„Quaternion“ – Versionsunterschied

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Erdacht wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Die Menge der Quaternionen wird meist mit ${\displaystyle \mathbb {H} }$ bezeichnet. (Man beachte jedoch, dass dieses Symbol je nach Kontext aber auch eine andere Bedeutung haben kann, siehe obere Halbebene und hyperbolischer Raum.)

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation. Als vierdimensionale reelle Algebra sind die Quaternionen ein vierdimensionaler reeller Vektorraum. Daher ist jedes Quaternion durch vier reelle Komponenten ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}}$ eindeutig bestimmt. Als Basiselemente dieses Vektorraums werden vier Elemente mit der Länge ${\displaystyle 1}$ gewählt, die senkrecht aufeinander stehen; sie werden mit ${\displaystyle 1,i,j,k}$ bezeichnet. Die Linearkombination der vier Komponenten mit den vier Basiselementen lautet also

${\displaystyle x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$

Dabei ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eingebettet als Elemente der Form ${\displaystyle x_{0}}$, also mit ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=0}$. Die Menge der komplexen Zahlen kann auf verschiedene Weisen in die Quaternionen eingebettet werden; die Quaternionen sind jedoch keine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra.

Überträgt man die aus den Körpern ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reelle Zahlenebene) und ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (komplexe Zahlenebene) bekannten Operationen ${\displaystyle +}$ (Addition) und ${\displaystyle \cdot }$ (Multiplikation) auf ${\displaystyle \mathbb {H} }$, erhält man einen Schiefkörper. Die Addition ist dabei identisch mit der Addition des Vektorraums und die Skalarmultiplikation des Vektorraums wird für die Multiplikation übernommen. Dadurch ist zur Definition der Multiplikation nur noch das Produkt von Basiselementen des Vektorraums anzugeben (siehe Multiplikation).

Operationen über zwei Quaternionen

Addition	Multiplikation
${\displaystyle \left(x_{0}+x_{1}\cdot i+x_{2}\cdot j+x_{3}\cdot k\right)+{}\,}$ ${\displaystyle \left(y_{0}+y_{1}\cdot i+y_{2}\cdot j+y_{3}\cdot k\right)={}\,}$ ${\displaystyle \left(x_{0}+y_{0}\right)+\left(x_{1}+y_{1}\right)\cdot i+{}\,}$ ${\displaystyle \left(x_{2}+y_{2}\right)\cdot j+\left(x_{3}+y_{3}\right)\cdot k\,}$	${\displaystyle \left(x_{0}+x_{1}\cdot i+x_{2}\cdot j+x_{3}\cdot k\right)\cdot {}\,}$ ${\displaystyle \left(y_{0}+y_{1}\cdot i+y_{2}\cdot j+y_{3}\cdot k\right)={}\,}$ ${\displaystyle \left(x_{0}\cdot y_{0}-x_{1}\cdot y_{1}-x_{2}\cdot y_{2}-x_{3}\cdot y_{3}\right)+{}\,}$ ${\displaystyle \left(x_{0}\cdot y_{1}+x_{1}\cdot y_{0}+x_{2}\cdot y_{3}-x_{3}\cdot y_{2}\right)\cdot i+{}\,}$ ${\displaystyle \left(x_{0}\cdot y_{2}-x_{1}\cdot y_{3}+x_{2}\cdot y_{0}+x_{3}\cdot y_{1}\right)\cdot j+{}\,}$ ${\displaystyle \left(x_{0}\cdot y_{3}+x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}+x_{3}\cdot y_{0}\right)\cdot k}$
ist assoziativ und kommutativ	ist assoziativ, aber nicht kommutativ

Die besondere Stellung der Komponente x₀ bezeichnet man analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil oder Skalarteil ${\displaystyle s=x_{0}}$, während die Komponenten x₁, x₂ und x₃ Imaginärteil ${\displaystyle x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$ oder Vektorteil ${\displaystyle v=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ genannt werden. Ein Quaternion, dessen Realteil 0 ist, nennt man reines Quaternion.

