Benutzer:Lord Skunk/uni/analysis lernkarten
Analysis Lernkarten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]\documentclass{beamer}
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\newtheorem{defi}{Definition} \newtheorem{bsp}{Beispiel} \newtheorem{satz}{Satz} \newtheorem{wichtig}{Achtung: Wichtig!}
\title{Lernkarten für Analysis} \author{Michael Kopp}
\usepackage{default} \setbeamertemplate{footline}[frame number]
\begin{document}
\frame{\maketitle}
\frame{\tableofcontents}
\section{Grundbegriffe}
\subsection{Komplexe Zahlen}
\begin{frame}{Rechnen in $\mathbb C$ ~ ~ ~ ( $\subseteq \mathbb C$ )}
%
% \[\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} ~ ~ ~ \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\]
% \[Re(z_1 + z_2) = Re(z_1) + Re(z_2) ~ ~ ~ Im(z_1 + z_2) = Im(z_1) + Im(z_2)\]
% \[Re(\alpha z) = \alpha Re(z) ~ ~ ~ Im(\alpha z) = \alpha Im(z)\]
% \[z \cdot \bar{z} = (x,y) \cdot (x,-y) = (x^2+y^2, 0) = x^2 + y^2 := |z|^2 \geq 0\]
% \[|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}\]
\begin{enumerate}
\item \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} ~ ~ ~ \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
\item \(Re(z_1 + z_2) = Re(z_1) + Re(z_2) ~ ~ ~ Im(z_1 + z_2) = Im(z_1) + Im(z_2)\)
\item \(Re(\alpha z) = \alpha Re(z) ~ ~ ~ Im(\alpha z) = \alpha Im(z)\)
\item \(z \cdot \bar{z} = (x,y) \cdot (x,-y) = (x^2+y^2, 0) = x^2 + y^2 := |z|^2 \geq 0\)
\item \(|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}\)
\end{enumerate}
Es gilt die Ungleichung
$$Re(z) \leq |z| ~ ~ ~ ~ ~ ~Im(z) \leq |z|$$
\end{frame}
\section{Die Räume $\mathbb R$ und $\mathbb C$}
\begin{frame}{$\varepsilon$-Umgebung, allgemein (Def)}\index{$\varepsilon$-Umgebung}\label{def_epsilon-umgebung}
Allgemein ist die $\varepsilon$-Ungebung in einem metrischen Raum $(K^d,d(\cdot , \cdot ))$ mit $K = \mathbb R$ oder $K = \mathbb C$:
\begin{equation}
U_\varepsilon(x) = \{ y \in K^d | d(x,y) < \varepsilon \} \tag{Umgebung} \label{eqn_epsilon_umgebung_allgemein}
\end{equation}
Die $\varepsilon$-Umgebung hat als Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $x \in U_\varepsilon(x) \Rightarrow U_\varepsilon \neq \emptyset$
\item $\varepsilon_2 > \varepsilon_1 \Rightarrow U_{\varepsilon_1} \subseteq U_{\varepsilon_2}$
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{Konvergenz, allgemein (Def)}\index{Konvergenz}
Eine Folge $\{ a_n \} _{n \in \mathbb N}$ konvergiert in $(K^d,\|.\|)$ genau dann gegen $a$, wenn
\begin{equation}
\forall \varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon) \in \mathbb N \forall n \geq N(\varepsilon) : a_n \in U_\varepsilon (a)
\tag{Konvergenzkriterium}
\label{eqn_konvergenz}
\end{equation}
Man schreibt dann
$a = lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ oder kürzer $a_n \rightarrow a$.
Eine Folge heißt \emph{konvergent}\index{konvergent}, wenn sie einen Grenzwert $a \in K^d$ besitzt, ansonsten heißt sie \emph{divergent}\index{divergent}.
\end{frame}
\begin{frame}{Cauchy-Folge, Fundamentalfolge (Def)}
\index{Cauchy-Folge}\label{def_cauchy-folge}
Sei $\{ a_n \}_{n \in \mathbb N}$ eine Folge mit $a_n \in K^d$, so ist $a_n$ genau dann eine \emph{Cauchy-Folge}, wenn gilt:
\begin{equation}
\forall \varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon) \in \mathbb N \forall m,n \in \mathbb N : d(a_m,a_n) < \varepsilon
\tag{Cauchy}
\label{eqn_cauchy}
\end{equation}
Jede in $(K^d,d(\cdot , \cdot))$ konvergente Folge ist eine \emph{Fundamental-} bzw. \emph{Cauchy-Folge}.
