektorteile von und ist.
Die einzelnen Vektoren werden hierbei in der Form ausgedrückt. Aus dem Einsetzen dieser Vektoren erhält man die oben dargestellten Regeln für die Multiplikation der Quaternionen.
Aufgelöst ergibt sich daher für die Multiplikation:
Im Spezialfall, dass ein Quaternion , bestehend aus der Ableitung der Zeit
mit einem anderen Quaternion multipliziert wird, enthält man die zeitbasierte Ableitung des Skalars, sowie 3-Vektorfunktionen welche die Abweichung vom Ursprung (Offset), Steigung und Biegung einer Bewegung enthalten.
Dies ist eine sehr kompakte Darstellung um etwa eine ballistische Flugbahn darzustellen.
Grassman-Geradenprodukt
Das Grassman-Geradenprodukt der Quaternionen wird selten verwendet. Dieses Produkt ist kommutativ, d.h. es gilt .
Grassman-Ungeradenprodukt
Das Kreuzprodukt oder auch Grassman-Ungeradenprodukt zweier Quaternionen ist das Äquivalent zum Vektorprodukt. Es entspricht dem Vektorprodukt der beiden Vektorteile dieser Quaternionen:
Euklidsches Produkt
Euklidsches Geradenprodukt
Das Punktprodukt, auch Skalarprodukt, euklidsches Geradenprodukt oder inneres euklidsches Produkt genannt, entspricht dem Punktprodukt eines 4-wertigen Vektors.
Man kann das Punktprodukt in das Grassmann Produkt (dh. eine Multiplikation) umformen:
Punktprodukte sind nützlich, wenn man ein einzelnes Element eines Quaternions isolieren möchte:
Euklidsches Ungeradenprodukt
Das euklidsche Ungeradenprodukt, auch äußeres euklidsches Produkt genannt, wird nur selten benötigt. Es ist ähnlich zum inneren euklidschen Produkt und wird deshalb als Paar mit diesem behandelt (siehe:Gerades euklidsches Produkt):
Division
Die Division zweier Quaternionen wird nicht mit einem Bruchstrich, sondern unter Verwendung eines negativen Exponenten dargestellt. Der Grund dafür ist, dass die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist und man daher zwischen und unterscheiden muss.
Wenn die einzelnen Elemente des Quaternion eine Längeneinheit besitzen bzw. das Quaternion normalisiert wurde, so gilt:
Wenn das Quaternion eine andere Einheit besitzt, teilt man das konjungierte Quaternion durch einen skalaren Wert, welcher sich aus dem Quadrat der Amplitude des Quaternions ergibt, um den reziproken Wert zu erhalten:
Ausgeschrieben ergibt sich die folgende Form:
Der Beweis ergibt sich aus der einfachen Umformung der Division in eine Multiplikaion:
Konjugation
Die Konjugation eines Quaternions hat den selben Skalarteil. Jedoch sind die Vorzeichen aller komplexen Teile - dh. der einzelnen Komponenten des Vektorteils - negiert:
Wenn man ein Quaternion mit seiner Konjugation das Punktprodukt bildet erhält man eine reelle Zahl, aus der man den Betrag des Quaternions bilden kann:
Es gilt zudem:
Die Konjugation eines Quaternions, welches eine Drehung darstellt, führt zu einer Drehung in die entgegengesetzte Richtung.
Drehungen
Quaternionen können zur Darstellung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden. Drehungen werden hierbei mit Hilfe von Multiplikationen durchgeführt.
Drehungen von Quaternionen haben durch die drei dargestellten Dimensionen drei Freiheitsgrade . Die einzelnen Freiheitsgrade stehen dabei jeweils für eine Drehung um eine der Achsen.
Ein Quaternion, welches lediglich eine Drehung darstellen soll, muss normiert werden, so dass
gilt.
Die Drehung mit Hilfe eines solchen normierten Quaternions multipliziert mit einem Punkt im Raum und dem konjungierten Quaternion ergibt die neue Position für den Punkt . Bei dieser Art der Drehung werden keine Matrizen benötigt.
