Fraktionaler Laplace-Operator

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In der Mathematik ist der fraktionale Laplace-Operator ein Operator, der die Vorstellung der räumlichen Ableitungen des Laplace-Operators auf fraktionale Potenzen verallgemeinert. Dieser Operator wird oft verwendet, um bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen zu verallgemeinern. Zwei Beispiele sind [1] und [2], bei denen bekannte partielle Differentialgleichungen, die den Laplace-Operator enthalten, durch die fraktionale Version ersetzt werden.

In der Literatur variiert die Definition des fraktionalen Laplace-Operators oft, aber meistens sind diese Definitionen äquivalent. Im Folgenden findet sich eine kurze Übersicht, die von M. Kwaśnicki bewiesen wurde.[3]

Sei , und .

Fourier-Definition

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Wenn wir uns weiter auf , beschränken, erhalten wir

Diese Definition verwendet die Fourier-Transformation für . Diese Definition kann auch durch das Bessel-Potential auf alle erweitert werden.

Integraloperator

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Der Laplace-Operator kann auch als ein singulärer Integraloperator betrachtet werden, der durch den folgenden Grenzwert in definiert ist.

Generator der stark stetigen Halbgruppe

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Mithilfe der fraktionalen Wärme-halbgruppe, das die Familie der Operatoren darstellt, können wir den fraktionalen Laplace-Operator durch dessen Generator definieren.

Es ist zu beachten, dass der Generator nicht der fraktionale Laplace-Operator ist, sondern dessen Negativ . Der Operator ist definiert durch

,

wobei die Faltung zweier Funktionen ist und .

Harmonische Erweiterung

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wobei

  • Fractional Laplacian. Nonlocal Equations Wiki, Department of Mathematics, The University of Texas at Austin.

Einzelnachweise

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  1. Christof Melcher, Zisis N. Sakellaris: Global dissipative half-harmonic flows into spheres: small data in critical Sobolev spaces. In: Communications in Partial Differential Equations. 44. Jahrgang, Nr. 5, 4. Mai 2019, ISSN 0360-5302, S. 397–415, doi:10.1080/03605302.2018.1554675, arxiv:1806.06818 (englisch, tandfonline.com).
  2. Jerome D. Wettstein: Half-harmonic gradient flow: aspects of a non-local geometric PDE. In: Mathematics in Engineering. 5. Jahrgang, Nr. 3, 2023, ISSN 2640-3501, S. 1–38, doi:10.3934/mine.2023058, arxiv:2112.08846 (englisch, aimspress.com).
  3. Mateusz Kwaśnicki: Ten equivalent definitions of the fractional Laplace operator. In: Fractional Calculus and Applied Analysis. 20. Jahrgang, 2017, doi:10.1515/fca-2017-0002, arxiv:1507.07356 (englisch).