\end{frame}
\begin{frame}{Konvergenz von Vektoren}
Ist $\{ a_n \}_{n \in \mathbb N}$ ein Folge von Vektoren mit $a_n \in K^d$, so konvergiert $a_n$ genau dann gegen $a$, wenn die Folge der einzelnen Elemente von $a$ konvergiert.
Sei $a_n = (a_n^1, a_n^2, a_n^3, ..., a_n^d)$, dann konvergiert $a_n$, wenn jede Folge $\{ a_n^i \}_{i \in \mathbb N}$ mit einem festen $n$ konvergiert.
\end{frame}
\begin{frame}{Beschränktheit (Def) $\subseteq Konvergenz$}
Eine Menge $M \subseteq K$ heißt \emph{beschränkt}\index{beschränkt}, wenn gilt
\begin{equation}
\exists c\in K \forall y\in M \|y\| \leq c
\tag{Beschränktheit}
\label{eqn_beschraenktheit}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item $\{a_n\}_{n \in \mathbb N} \rightarrow a$, so ist die Menge der $a_n$ beschränkt
\item $\{a_n\}_{n \in \mathbb N, n \geq n_0} \rightarrow a$ (nimmt man endlich viele Elemente der Folge weg, konvergiert sie immernoch gegen $a$).
\end{enumerate}
Man unterscheidet noch zwischen \emph{von oben} beschränkt ($\exists c_o\in K \forall y\in M y \leq c_o$) und \emph{von unten} ($\exists c_u\in K \forall y\in M y \geq c_u$) beschränkt. $c_u$ ist eine \emph{untere Schranke}, $c_o$ entsprechend eine \emph{obere Schranke}. (s. \ref{def_schranke}) \end{frame}
\begin{frame}{Schranken (Def)}
\label{def_schranke}\index{Schranke}\index{obere Schranke}\index{untere Schranke}
\begin{description}
\item[$c$ ist obere Schranke] $\forall x\in M : x \leq c$
\item[Menge der oberen Schranken] $M_+ = \{ c \in M | \forall x \in M : x \leq c \}$
\item[$c$ ist untere Schranke] $\forall x\in M : x \geq c$
\item[Menge der unteren Schranken] $M_- = \{ c \in M | \forall x \in M : x \geq c \}$
\end{description}
$$c \in M \cap M_+ \Leftrightarrow c = max(M)$$
\end{frame}
\begin{frame}{Maximum, Minimum (Def)}\label{def_maximum} \label{def_minimum}\index{Maximum}\index{Minimum}
Sei $M$ eine Menge mit der Ordnungsrelation "`$\leq$"'
\begin{description}
\item[Maximum] $a = max(M) \Leftrightarrow (a \in M) \wedge (\forall x \in M : x \leq a )$
\item[Minimum] $a = min(M) \Leftrightarrow (a \in M) \wedge (\forall x \in M : x \geq a )$
\end{description}
Besitzt eine Menge $M$ ein Maximum, so ist dieses \emph{eindeutig}
\end{frame}
\begin{frame}{Infimum, Supremum (Def)} \label{def_infimum}\label{def_supremum}\index{Infimum}\index{Supremum} \begin{description}
\item[Supremum] kleinste obere Schranke:\\
$a = sup(M) \Leftrightarrow (M_+ \neq \emptyset) \wedge (a = min(M_+)$
\item[Infimum] größte untere Schranke:\\
$a = inf(M) \Leftrightarrow (M_+ \neq \emptyset) \wedge (a = max(M_+)$
\end{description}
\begin{satz}
Wenn eine obere Schranke existiert, so existiert ein Supremum.
Wenn eine untere Schranke existiert, so existiert ein Infimum.
\end{satz}
\end{frame}
\begin{frame}{Rechenregeln mit Grenzwerten}
Zwischen den Grundrechenarten "`$+$"', "`$-$"', "`$\cdot$"', "`$\div$"' und Konvergenz besteht eine \textit{Harmonie}. Seien $\{a_n\} \rightarrow a$ und $\{b_n\} \rightarrow b$ konvergente Folgen in $K^d$, dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $a_n + b_n \rightarrow (a + b)$
\item $a_n \cdot b_n \rightarrow (a\cdot b)$
\item $\frac{a_n}{b_n} \rightarrow \left (\frac{a}{b} \right )$
\item $\| a_n \| \rightarrow \|a\|$
\item Falls $a_n$ und $b_n$ \emph{Vektoren} in einem Raum mit Skalarprodukt sind, gilt weiter: $\langle a_n, b_n \rangle = \langle a, b \rangle$
\end{enumerate}
Der Grenzwert einer Folge ist \emph{eindeutig}.