Durch Einsetzen des Punktes und des Quaternions (in vektorieller Schreibweise) erhält man:
Durch Auflösen und Vereinfachen in eine dreidimensionale Darstellung dieser Gleichung erhält man hieraus die folgende Matrixdarstellung:
Achsenwinkel Darstellung
Ein Quaternion, welches eine Drehung darstellt, ist normalisiert und wird in der Achsenwinkel-Darstellung folgenermaßen dargestellt:
Hierbei gilt:
α ist der Drehwinkel
(x,y,z) ist ein normalisierter Vektor, der die Drehachse darstellt. Beispielsweise ergibt der Vektor (1,0,0) eine Drehung um die X-Achse und der Vektor (0,1,0) eine Drehung um die Y-Achse.
Diese Art der Darstellung leitet sich von der Achsenwinkel-Darstellung der Drehungen im zweidimensionalen Raum ab.
Das Quaternion i stellt somit eine Drehung von 180° um die X-Achse, j eine Drehung von 180° um die Y-Achse und k eine Drehung von 180° um die Z-Achse dar. Somit entspricht einer Drehung von 360° um die jeweilige Achse.
Komplexe Zahl
Quaternion
Darstellung
2D-Vektor
3D-Drehung
Drehung um i
90°
180°
Kombination von Rechenoperationen
Addition
Multiplikation
Dies führt dazu, dass das Quaternion dieselbe Drehung wie das Quaternion darstellt. Die Quaternionen und sind daher die IdentitätsDrehung (d.h. keine Änderung der Lage). Ein Quaternion, das um 360° gedreht wird, wird invertiert. Ein Quaternion ist also auch ein sogenannter Spinor.
Eine konjungierte Drehung von Punkt A nach Punkt B ergibt eine Drehung von Punkt B nach Punkt A. Hierbei ist:
qr Ein Rotations-Quaternion.
qA Die, durch einen Vektor beschriebene, Position A im Raum.
qB Die, durch einen Vektor beschriebene, Position B im Raum.
Durch die Negation rotiert das Rotations-Quaternion um -360°.
Auswirkung von Negation und Konjugation auf die Drehung
Quaternion
Drehung
1
1
colspan="2" Vorlage:Highlight2|1Gilt nicht für Fermionen. Diese benötigen eine 720° Drehung um in die Ausgangslage zurück zu kommen.
Spiegelung
Eine Spiegelung kann als eine spezielle Form der Drehung aufgefasst werden und wird durch einen negativen Skalarteil ausgedrückt:
Jede durch ein Quaternion dargestellte Drehung kann als eine Folge von zwei (oder mehr) Spiegelungen ausgedrückt werden.
TODO: Erläuterung
Betrag des Quaternions
Der Betrag (bzw. die Länge) eines Quaternions entspricht dem Betrag eines vierdimensionalen Vektors. Daher gilt die Formel:
Weiters gilt:
Normiertes Quaternion
Ein normiertes Quaternion (oder Einheitsquaternion) ist ein Quaternion mit einem Betrag von Eins. Es gilt daher:
Wobei das normierte Quaternion ist. Das normierte Quaternion gibt also nur eine Richtung, jedoch keine spezifische Länge an. Man erhält es wenn man die einzelnen Komponenten des Quaternions durch seinen Betrag teilt:
Für ein normalisiertes Quaternion gilt:
Dadurch werden Divisionen von Quaternionen wesentlich vereinfacht.
Das zugrundeliegende Prinzip ist dabei das selbe wie bei einer orthogonalen Matrix welche ebenfalls zur Repräsentation von Drehungen verwendet werden können.
Jedes Quaternion kann in der Polarform dargestellt werden. Dazu benötigt man eine skalare Amplitude, den zugehörigen Winkel und einen dreidimensionalen Richtungs-Vektor .
Quaternionen, die eine Drehung darstellen, können bei Bedarf in verschiedene Darstellungsformen konvertiert werden.