Die Quaternionen können auch als Unterring des Rings ${\displaystyle {\mathbb {C}}^{2\times 2}}$ der komplexen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen (alternativ auch als Unterring des Rings ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4\times 4}}$ der reellen ${\displaystyle 4\times 4}$-Matrizen) aufgefasst werden. Dabei setzt man

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle I={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle K={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

(vgl. auch Pauli-Matrix)

Als Ergebnis erhält man eine der folgenden Matrixdarstellungen:

Quaternion ${\displaystyle a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k}$ als Matrix

2x2 komplex	4x4 reell
${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;d&-c\\\;\;b&\;\;a&-c&-d\\-d&\;\;c&\;\;a&-b\\\;\;c&\;\;d&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}}$

Für Quaternionen gelten die folgenden Hamilton-Regeln:

${\displaystyle i\cdot j=k}$	${\displaystyle j\cdot k=i}$	${\displaystyle k\cdot i=j}$
${\displaystyle j\cdot i=-k}$	${\displaystyle k\cdot j=-i}$	${\displaystyle i\cdot k=-j}$

Zusätzlich folgt aus den Verknüpfungsregeln ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,}$ und ${\displaystyle i\cdot j\cdot k=-1}$.

Daraus ergibt sich die folgende Multiplikationstabelle:

Die Addition ist die einfachste Rechenregel für Quaternionen. Man braucht lediglich die Komponenten einzeln zu addieren:

${\displaystyle (a_{1}+i\,b_{1}+j\,c_{1}+k\,d_{1})+(a_{2}+i\,b_{2}+j\,c_{2}+k\,d_{2})={\,}}$

${\displaystyle (a_{1}+a_{2})+i\,(b_{1}+b_{2})+j\,(c_{1}+c_{2})+k\,(d_{1}+d_{2})}$

Da die Addition der Quaternionen kommutativ ist, geht man bei der Subtraktion analog zur Addition vor und subtrahiert die einzelnen Komponenten:

${\displaystyle (a_{1}+i\,b_{1}+j\,c_{1}+k\,d_{1})-(a_{2}+i\,b_{2}+j\,c_{2}+k\,d_{2})={\,}}$

${\displaystyle (a_{1}-a_{2})+i\,(b_{1}-b_{2})+j\,(c_{1}-c_{2})+k\,(d_{1}-d_{2})}$

Für Quaternionen sind verschiedene Arten der Multiplikation definiert. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen der Multiplikation nach Grassman und der Multiplikation nach Euklid, sowie dem Produkt, dem Geradenprodukt und dem Ungeradenprodukt.

Hierbei sind die Geraden definiert duch die Gleichung:

${\displaystyle \mathrm {Geraden} \left(q_{1},q_{2}\right)={\frac {q_{1}\,q_{2}+q_{2}\,q_{1}}{2}}}$

und die Ungeraden durch:

${\displaystyle \mathrm {Ungeraden} \left(q_{1},q_{2}\right)={\frac {q_{1}\,q_{2}-q_{2}\,q_{1}}{2}}}$

Die gewöhnliche Multiplikation der Quaternionen, auch als Grassman-Produkt bekannt, leitet sich aus der Multiplikation der komplexen Zahlen ab.

${\displaystyle q_{1}\,q_{2}=(a+i\,b)\,(c+i\,d)=(a\cdot c-b\cdot d)+i(a\cdot d+b\cdot c)}$

In der Matrixdarstellung sieht dies folgendermaßen aus:

${\displaystyle (a,b)\,(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

Im Fall der Quaternionen wird als b und d ein dreidimensionaler Vektor verwendet (${\displaystyle b\to {\vec {u}}}$; ${\displaystyle d\to {\vec {v}}}$) und das Kreuzprodukt dieser Vektoren addiert.

${\displaystyle (a+i{\vec {u}})\,(c+i{\vec {v}})=(a\,c-{\vec {u}}\,{\vec {v}})+i(a\,{\vec {v}}+{\vec {u}}\,c+{\vec {u}}\times {\vec {v}})}$

Und in der Darstellung als Matrix:

${\displaystyle (a,{\vec {u}})\,(c,{\vec {v}})=(a\,c-{\vec {u}}\,{\vec {v}}\,,a\,{\vec {v}}+{\vec {u}}\,c+{\vec {u}}\times {\vec {v}})}$

Merke: (erste minus letzte, außen plus innen plus kreuz)

Es entsteht also bei der Multiplikation reiner Quaternionen ${\displaystyle q_{a}}$ und ${\displaystyle q_{b}}$ ein Quaternion ${\displaystyle q}$, dessen Skalarteil ${\displaystyle S(q)=-q_{a}\,q_{b}}$ bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt der beiden Vektorteile entspricht, während der Vektorteil ${\displaystyle V(q)=q_{a}\times q_{b}\,}$, das Vektorprodukt der Vektorteile von ${\displaystyle q_{a}}$ und ${\displaystyle q_{b}}$ ist.