\end{frame}
\begin{frame}{Ungleichungen mit Grenzwerten}
\begin{satz}[Harmonie von Ordnungsstruktur \& Konvergenz]
$$\forall n \geq n_0 : a_n \leq b_n \Rightarrow a \leq b$$
\emph{Achtung}: Dist gilt \emph{nicht} für das strikte $<$ und $>$!
Bspw: $a_n = \frac{1}{n} \rightarrow 0$ und $b_n = \frac{1}{2n} \rightarrow 0$ und $\forall n: a_n > b_n$ aber $\nRightarrow 0 > 0$. \end{satz}
\begin{satz}[von zwei Polizisten] \begin{equation}
\forall n > n_0 : a_n \leq b_n \leq c_n \wedge a_n \rightarrow a, c_n \rightarrow a ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ b_n \rightarrow a
\end{equation} \end{satz} \end{frame}
\begin{frame}{Metrik, allgemein (Def)}\index{Metrik}\label{def_metrik}
Eine Binäre Operation $d(.,.): K^d \times K^d \rightarrow K$ wird \emph{Metrik} genannt, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item $d(x,y) \geq 0$ \item $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ \item $d(x,y) = d(y,x)$ \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$
\end{enumerate}
$(K^d,d(.,.))$ wird \emph{Metrischer Raum}\index{Metrischer Raum} genannt. Ein metrischer Raum heißt \emph{vollständig}\index{Vollständiger Raum}\label{def_vollstaendigkeit}, falls \emph{jede} Fundamentalfolge (s. \ref{def_cauchy-folge}) einen Grenzwert $\in K^d$ besitzt. ($(\mathbb R, d_{| \cdot |})$ ist vollständig, nach \emph{Satz von Cauchy}, $(\mathbb Q, d_{|.|})$ jedoch nicht ($\rightarrow q_n \rightarrow \sqrt{2}$)
Mit jeder \emph{Norm} (s. \ref{def_norm}) $\|.\|$ kann man eine Metrik induzieren: $d(x,y) = \|x - y\|$
\end{frame}
\begin{frame}{Die triviale Metrik (Def)}
\label{def_triviale-metrik}
\index{triviale Metrik}
Die \emph{triviale Metrik} ist so definiert:
$$
d(x,y) = \begin{cases}
1 ~ ~ ~ \text{ wenn } x = y\\
0 ~ ~ ~ \text{ wenn } x \neq y\\
\end{cases}
$$
\end{frame}
\begin{frame}{Monotonie}\label{def_monotonie}\index{Monotonie}
Eine Folge $\{ a_n \}_{n \in \mathbb N}$ heißt
\begin{description}
\item[monoton wachsend]
$\{ a_n \}_{n \in \mathbb N} \uparrow ~ ~ \Leftrightarrow a_n \leq a_{n+1}$
\item[streng monoton wachsend]
$\{ a_n \}_{n \in \mathbb N} \uparrow \uparrow ~ ~ \Leftrightarrow a_n < a_{n+1}$
\item[monoton fallend] $\{ a_n \}_{n \in \mathbb N} \downarrow ~ ~ \Leftrightarrow a_n \geq a_{n+1}$
\item[streng monoton fallend]
$\{ a_n \}_{n \in \mathbb N} \downarrow \downarrow ~ ~ \Leftrightarrow a_n > a_{n+1}$
\end{description}
\end{frame}
\begin{frame}{Zusammenhang Monotnie--Beschränktheit--Konvergenz}
Jede \emph{monotone}, \emph{beschränkte} Folge besitzt einen Grenzwert.