Matrixdarstellung
Um ein normalisiertes Quaternion , welches eine Drehung darstellt, in eine Drehmatrix umzuwandeln, kann man die folgende Umwandlung verwenden:
mit
Umgekehrt kann man diese Matrix wieder zurück in ein Quaternion umwandeln:
für
Achsenwinkel Darstellung
Um ein Quaternion , welches eine Drehung darstellt, in seine Achsenwinkel-Darstellung umzuwandeln, kann man das folgende Gleichungssytem verwenden:
Die Umkehrung ergibt sich durch Einsetzen und Auflösung der Gleichung. Allerdings muss für die Umkehrung sowohl die Drehachse als auch das resultierende Quaternion normalisiert sein:
Euler-Winkel Darstellung
Um ein Quaternion , das eine Drehung darstellt, in die einzelnen Eulerwinkel umzuwandeln, kann man die folgende Gleichung verwenden:
Diese Gleichung jedoch gilt nicht für die beiden Pole .
Die Exponentialfunktion erfüllt für Quaternionen mit die Funktionalgleichung
.
Andernfalls ist das nicht garantiert, z.B. ist
aber
.
Praktische Anwendungen
3D-Schnitt einer quaternionischen (4D-)Julia-Menge
Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen.
Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen, sowie bei der Steuerung und Regelung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Drehmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Drehungen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit.
Des Weiteren werden Quaternionen, neben den Eulerwinkeln, zur Programmierung von Industrierobotern (z.B. ABB) genutzt.
Da Quaternionen vierdimensionale Vorgänge beschreiben können, ergeben sich weitreichende Einsatzmöglichkeiten. Man kann durch die Verwendung der Quaternionen meist auf getrennte Gleichungen zur Berechnung von Zeit und Raum verzichten. Dies bietet Vorteile in der Physik, unter anderem in den Gebieten Mechanik, Wellengleichungen, Spezielle Relativitätstheorie und Gravitation, Elektromagnetismus sowie der Quantenmechanik.
In der Physik ist die Matrixalgebra, die von den Pauli-Matrizen aufgespannt wird, isomorph zu den Quaternionen. Insbesondere bilden die Einheitsquaternionen eine nichttriviale Überlagerung der 3-dimensionalen orthogonalen Gruppe SO(3), d.h. die Gruppe der Einheitsquaternionen ist isomorph zur Gruppe Spin(3).
Historisch bedeutsam ist, dass Maxwell sein Gleichungssystem1873 ebenfalls in Quaternionen-Schreibweise publizierte.
Quaternionen in der Physik
Quaternionen können vier Dimensionen beschreiben. Dies ist beispielsweise in der Physik vorteilhaft.
Beschreibung einer Bewegung
Die Position eines "Punktes" zu einem bestimmten Zeitpunkt kann beispielsweise als
beschrieben werden, wobei der Vektor die räumliche Position des Punktes in Relation zum Ursprung und den Zeitpunkt angibt. Hieraus ist auch die Bewegung des Punktes ersichtlich, da sich z. B. nach der doppelten Zeit der Punkt doppelt so weit bewegt haben wird:
Durch Differentation über die Zeit erhält man daraus die Geschwindigkeit, bzw. durch nochmalige Differentation die Beschleunigung, inklusive Angabe der Richtung:
Hier zeigt sich der Vorteil der Verwendung von Quaternionen, da keine getrennten Gleichungen zur Berechnung der gesuchten Größe und zur Berechnung der Richtung, in die die Größe wirkt, nötig sind.
Beschreibung einer Drehung
Natürlich kann man dies auch in Polarkoordinaten darstellen. Für eine z. B. zweidimensionale Fläche ergibt sich der Punkt R aus
.
Für den dreidimensionalen Raum muss man hierfür die im Abschnitt Polardarstellung gezeigte Beschreibungsweise verwenden, bzw. ein weiteres Quaternion mit dem jeweiligen anderen Winkel definieren und die beiden Quaternionen addieren. Die Herleitung sieht also wie folgt aus:
wobei den Winkel in der XY-Ebene und den Winkel in der YZ-Ebene darstellt (siehe:Eulerwinkel).