Die einzelnen Vektoren ${\displaystyle (x,y,z)}$ werden hierbei in der Form ${\displaystyle (ix+jy+kz)}$ ausgedrückt. Aus dem Einsetzen dieser Vektoren erhält man die oben dargestellten Regeln für die Multiplikation der Quaternionen.

Aufgelöst ergibt sich daher für die Multiplikation:

${\displaystyle (a_{1}+i\,b_{1}+j\,c_{1}+k\,d_{1})\,(a_{2}+i\,b_{2}+j\,c_{2}+k\,d_{2})={}}$

${\displaystyle \left(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2}-c_{1}\cdot c_{2}-d_{1}\cdot d_{2}\right)+{}\,}$

${\displaystyle i\,\left(a_{1}\cdot b_{2}+b_{1}\cdot a_{2}+c_{1}\cdot d_{2}-d_{1}\cdot c_{2}\right)+{}\,}$

${\displaystyle j\,\left(a_{1}\cdot c_{2}-b_{1}\cdot d_{2}+c_{1}\cdot a_{2}+d_{1}\cdot b_{2}\right)+{}\,}$

${\displaystyle k\,\left(a_{1}\cdot d_{2}+b_{1}\cdot c_{2}-c_{1}\cdot b_{2}+d_{1}\cdot a_{2}\right)}$

Im Spezialfall, dass ein Quaternion ${\displaystyle q_{\delta t}}$, bestehend aus der Ableitung der Zeit

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}}$

und dem Nabla-Operator

${\displaystyle \nabla =i{\frac {\delta }{\delta x}}+j{\frac {\delta }{\delta y}}+k{\frac {\delta }{\delta z}}}$,

mit einem anderen Quaternion ${\displaystyle q_{x}}$ multipliziert wird, enthält man die zeitbasierte Ableitung des Skalars, sowie 3-Vektorfunktionen welche die Abweichung vom Ursprung (Offset), Steigung und Biegung einer Bewegung enthalten.

${\displaystyle q_{\delta t}\,q_{x}=\left({\frac {\delta }{\delta t}},\nabla \right)\,\left(c,{\vec {v}}\right)=\left({\frac {\delta c}{\delta t}}-{\vec {\nabla }}\,{\vec {v}},{\frac {\delta {\vec {v}}}{\delta t}}+{\vec {\nabla }}\,c+{\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}\right)}$

Dies ist eine sehr kompakte Darstellung um etwa eine ballistische Flugbahn darzustellen.

Das Grassman-Geradenprodukt der Quaternionen wird selten verwendet. Dieses Produkt ist kommutativ, d.h. es gilt ${\displaystyle \operatorname {Even} (q_{1},q_{2})=\operatorname {Even} (q_{2},q_{1})}$.

${\displaystyle \operatorname {Even} (q_{1},q_{2})={\frac {q_{1}\,q_{2}+q_{2}\,q_{1}}{2}}=(a_{1}\,a_{2}-{\vec {u}}\,{\vec {v}},a_{1}\,{\vec {v}}+{\vec {u}}\,a_{2})}$

${\displaystyle \operatorname {Even} (q_{1},q_{2})=(a_{1}\,a_{2}-b_{1}\,b_{2}-c_{1}\,c_{2}-d_{1}\,d_{2})+i\,(a_{1}\,b_{2}+b_{1}\,a_{2})+j\,(a_{1}\,c_{2}+c_{1}\,a_{2})+k\,(a_{1}\,d_{2}+d_{1}\,a_{2})}$

Das Kreuzprodukt oder auch Grassman-Ungeradenprodukt zweier Quaternionen ist das Äquivalent zum Vektorprodukt. Es entspricht dem Vektorprodukt der beiden Vektorteile dieser Quaternionen:

${\displaystyle q_{1}\times q_{2}={\frac {q_{1}\,q_{2}-q_{2}\,q_{1}}{2}}=(0,{\vec {u}}\times {\vec {v}})}$

${\displaystyle q_{1}\times q_{2}=i\,(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})+j\,(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})+k\,(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}$

${\displaystyle \operatorname {EuklidProd} (q_{1},q_{2})\to {\overline {q_{1}}}q_{2}=q_{1}{\overline {q_{2}}}=(a_{1}a_{2}+{\vec {u}}{\vec {v}},a_{1}{\vec {v}}-{\vec {u}}a_{2}-{\vec {u}}\times {\vec {v}})}$

Das Punktprodukt, auch Skalarprodukt, euklidsches Geradenprodukt oder inneres euklidsches Produkt genannt, entspricht dem Punktprodukt eines 4-wertigen Vektors.