\end{frame}
\begin{frame}{Gruppe (Def)} \label{def_gruppe}\index{Gruppe} \label{def_abelsche-gruppe}\index{Abel'sche Gruppe}
Eine \emph{Gruppe} $(G,\ast)$ besteht aus
\begin{itemize}
\item Einer Menge $G$
\item Einer Verknüpfung $\ast$ für die gilt:
\begin{description}
\item[Assoziativität] $(a \ast b) \ast c = a \ast ( b \ast c)$
\item[$\exists$ Neutrales Element ($e$)] $e \ast a = a$
\item[$\exists$ Inverses Element ($a'$)] $a \ast a' = e$
\end{description}
\end{itemize}
Eine Gruppe heißt \emph{abelsch} oder \emph{kommutativ}, wenn zusätzlich gilt: \label{def_abelsche_gruppe} \begin{itemize} \item
\begin{description}
\item[Kommutativität] $a \ast b = b \ast a$
\end{description}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{linearer $K$-Vektorraum (Def)} \label{def_k-vektorraum}\label{k-vektorraum} \begin{itemize}
\item Körper $K$ (Elemente heißen "`\textbf{Skalare}"') \label{def_skalar}\index{Skalar}
\item Menge $V$ (Elemente heißen "`\textbf{Vektoren}"')\label{def_vektor}\index{Vektor} mit
\begin{itemize}
\item innere, zweistellige Verknüpfung "`Vektoraddition"'\\
"`$\oplus$"': $V \times V \rightarrow V: ~~ (a,b) \mapsto a+b$
\item äußere, zweistellige Verknüpfung "`skalare Multiplikation"' \\
"`$\odot$"': $K \times V \rightarrow V: ~~ (\lambda, a) \mapsto \lambda \cdot a$
\end{itemize}
\item $(V,\oplus)$ ist abel'sche Gruppe (\ref{def_abelsche_gruppe})
\item \textit{Harmonie} zwischen "`$\oplus$"', "`$+$"', "`$\odot$"' und "`$\cdot$"' ("`\textbf{Distributivität}"') ($\lambda, \mu \in K; v, w \in V$)
\begin{itemize}
\item $\vec 1\odot v = v$
\item $\lambda \odot (\mu \odot v) = (\lambda \cdot \mu) \odot v$
\item $(\lambda + \mu) \odot v = \lambda \odot v \oplus \lambda \odot v$
\item $\lambda \odot (v \oplus w) = (\lambda \odot v ) \oplus (\lambda \odot w)$
\end{itemize}
\end{itemize} Statt "`$\odot$"' und "`$\oplus$"' schreibt man auch einfach "`$+$"', "`$\cdot$"'. \end{frame}
\begin{frame}{Skalarprodukt (Def)}\label{def_skalarprodukt}
Eine Verknüpfung
$\langle \cdot , \cdot \rangle$ in einem $K$-Vektorraum $X$ mit $X \times X \rightarrow K$ wird als \emph{Skalarprodukt} bezeichnet, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item $\langle x_1 + x_2,y \rangle = \langle x_1,y \rangle$ + $\langle x_2 , y \rangle$
\item $\langle \lambda x , y \rangle = \lambda \langle x,y \rangle$
\item $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$
\item $\langle x,x \rangle \geq 0$
\item $\langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$
\end{enumerate}
Das \emph{kanonische} Skalarprodukt für $K = \mathbb R$ ist $ \langle x,y \rangle = x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 + ... + x_n\cdot y_n$
\end{frame}
\begin{frame}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
Ist $X$ ein VR mit Skalarprodukt $\langle \cdot , \cdot \rangle$ (siehe \ref{def_skalarprodukt}) so gilt:
\begin{equation}
|\langle x,y \rangle |^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle
\tag{CSB}\label{eqn_csb}
\end{equation}
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn $x$ und $y$ lin. abh. sind.
Mit $\| x \| = \sqrt{\langle x,x \rangle }$ ergibt sich:
$$| \langle x,y \rangle | \leq \|x\| \cdot \|y\|$$
\end{frame}
\begin{frame}{Norm (Def)}\label{def_norm}
Ist $X$ ein VR über $K$ und existiert die Norm $\| \cdot \| : X \rightarrow K$ mit den Eigenschaften
\begin{enumerate}
\item $\| x \| \geq 0$
\item $\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
\item $\| \lambda x\| = |\lambda| \|x\|$
\item $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$
\end{enumerate}
\begin{lemma}
Ein Skalarprodukt definiert eine \emph{Norm}:
$$\|x\| := \sqrt{\langle x,x \rangle}$$
\end{lemma}
Aber: Ist eine Norm gegeben, muss dazu nicht unbedingt ein Skalarprodukt existieren. Dies ist jedoch bspw. in \emph{Hilberträumen} möglich.
