Der Banach-Mazur-Abstand, benannt nach Stefan Banach und Stanisław Mazur, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachräume. Er definiert einen Abstand zwischen zwei isomorphen normierten Räumen und wird besonders für endlichdimensionale Räume verwendet.
Sind
und
zwei isomorphe normierte Räume, so gibt es eine bijektive, stetige, lineare Abbildung
, deren Umkehrung ebenfalls beschränkt ist. Für die Operatornorm gilt
. Daher ist
![{\displaystyle \delta (E,F):=\inf\{\|T^{-1}\|\cdot \|T\|\,\vert \,T\colon E\rightarrow F{\text{ Isomorphismus}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c413b7bb3f60f15203524dad634867dd1b57c5)
eine Zahl
, die misst, wie weit die Räume
und
davon entfernt sind, isometrisch isomorph zu sein. Diese Zahl nennt man den Banach-Mazur-Abstand zwischen
und
. Sind
und
nicht isomorph, so ist
.
Es gelten folgende einfache Regeln:
; allgemeiner
, falls
und
isometrisch isomorph sind,
für normierte Räume
und
,
für normierte Räume
,
und
.
Daraus ergibt sich, dass sich
wie eine Metrik verhält, wobei
irgendeine Logarithmusfunktion ist, zum Beispiel der natürliche Logarithmus.
Das erklärt den Namen Banach-Mazur-Abstand.
Der Banach-Mazur-Abstand
hängt vom zugrundeliegenden Skalarkörper,
oder
, ab. Es gibt ein auf Jean Bourgain zurückgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum-Strukturen, die nicht isomorph sind.
Aus
folgt im Allgemeinen nicht, dass
und
isometrisch isomorph sind. Für das folgende auf Aleksander Pełczyński und Czesław Bessaga zurückgehende Beispiel seien für
folgende Normen auf c0 definiert:
Setzt man
, so kann man zeigen, dass
strikt konvex ist,
aber nicht; daher können
und
nicht isometrisch isomorph sein. Setzt man für
,
so ist
ein Isomorphismus und es ist
, also gilt
.
So ein Beispiel muss notwendigerweise unendlichdimensional sein, denn für zwei endlichdimensionale Räume
und
kann man zeigen, dass
genau dann gilt, wenn
und
isometrisch isomorph sind.
Es sei
die Klasse aller n-dimensionalen Banachräume. Die isometrische Isomorphie ist eine mit
bezeichnete Äquivalenzrelation auf
. Man kann zeigen, dass der Banach-Mazur-Abstand eine Abbildung auf der Menge
induziert und dass
ein kompakter metrischer Raum ist, das sogenannte Minkowski-Kompaktum (nach Hermann Minkowski) oder auch Banach-Mazur-Kompaktum.
Auch wenn
keine Metrik ist, sondern nur der Logarithmus von
, so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski-Kompaktum häufig bezüglich
verwendet, das gilt insbesondere für die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser.
Es bezeichne
den
mit der p-Norm. Dann zeigt man leicht
für alle
: Nach dem Auerbach-Lemma existiert eine Auerbachbasis
von
; für
,
gilt dann
und daher
und
, woraus
folgt.
Aufwändiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung
für alle
. Daraus folgt sofort
für alle
.
Daher ist der Durchmesser des Minkowski-Kompaktums höchstens
. E. D. Gluskin konnte zeigen, dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal
abgeschätzt werden kann. Es sind noch einige konkrete Abstände bekannt, so zum Beispiel
, falls
oder
.
Für den Fall
kennt man folgende Abschätzung:
.