${\displaystyle \langle q_{1},q_{2}\rangle =a_{1}\,a_{2}+b_{1}\,b_{2}+c_{1}\,c_{2}+d_{1}\,d_{2}}$

Man kann das Punktprodukt in das Grassmann Produkt (dh. eine Multiplikation) umformen:

${\displaystyle \langle q_{1},q_{2}\rangle ={\frac {{\overline {q_{1}}}q_{2}+q_{2}{\overline {q_{1}}}}{2}}=(a_{1}a_{2}+{\vec {u}}{\vec {v}},0)}$

Punktprodukte sind nützlich, wenn man ein einzelnes Element eines Quaternions isolieren möchte:

${\displaystyle \langle q,i\rangle =b}$

Das euklidsche Ungeradenprodukt, auch äußeres euklidsches Produkt genannt, wird nur selten benötigt. Es ist ähnlich zum inneren euklidschen Produkt und wird deshalb als Paar mit diesem behandelt (siehe: Gerades euklidsches Produkt):

${\displaystyle {Outer}(q_{1},q_{2})={\frac {{\overline {q_{1}}}\,q_{2}-{\overline {q_{1}}}\,q_{2}}{2}}=(0,a_{1}{\vec {v}}-{\vec {u}}a_{2}-{\vec {u}}\times {\vec {v}})}$

${\displaystyle {Outer}(q_{1},q_{2})=i\,(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2})+j\,(a_{1}c_{2}+b_{1}d_{2}-c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2})+k\,(a_{1}d_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}-d_{1}a_{2})}$

Die Division zweier Quaternionen wird nicht mit einem Bruchstrich, sondern unter Verwendung eines negativen Exponenten dargestellt. Der Grund dafür ist, dass die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist und man daher zwischen ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}^{-1}}$ und ${\displaystyle q_{2}^{-1}\cdot q_{1}}$ unterscheiden muss.

Wenn die einzelnen Elemente des Quaternion eine Längeneinheit besitzen bzw. das Quaternion normalisiert wurde, so gilt:

${\displaystyle q^{-1}={\bar {q}}}$

Wobei ${\displaystyle {\bar {q}}}$ die Konjugation des Quaternions ${\displaystyle q}$ ist. Daher gilt:

${\displaystyle q\cdot {\bar {q}}=1}$

Wenn das Quaternion eine andere Einheit besitzt, teilt man das konjungierte Quaternion durch einen skalaren Wert, welcher sich aus dem Quadrat der Amplitude des Quaternions ergibt, um den reziproken Wert zu erhalten:

${\displaystyle q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q\right|^{2}}}={\frac {\overline {q}}{q\,{\overline {q}}}}}$

Ausgeschrieben ergibt sich die folgende Form:

${\displaystyle (a+i\,b+j\,c+k\,d)^{-1}={\frac {\left(a-i\,b-j\,c-k\,d\right)}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)}}}$

Der Beweis ergibt sich aus der einfachen Umformung der Division in eine Multiplikaion:

${\displaystyle q\cdot {\bar {q}}=\left|q\right|^{2}}$

Die Konjugation eines Quaternions hat den selben Skalarteil. Jedoch sind die Vorzeichen aller komplexen Teile - dh. der einzelnen Komponenten des Vektorteils - negiert:

${\displaystyle {\overline {q}}=q^{*}=(a,{\vec {-u}})={\overline {\left(a+i\,b+j\,c+k\,d\right)}}={\left(a-i\,b-j\,c-k\,d\right)}}$

Wenn man ein Quaternion mit seiner Konjugation das Punktprodukt bildet erhält man eine reelle Zahl, aus der man den Betrag des Quaternions bilden kann:

${\displaystyle q\cdot {\overline {q}}={\left(a+i\,b+j\,c+k\,d\right)}\cdot {\left(a-i\,b-j\,c-k\,d\right)}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$

Es gilt zudem:

${\displaystyle {\overline {q_{1}\cdot q_{2}}}={\overline {q_{2}}}\cdot {\overline {q_{1}}}}$

Die Konjugation eines Quaternions, welches eine Drehung darstellt, führt zu einer Drehung in die entgegengesetzte Richtung.

Quaternionen können zur Darstellung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden. Drehungen werden hierbei mit Hilfe von Multiplikationen durchgeführt.