\end{frame}
\begin{frame}{Hilbertraum (Def)}\index{Hilbertraum}\index{Prähilbertraum}
\begin{definition}[Prähilbertraum]
Ein Normierter Raum $(X,\| \cdot \|)$ heißt \emph{Prähilbertraum}, wenn es ein Skalarprodukt $\langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \rightarrow K$ gibt mit
$$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$$
\end{definition}
Hier kann nicht nur die Norm durch das Skalarprodukt ausgedrückt werden, sondern auch anderst herum.
\begin{definition}[Hilbertraum]
Ist der \emph{Prähilbertraum} \emph{vollständig}, so nennt man ihn \emph{Hilbertraum}.
\end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}{Isomorphie $\mathbb R^n$ -- $\mathbb C^n$}
Sei $z = (z_1, z_2, ..., z_n) \in \mathbb C^n$ und $\xi = (x_1, y_1, x_2, y_2, ..., x_n, y_n) \in \mathbb R^{2n}$ so kann man eine \emph{Isomorphie} erzeugen mit $\forall j = 1, ..., n : z_j = x_j + i \cdot y_j$
Diese Isomorphie "`funktioniert"' (also man kann mit ihr rechnen) bei
\begin{enumerate}
\item der Norm:\\
$\|z\|^2 =
\sum \limits_{j = 1}^n z_j \cdot \bar z_j = \sum \limits_{j = 1}^n |z_j|^2 = \sum \limits_{j = 1}^n (x_j + y_j)^2 = \|\xi\|^2$
\item der Addition
\end{enumerate}
Hier sind $\mathbb R^{2n}$ und $\mathbb C^n$ \emph{isomorph}.
jedoch \emph{nicht} bei
\begin{enumerate}
\item dem Skalarprodukt
\item der Multiplikation mit einem Skalar
\end{enumerate}
\end{frame}
\subsection{Offene und abgeschlossene Mengen}
\begin{frame}{Häufungspunkt (Def)}\label{def_haeufungspunkt}\index{Häufungspunkt}
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum (s. \ref{def_metrik}) und $X \subseteq M$, dann ist $x_0$ Häufungspunkt:
\begin{equation} x_0 \in acc(X) \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists x(\varepsilon) \in M : x(\varepsilon) \in U_\varepsilon (x_0)\backslash\{x_0\} \tag{Häuf.Pkt.} \label{eqn_haeufungspunkt} \end{equation} \footnote{\textit{acc} von englischen \textit{accumulation}}Beliebig nahe am Häufungspunkt aber \emph{verschieden von diesem} liegen Punkte der Menge $X$. %Es existiert in der $\varepsilon$-Umgebung von $x_0$ \begin{bsp}
$(M,d) := (\mathbb R, d_{|.|})$, $X = \{(-1)^n + \frac{1}{n} | n \in \mathbb N\}$
$acc(X) = \{-1, 1\}$, weil nur hier beliebig nahe Werte aus $X$ zu finden sind.
\end{bsp} \begin{wichtig}
Bemerkung: $x_0 \in acc(X) \Leftrightarrow \exists \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \text { mit } x_n \in M\backslash\{x_0\} \text{ und } x_n \rightarrow x_0$
\end{wichtig} %Bemerkung: $x_0 \in acc(X) \Leftrightarrow $ eine Folge $x_n \in X$ geht $\rightarrow x_0$ \end{frame}
\begin{frame}{Isolierter Punkt (Def)}\label{def_isolierter-punkt}\index{Isolierter Punkt}
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum (s. \ref{def_metrik}) und $X \subseteq M$, dann ist $x_0$ Isolierter Punkt:
\begin{equation}
x_0 \in iso(X) \Leftrightarrow x_0 \in X \backslash acc(X)
\label{eqn_isolierter-punkt}
\tag{Isol. Pkt.}
\end{equation}
Der Punkt $x_0$ gehört zwar zur Menge $X$ dazu, aber um ihn herum liegt kein einziger Punkt beliebig nahe. \end{frame}
\begin{frame}{Innerer Punkt, Inneres (Def)}
\label{def_innerer-punkt}
\index{Innerer Punkt}
\index{Inneres}
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum (s. \ref{def_metrik}) und $X \subseteq M$, dann ist $x_0$ Innerer Punkt:
$$ x_0 \in int(X) \Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0 U_\varepsilon (x_0) \subseteq X$$
\footnote{\textit{int} vom Englischen \textit{interior}}
Der Punkt $x_0$ liegt zusammen mit einer (beliebig kleinen) Umgebung in der Menge $X$.
\begin{defi}[Inneres]
Die Menge aller inneren Punkte nennt man das \emph{Innere} von $X$.