Natürlich kann man auch die Polardarstellung differenzieren, wodurch sich für die radiale Geschwindigkeit V und radiale Beschleunigung A im zweidimensionalen Raum der folgende Zusammenhang ergibt:
Für die Drehung im dreidimensionalen Raum kann man auch hier die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zur Vereinfachung getrennt berechnen und anschließend addieren.
wobei die Beschleunigung in radialer Richtung (zum Mittelpunkt) und die Beschleunigung in tangentialer Richtung darstellt. Obwohl diese Beschreibung komplizierter zu verstehen ist, hat diese Rechnungsweise auch hier den Vorteil, dass getrennte Gleichungen nicht notwendig sind.
Beschreibung einer Rotation
Die Rotation ist im Wesentlichen ist eine fortlaufende Drehung. Diese wird durch die Rotationsgeschwindigkeit (bzw. Winkelgeschwindigkeit) ω ausgedrückt. Die Geschwindigkeit des Punktes R um die Drehachse ist somit definiert durch:
Hierbei gilt es zu beachten, dass die Zeit t in der Position R nicht erscheint, da diese in ω enthalten ist, welches vorab differenziert wurde:
Die Beschleunigung der Rotation ist wieder analog definiert durch die Differentiation der Geschwindigkeit:
Hierbei beschreibt eine Translation (geradlinige Bewegung), beschreibt die Coriolisbewegung und beschreibt die Bewegung in Richtung des Azimut (daher aus der Rotationsebene heraus). Der Term kann in umgeformt werden, welcher die Zentrifugalkraft beschreibt. Dies zeigt sich vor allem für den Fall, dass die Rotation othogonal (dh. im Rechten Winkel zur Drehachse) ist, wobei gilt:
sowie
Die Bedeutung des skalaren Ausdrucks ist bisher nicht endgültig geklärt.
Harmonischer Oszillator
Ein harmonischer Oszillator in einer Dimension (X-Achse) kann in quaternionischer Schreibweise als
ausgedrückt werden. Aus dieser Gleichung lässt sich x lösen, woraus sich die Gleichung
ergibt. Um etwa die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t zu erhalten muss man diese Gleichung mit der Zeit differenzieren. Dadurch ergibt sich der Zusammenhang:
Die elektrischen und magnetischen Felder werden häufig als elektromagnetisches Vierpotenzial[1] (dh. als 4-wertiger Vektor) ausgedrückt. Dieser Vektor kann auch als Quaternion umformuliert werden.
Das elektrische Feld E ist der Antikommutator des konjungierten, differenzierten Vierpotenzials. Das magnetische Feld B verwendet den Kommutator. Durch diese Darstellungsform kann man direkt in die Maxwellgleichungen einsetzen:
sowie
Hierbei sind die Ausdrücke und die beiden Quellenfelder, welche durch die Differenz aus zwei Kommutatoren und zwei Antikommutatoren gebildet werden.
Das Induktionsgesetz und das Durchflutungsgesetz werden durch die Summe aus den zwei ineinanderliegenden Kommutatoren und Antikommutatoren gebildet.
Lorentzkraft
Die Lorentzkraft wird auf ähnliche Weise aus den Maxwellgleichungen abgeleitet. Allerdings müssen die Vorzeichen korrigiert werden.
Erhaltungssatz
Der Erhaltungssatz der elektrischen Ladung wird duch die Anwendung des konjugierten Differenzoperators auf die Quellen der Maxwellgleichung gebildet.
Diese Gleichung zeigt, dass das Skalarprodukt des elektrischen Feldes E plus dem Kreuzprodukt des magnetischen Feldes B auf der einen Seite, sowie der StromdichteJ plus der Frequenz der Ladungsdichteρ auf der anderen Seite, gleich ist. Dies bedeutet, dass die Ladung bei der Umformung erhalten bleibt.
PoyntingsEnergieerhaltungssatz wird in auf die selbe Weise abgeleitet, mit dem Unterschied, dass statt dem Differenzial das konjungierte elektrische Feld verwendet wird.
Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Namen „hyperkomplexe Zahlen“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die Cayley-Zahlen oder Oktaven ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen.
Quat Webseite von Quat, einem kostenloses Programm zur Berechnung von 3D-Fraktal-Bildern. Außerdem gibt es dort schöne Bilder, die mit Quat erstellt wurden.