Drehungen von Quaternionen haben durch die drei dargestellten Dimensionen ${\displaystyle (x\,y\,z)}$ drei Freiheitsgrade ${\displaystyle (\gamma \,\phi \,\theta )}$. Die einzelnen Freiheitsgrade stehen dabei jeweils für eine Drehung um eine der Achsen.

Ein Quaternion, welches lediglich eine Drehung darstellen soll, muss normiert werden, so dass

${\displaystyle q\cdot {\overline {q}}={\overline {q}}\cdot q=1}$

gilt.

Die Drehung mit Hilfe eines solchen normierten Quaternions ${\displaystyle q}$ multipliziert mit einem Punkt ${\displaystyle p}$ im Raum und dem konjungierten Quaternion ${\displaystyle {\overline {q}}}$ ergibt die neue Position für den Punkt ${\displaystyle p'}$. Bei dieser Art der Drehung werden keine Matrizen benötigt.

${\displaystyle p'=q\cdot p\cdot {\overline {q}}}$

Durch Einsetzen des Punktes ${\displaystyle p}$ und des Quaternions ${\displaystyle q}$ (in vektorieller Schreibweise) erhält man:

${\displaystyle p'={\begin{pmatrix}w_{q}\\x_{q}\\y_{q}\\z_{q}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{q}\\-x_{q}\\-y_{q}\\-z_{q}\end{pmatrix}}}$

Durch Auflösen und Vereinfachen in eine dreidimensionale Darstellung dieser Gleichung erhält man hieraus die folgende Matrixdarstellung:

${\displaystyle p'={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{q}^{2}+w_{q}^{2}-y_{q}^{2}-z_{q}^{2}&2\cdot (x_{q}\cdot y_{q}-w_{q}\cdot z_{q})&2\cdot (x_{q}\cdot z_{q}+w_{q}\cdot y_{q})\\2\cdot (w_{q}\cdot z_{q}+x_{q}\cdot y_{q})&w_{q}^{2}-x_{q}^{2}+y_{q}^{2}-z_{q}^{2}&2\cdot (y_{q}\cdot z_{q}-w_{q}\cdot x_{q})\\2\cdot (x_{q}\cdot z_{q}-w_{q}\cdot y_{q})&2\cdot (w_{q}\cdot x_{q}+y_{q}\cdot z_{q})&w_{q}^{2}-x_{q}^{2}-y_{q}^{2}+z_{q}^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

Ein Quaternion, welches eine Drehung darstellt, ist normalisiert und wird in der Achsenwinkel-Darstellung folgenermaßen dargestellt:

${\displaystyle q_{r}=w_{q}+i\,x_{q}+j\,y_{q}+k\,z_{q}}$

${\displaystyle q_{r}=\cos {\frac {\alpha }{2}}+i\,x\,\sin {\frac {\alpha }{2}}+j\,y\,\sin {\frac {\alpha }{2}}+k\,z\,\sin {\frac {\alpha }{2}}}$

Hierbei gilt:

• α ist der Drehwinkel
• (x,y,z) ist ein normalisierter Vektor, der die Drehachse darstellt. Beispielsweise ergibt der Vektor (1,0,0) eine Drehung um die X-Achse und der Vektor (0,1,0) eine Drehung um die Y-Achse.

Diese Art der Darstellung leitet sich von der Achsenwinkel-Darstellung der Drehungen im zweidimensionalen Raum ab.

Das Quaternion i stellt somit eine Drehung von 180° um die X-Achse, j eine Drehung von 180° um die Y-Achse und k eine Drehung von 180° um die Z-Achse dar. Somit entspricht ${\displaystyle i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=-1}$ einer Drehung von 360° um die jeweilige Achse.

Dies führt dazu, dass das Quaternion ${\displaystyle (a+ib+jc+kd)}$ dieselbe Drehung wie das Quaternion ${\displaystyle (-a-ib-jc-kd)}$ darstellt. Die Quaternionen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle -1}$ sind daher die IdentitätsDrehung (d.h. keine Änderung der Lage). Ein Quaternion, das um 360° gedreht wird, wird invertiert. Ein Quaternion ist also auch ein sogenannter Spinor.

siehe auch: Drehmatrix

Eine konjungierte Drehung von Punkt A nach Punkt B ergibt eine Drehung von Punkt B nach Punkt A. Hierbei ist:

q_r Ein Rotations-Quaternion.

q_A Die, durch einen Vektor beschriebene, Position A im Raum.

q_B Die, durch einen Vektor beschriebene, Position B im Raum.