\end{defi}
Es gitl weiter
\begin{enumerate}
\item $int(X) = X\backslash \partial X$
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{Äußerer Punkt (Def)}
\label{def_aeusserer-punkt}
\index{Äußerer Punkt}
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum (s. \ref{def_metrik}) und $X \subseteq M$, dann ist $x_0$ äußerer Punkt:
$$
x_0 \in ext(X) \Leftrightarrow x_0 \in int(X^C_M)
$$
\footnote{\textit{ext} von Englischen \textit{external}}
$int(X^C_M)$ sind alle Punkte, die mit iherer $\varepsilon$-Umg. außerhalb von $X$ liegen, also die \emph{nicht} in $X$ liegen.
Weiter gilt:
\begin{enumerate}
\item $ext(x) = int(X^C_M)$
\item $int(X) = ext(X^C_M)$
\item $ext(X) = X^C_M \backslash \partial X = X^C_M \backslash \partial X^C_M$
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{Randpunkt (Def)}
\label{def_randpunkt}
\index{Randpunkt}
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum (s. \ref{def_metrik}) und $X \subseteq M$, dann ist $x_0$ ein Randpunkt:
\begin{eqnarray*}
x_0 \in \partial X & \Leftrightarrow & x_0 \in M \backslash \left(int(x) \cup ext(X) \right)\\
& \Leftrightarrow & \forall \varepsilon > 0 : \left(X \cap U_\varepsilon(x_0) \neq \emptyset \right) \wedge \left( X^C_M \cap U_\varepsilon(x_0) \neq \emptyset \right)
\end{eqnarray*}
$X_0$ ist weder im Inneren (s. \ref{def_innerer-punkt}), noch im Äußeren (s. \ref{def_aeusserer-punkt}) der Menge $X$.
Die $\varepsilon$-Umgebungen von Punkten aus dem Rand schneiden sowohl die Menge $X$, als auch ihr Komplement in $X^C_M$.
Aus der Definition folgt, $$\partial X = \partial X^C_M$$
\end{frame}
\begin{frame}{Zusammenhänge}
Man kann eine Menge $M$ disjunkt zerlegen:
\begin{equation}
M = \underbrace{int(X) \cup \partial}_{\subseteq X} \underbrace{X \cup ext(X)}_{\subseteq X^C_M}
\label{eqn_zerlegung_einer_mente}
\tag{Mengenzerleg.}
\end{equation}
Es gilt der Zusammehang zwischen $int$, $\partial$ und $acc$:
%\begin{equation}
$$
X \cup acc(X) = X \cup \partial X = int(X) \cap \partial X
$$%\end{equation}
\begin{wichtig}
Man muss \emph{Raum} und \emph{Metrik} beachten. Ob ein Punkt im inneren liegt oder nicht, hängt von der verwendeten Metrik $d$ und der Menge $M$ ab. ab.
%Bspw. liegt ein Punkt in einer eindimensionalen Menge $M^1$
\end{wichtig}
\begin{wichtig}
Bei einer \emph{Trivialen Metrik} (s. \ref{def_triviale-metrik}) hat keine Menge einen Rand und jede Teilmenge ist offen \emph{und} abgeschlossen.
\end{wichtig}
\end{frame}
\begin{frame}{Offene und abgeschlossene Menge (Def)}
\label{def_offene-menge}
\label{def_abgeschlossene-menge}
\index{offene Menge}
\index{abgeschlossene Menge}
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $X \subseteq M$
$$
X \text{ offen } \Leftrightarrow X = int(X) \Leftrightarrow X \cap \partial X = \emptyset
$$ Jeder Punkt von $X$ ist innerer Punkt $\Rightarrow$ jeder Punkt liegt mit seiner $\varepsilon$-Umgeb. in $X$ und $X$ hat keinen Rand. $$
X \text{ abgeschlossen } \Leftrightarrow \partial X \subseteq X \Leftrightarrow acc(X) \subseteq X \Rightarrow X \cap acc(X) \neq \emptyset
$$
Jeder Häufungspunkt (s. \ref{def_haeufungspunkt}) liegt in $X$
\begin{wichtig}
$$\neg \text{ offen } \nLeftrightarrow \text {abgeschlossen }$$
$$X \text{ offen } \nLeftrightarrow X^C_M \text{ abgeschlossen }$$
\end{wichtig}
\end{frame}
% \begin{frame}{Topologischer Raum (Def)}
% \label{def_topologischer-raum}
% \index{Topologischer Raum}
%
% \end{frame}
\end{document}