Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.[1]
Sei
eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und
die entsprechende Dirichlet-Reihe von
. Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl
absolut konvergiert, dann gilt
.
Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion
vereinfacht sich dieses Produkt zu
.
Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.[2] Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert
der Folge endlicher Produkte
, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.
Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.
Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe
auch jeder Faktor
absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes
das Partialprodukt
![{\displaystyle F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{Primzahl}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860c4bae0092a6f28f251bf5fa63d9d5d062694c)
existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen
:
![{\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88aacbcba6df347d2875f23f2ba101cb90b3786)
Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von
benutzt. Damit folgt
![{\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166b9eb017750cdff267bbe9ef4be888295c1755)
wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle
summiert wird, deren Primteiler sämtlich
sind. Damit folgt: für jedes
existiert ein
mit
![{\displaystyle |F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ba9ada458ebd317014b1406d0c75a1c9694d63)
Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte
für jedes
im Bereich der absoluten Konvergenz gegen
(sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.
Im Fall
für alle
ist
offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c8d3a4dc3ba26f82f64745993da67567068e10)
Die Funktion
ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.
Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge
und eine Primzahl
, so dass
und
. Ist also
, so folgt ebenfalls
. Dann gilt ganz allgemein für
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m\in M}{\frac {1}{(pm)^{s}}}=\sum _{m\in M\setminus pM}{\frac {1}{m^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d00415d879a8c148297a9678a625161d7f3575)
Bezeichnen wir jetzt
als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und
als die Menge der Zahlen, die nicht durch
teilbar sind (z. B.
). Setze zudem
. Dann hat jedes
die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl
und es gilt
. Also:
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p_{k+1}^{s}}}\right)\sum _{m\in M_{k}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ebe5ad2006ac2efc63443b160781996e125567)
und damit induktiv
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c71346c1476028854ced85caea7b9c6688b3a72)
Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\lim _{k\to \infty }\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0b4d6026a6a9a66bb693311ce2a72cfb02c988)
da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.
- ↑ Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.