Durch die Negation rotiert das Rotations-Quaternion um -360°.

Auswirkung von Negation und Konjugation auf die Drehung

Quaternion	Drehung
${\displaystyle q_{r}=(w+i\,x+j\,y+k\,z)}$	${\displaystyle q_{r}\cdot q_{A}\to q_{B}}$
${\displaystyle {\overline {q_{r}}}=(w-i\,x-j\,y-k\,z)}$	${\displaystyle {\overline {q_{r}}}\cdot q_{B}\to q_{A}}$
${\displaystyle -{\overline {q_{r}}}=(-w+i\,x+j\,y+k\,z)}$	${\displaystyle -{\overline {q_{r}}}\cdot q_{B}\to q_{A}}$1
${\displaystyle -q_{r}=(-w-i\,x-j\,y-k\,z)}$	${\displaystyle -q_{r}\cdot q_{A}\to q_{B}}$1
colspan="2" Vorlage:Highlight2|1Gilt nicht für Fermionen. Diese benötigen eine 720° Drehung um in die Ausgangslage zurück zu kommen.

Eine Spiegelung kann als eine spezielle Form der Drehung aufgefasst werden und wird durch einen negativen Skalarteil ausgedrückt:

${\displaystyle q_{sp}=-1\,}$

Jede durch ein Quaternion dargestellte Drehung kann als eine Folge von zwei (oder mehr) Spiegelungen ausgedrückt werden.

TODO: Erläuterung

Der Betrag (bzw. die Länge) eines Quaternions entspricht dem Betrag eines vierdimensionalen Vektors. Daher gilt die Formel:

${\displaystyle {\|q\|}={\|a+i\,b+j\,c+k\,d\|}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

Weiters gilt:

${\displaystyle {\|q\|}={\sqrt {q\cdot q}}={\sqrt {{\overline {q}}\,q}}}$

Ein normiertes Quaternion (oder Einheitsquaternion) ist ein Quaternion mit einem Betrag von Eins. Es gilt daher:

${\displaystyle \|q_{n}\|=1}$

Wobei ${\displaystyle q_{n}}$ das normierte Quaternion ist. Das normierte Quaternion gibt also nur eine Richtung, jedoch keine spezifische Länge an. Man erhält es wenn man die einzelnen Komponenten des Quaternions durch seinen Betrag teilt:

${\displaystyle q_{n}={\frac {\vec {q}}{\|q\|}}={\frac {(a\,b\,c\,d)}{\|q\|}}=\left({\frac {a}{\|q\|}}+i\,{\frac {b}{\|q\|}}+j\,{\frac {c}{\|q\|}}+k\,{\frac {d}{\|q\|}}\right)}$

Für ein normalisiertes Quaternion gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{q_{n}}}={\overline {q_{n}}}}$

Dadurch werden Divisionen von Quaternionen wesentlich vereinfacht.

Das zugrundeliegende Prinzip ist dabei das selbe wie bei einer orthogonalen Matrix welche ebenfalls zur Repräsentation von Drehungen verwendet werden können.

siehe auch: Einheitsvektor, Normierter Raum

Jedes Quaternion kann in der Polarform dargestellt werden. Dazu benötigt man eine skalare Amplitude, den zugehörigen Winkel und einen dreidimensionalen Richtungs-Vektor ${\displaystyle {\vec {i}}}$.

${\displaystyle q=\|q\|\,e^{\theta {\vec {i}}}={\overline {q}}\,q\,\left(\cos \theta +{\vec {i}}\,\sin \theta \right)}$

Hierbei gilt:

${\displaystyle \theta =\operatorname {acos} \left({\frac {q+{\overline {q}}}{2\,\|q\|}}\right)}$

${\displaystyle {\vec {i}}={\frac {q-{\overline {q}}}{\|q-{\overline {q}}\|}}}$

Dabei zeigt sich, dass ${\displaystyle {\vec {i}}^{2}=-1}$ gilt:

${\displaystyle \left(0,{\vec {u}}\right)=q-{\overline {q}}}$

${\displaystyle {\vec {i}}^{2}={\frac {\left(0,{\vec {u}}\right)\,\left(0,{\vec {u}}\right)}{\|\left(0,{\vec {u}}\right)\|\,\|\left(0,{\vec {u}}\right)\|}}={\frac {\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {u}},{\vec {u}}\times {\vec {u}}\right)}{{\|{\vec {u}}\|}^{2}}}=-1}$

Dadurch ist der Vektor ${\displaystyle {\vec {i}}}$ analog zur komplexen Zahl i.

Quaternionen, die eine Drehung darstellen, können bei Bedarf in verschiedene Darstellungsformen konvertiert werden.

Um ein normalisiertes Quaternion ${\displaystyle q_{dreh}}$, welches eine Drehung darstellt, in eine Drehmatrix ${\displaystyle M_{dreh}}$ umzuwandeln, kann man die folgende Umwandlung verwenden:

${\displaystyle {\vec {q_{dreh}}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\to M_{dreh}={\begin{pmatrix}1-2\,(y^{2}+z^{2})&2\,(x\,y-z\,w)&2\,(x\,z+y\,w)\\2\,(x\,y+z\,w)&1-2\,(x^{2}+z^{2})&2\,(y\,z-x\,w)\\2\,(x\,z-y\,w)&2\,(y\,z+x\,w)&1-2\,(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle |{\vec {q_{dreh}}}|={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=1}$

Umgekehrt kann man diese Matrix wieder zurück in ein Quaternion umwandeln:

${\displaystyle M_{dreh}={\begin{pmatrix}m_{0,0}&m_{0,1}&m_{0,2}\\m_{1,0}&m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,0}&m_{2,1}&m_{2,2}\end{pmatrix}}\to {\vec {q_{dreh}}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {1+m_{0,0}+m_{1,1}+m_{2,2}}}{2}}\\{\frac {m_{2,1}-m_{1,2}}{4\cdot w}}\\{\frac {m_{0,2}-m_{2,0}}{4\cdot w}}\\{\frac {m_{1,0}-m_{0,1}}{4\cdot w}}\\\end{pmatrix}}}$

für ${\displaystyle m_{0,0}+m_{1,1}+m_{2,2}+1>0}$

Um ein Quaternion ${\displaystyle q_{d}}$, welches eine Drehung darstellt, in seine Achsenwinkel-Darstellung ${\displaystyle q_{w}}$ umzuwandeln, kann man das folgende Gleichungssytem verwenden:

${\displaystyle {\vec {q_{d}}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\to {\vec {q_{w}}}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\alpha }{2}}\\x_{w}\,\sin {\frac {\alpha }{2}}\\y_{w}\,\sin {\frac {\alpha }{2}}\\z_{w}\,\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \alpha =2\cdot \operatorname {acos} \,w}$

${\displaystyle x_{w}={\frac {x}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{w}={\frac {y}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$

${\displaystyle z_{w}={\frac {z}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$

Die Umkehrung ergibt sich durch Einsetzen und Auflösung der Gleichung. Allerdings muss für die Umkehrung sowohl die Drehachse als auch das resultierende Quaternion normalisiert sein:

${\displaystyle x_{w}^{2}+y_{w}^{2}+z_{w}^{2}=1}$

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+x_{w}^{2}\,\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+y_{w}^{2}\,\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+z_{w}^{2}\,\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}=1}$

Um ein Quaternion ${\displaystyle q=w+i\,x+j\,y+k\,z}$, das eine Drehung darstellt, in die einzelnen Eulerwinkel umzuwandeln, kann man die folgende Gleichung verwenden:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\theta \\\phi \\\psi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {arg} {\left[2\cdot (y\cdot w-x\cdot z),\,1-2\cdot (y^{2}+z^{2})\right]}\\\operatorname {asin} {\left[2\cdot (x\cdot y+z\cdot w)\right]}\\\operatorname {arg} {\left[2\cdot (x\cdot w-y\cdot z),\,1-2\cdot (x^{2}+z^{2})\right]}\end{pmatrix}}}$

Diese Gleichung jedoch gilt nicht für die beiden Pole ${\displaystyle x\cdot y+z\cdot w=\pm 0{,}5}$.

Siehe auch: arg

Umgekehrt gilt:

${\displaystyle q={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}\cdot k_{2}\cdot k_{3}-s_{1}\cdot s_{2}\cdot s_{3}\\s_{1}\cdot s_{2}\cdot k_{3}+k_{1}\cdot k_{2}\cdot s_{3}\\s_{1}\cdot k_{2}\cdot k_{3}+k_{1}\cdot s_{2}\cdot s_{3}\\k_{1}\cdot s_{2}\cdot k_{3}-s_{1}\cdot k_{2}\cdot s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {1+K_{1}\cdot K_{2}+K_{1}\cdot K_{3}-S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}+K_{2}\cdot K_{3}}}{2}}\\{\frac {K_{2}\cdot S_{3}+K_{1}\cdot S_{3}+S_{1}\cdot S_{2}\cdot K_{3}}{4\cdot w}}\\{\frac {S_{1}\cdot K_{2}+S_{1}\cdot K_{3}+C_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}}{4\cdot w}}\\{\frac {-S_{1}\cdot S_{3}+K_{1}\cdot S_{2}\cdot K_{3}+S_{2}}{4\cdot w}}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle k_{1}=\cos {\frac {\theta }{2}}}$	${\displaystyle k_{2}=\cos {\frac {\phi }{2}}}$	${\displaystyle k_{3}=\cos {\frac {\psi }{2}}}$
${\displaystyle s_{1}=\sin {\frac {\theta }{2}}}$	${\displaystyle s_{2}=\sin {\frac {\phi }{2}}}$	${\displaystyle s_{3}=\sin {\frac {\psi }{2}}}$
${\displaystyle K_{1}=\cos \theta \,}$	${\displaystyle K_{2}=\cos \phi \,}$	${\displaystyle K_{3}=\cos \psi \,}$
${\displaystyle S_{1}=\sin \theta \,}$	${\displaystyle S_{2}=\sin \phi \,}$	${\displaystyle S_{3}=\sin \psi \,}$

Im Folgenden sind einige wichtige Funktionen für den Umgang mit Quaternionen aufgelistet.

Die Funktion sgn liefert das Vorzeichen eines Quaternions zurück, indem es das Quaternion durch dessen Betrag teilt:

${\displaystyle sgn(q)={\frac {q}{\|q\|}}}$

Den Skalarteil eines Quaternions erhält man, indem man zu dem Quaternion den konjugierten Wert addiert. Dadurch kürzt sich der Vektorteil weg:

${\displaystyle \operatorname {Skalar} (q)={\frac {q+{\overline {q}}}{2}}={\frac {(a+i\,b+j\,c+k\,d)+(a-i\,b-j\,c-k\,d)}{2}}=a}$

Den Vektorteil erhält man, analog wie bei der Funktion für den Skalarteil, indem man vom Quaternion das konjugierte Quaternion subtrahiert:

${\displaystyle \operatorname {Vektor} (q)={\vec {q}}={\frac {q-{\overline {q}}}{2}}={\vec {u}}={\frac {(a+i\,b+j\,c+k\,d)-(a-i\,b-j\,c-k\,d)}{2}}=i\,b+j\,c+k\,d}$

Diese Funktion liefert den Winkel zwischen dem skalaren Wert (dh. der reellen Ebene) und dem durch das Quaternion dargestellten Vektor zurück.

${\displaystyle \arg(q)=\operatorname {acos} \left({\frac {a}{\|q\|}}\right)}$

Durch die Möglichkeit Quaternionen zu teilen, kann man exponentielle und logarithmische Funktionen definieren.

• Natürlicher Exponent:

  ${\displaystyle e^{q}=\exp(q)=e^{a}\cdot (\cos |{\vec {v}}|,\operatorname {sgn} {\vec {v}}\cdot \sin |{\vec {v}}|)}$

• Exponent:

  ${\displaystyle p^{q}=e^{\ln p\times q}\,}$ für ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} }$

• Natürlicher Logarithmus:

  ${\displaystyle \ln q=\ln |q|+\operatorname {sgn} {\vec {v}}\cdot \arg(q)}$

${\displaystyle q_{1}\,q_{2}=\left(q_{1},q_{2}\right)+\left|\left(q_{1},q_{2}\right)\right|\cdot e^{{\frac {\pi }{2}}\cdot \operatorname {sgn} {\left(q_{1},q_{2}\right)}}}$

Auch trigonomentrische Funktionen lassen sich definieren.

• Sinus:

  ${\displaystyle \sin q=\left(\sin a\cdot \cosh |{\vec {v}}|,\cos a\cdot \operatorname {sgn} {\vec {v}}\cdot \sinh |{\vec {v}}|\right)}$

• Kosinus:

  ${\displaystyle \cos q=\left(\cos a\cdot \cosh {|{\vec {v}}|},-\sin a\cdot \operatorname {sgn} {\vec {v}}\cdot \sinh |{\vec {v}}|\right)}$

• Tangens:

  ${\displaystyle \tan q={\frac {\sin q}{\cos q}}}$